2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册平面向量期末备考练习09——两向量垂直

**基本信息** 聚焦两向量垂直的坐标运算，以教材例题习题为母题，构建从基础应用到综合拓展的专项训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题（含教材例13及改编）|向量垂直坐标运算公式（x₁x₂+y₁y₂=0）直接应用|从概念公式到参数求解，覆盖基础计算| |多选题|2题|结合向量性质判断垂直条件|关联向量共线与垂直关系，培养推理意识| |填空题|2题（含教材复习题）|参数值求解及投影向量计算|深化公式可逆应用，强化运算准确性| |解答题|3题（含教材复习题）|几何意义证明及综合应用|构建“公式应用-性质证明-实际情境”完整逻辑链|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考09 测试范围：有关两向量垂直的运算 两向量垂直的坐标运算： 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且，则a·b＝x1x2＋y1y2=0． 一、单选题 1.【人教版必修二第6.2.4节例13】已知，，且与不共线．若向量与相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与互相垂直的充要条件是，． 因为，，所以．解得．也就说，当时，与互相垂直． 2．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】已知，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量坐标代入即可求出的值. 【详解】因为，向量与垂直，所以，由，，所以，解得.故选：A. 3．【人教A版必修二复习参考题6第8题改编】已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】A 【详解】由题设，又，， 所以，由，所以 4．【人教A版必修二复习参考题6第8题改编】已知，且向量与向量垂直，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可. 【详解】因为，所以， 又，即，解得：. 5．已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故，所以在方向上的投影向量的坐标是. 6.【人教A版必修二习题6.3第10题】已知，则与垂直的单位向量的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合模的定义求解即可. 【解析】设该单位向量为，显然，由题意得，，则， 解得，或，，则的坐标是或. 7．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】若向量满足，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据向量的运算律及求解即可. 【详解】因为，所以，又因为与垂直，所以， 即，即，解得.故选：D. 二、多选题 8．下列说法正确的是（    ） A．已知，，若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量，，且，则实数 【答案】D 【详解】对于A选项，由得，A错误.对于B选项，两个非零向量和，若，则，整理可得，故与垂直，B对；对于C选项，设与垂直的单位向量为，由题意可得，解得或，所以，与垂直的单位向量的坐标或，C对；对于D选项，由题意得，，由．得，所以，D对. 9．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点的坐标为 D．与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量，以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据向量加法的平行四边形法则可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量可判断D. 【详解】对于A，由依题意得，所以，故A正确； 对于B，由题意得，，则，所以， 即为直角三角形，故B正确；对于C，结合B选项得，则顶点的坐标为，故C错误；对于D，结合B选项得，设与垂直的单位向量为，则，解得或，故与垂直的单位向量的坐标为或，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 10．【人教A版必修二复习参考题6第8题】已知向量，，当= 时，与垂直. 【答案】 【分析】向量与垂直即，代入坐标即可求解； 【详解】因为，，所以，因为与垂直，所以， 所以，即，所以． 11.已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】 由，得，为单位向量，故. 由，得. 展开：. 代入，解得. 在方向上的投影向量为. 四、解答题 12．【人教A版必修二复习参考题6第14题】已知为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. （1）； （2）若，则. 【答案】（1）证明见解析，几何意义是矩形的两条对角线相等，（2）证明见解析，几何意义是菱形的对角线互相垂直 【分析】（1）利用向量模的求法求出，，再利用向量的数量积即可证出；然后由，两边平方即可证出. （2）先利用数量积可证出，然后，可证出. 【详解】证明：（1）先证, ,因为，所以，于是. 再证. 由，两边平方得，所以，于是. 几何意义是矩形的两条对角线相等。 （2）先证. 又，所以.所以. 再证， 由得。即，所以， 几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示. 【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量的模证明等式，属于基础题. 13．（1）已知，若在直角三角形中，为直角且，求的值. (2)已知向量，求证：。 【答案】(1). 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为为直角，所以. (2)因为 所以，所以。 14．（1）已知向量，，．若向量满足，且，求． （2）已知向量，，，与的夹角为，若，求. 【答案】（1）或；（2） 【分析】直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解. 【详解】（1）设，所以，又， 由，可得，由，可得. 解得或，所以或. （2） 由与的夹角为，得. 由， 得. 展开. 代入， 即， ，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考09 测试范围：有关两向量垂直的运算 两向量垂直的坐标运算： 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且，则a·b＝x1x2＋y1y2=0． 一、单选题 1.【人教版必修二第6.2.4节例13】已知，，且与不共线．若向量与相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】已知，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二复习参考题6第8题改编】已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 4．【人教A版必修二复习参考题6第8题改编】已知，且向量与向量垂直，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 5．已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 6.【人教A版必修二习题6.3第10题】已知，则与垂直的单位向量的坐标为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．【人教版必修二第6.2.4节例13改编】若向量满足，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列说法正确的是（    ） A．已知，，若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量，，且，则实数 9．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B．是直角三角形 C．以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点的坐标为 D．与垂直的单位向量的坐标为或 三、填空题 10．【人教A版必修二复习参考题6第8题】已知向量，，当= 时，与垂直. 11.已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 四、解答题 12．【人教A版必修二复习参考题6第14题】已知为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. （1）； （2）若，则. 13．（1）已知，若在直角三角形中，为直角且，求的值. (2)已知向量，求证：。 14．（1）已知向量，，．若向量满足，且，求． （2）已知向量，，，与的夹角为，若，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $