学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷02【全国通用，测试范围：人教A版必修第二册】

**基本信息** 立足人教A版必修第二册，融合热点情境（圆锥轴截面）、文化传承（《九章算术》刍甍）与地方特色（江西乐平文化），通过分层设问考查数学眼光（空间观念、数据意识）、思维（推理、运算能力）与语言（模型观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|立体几何、向量、解三角形、统计概率|第4题热点情境圆锥异面直线成角，第7题随机模拟估计概率，考查空间观念与数据意识| |填空题|3题15分|向量投影、概率、文化情境体积|第14题《九章算术》刍甍体积计算，体现文化传承与数学建模| |解答题|5题77分|统计应用、解三角形、概率、立体几何|15题乐平文化频率分布直方图分析，18题面面垂直证明与体积计算，考查运算能力与推理能力|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 3．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 4．（热点）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 6．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（    ） A． B． C．可以等于 D． 10．下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 14．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú  méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示——刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，E到底面的距离为，则该刍甍的体积为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 16．（15分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 17．（15分）甲、乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 18．（17分）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 19．（17分）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 2．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【详解】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 3．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 4．（热点）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 5．某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 【答案】B 【详解】设两个班级的总人数为，则甲班的学生数为，乙班学生数为， 所以两班数学的总成绩平均分为， 两班数学的方差为. 6．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 7．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以三棱锥体积的最大值即三棱锥体积的最大值， 所以当到平面的距离最大，即平面时，体积最大， 设球的半径为，此时有，三棱锥的高， 则，解得， 则球的表面积． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（    ） A． B． C．可以等于 D． 【答案】AC 【详解】对于A，根据题意，， ，则，故A正确； 对于B，， ，故与大小无法比较，故B错误； 对于C，当时，， 此时，故C正确； 对于D，取，可得； 取，可得，故D错误， 故选：AC． 10．下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】BCD 【详解】对于A，将按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是第7和第8个数据的平均数，即，故A错误； 对于B，由题意知事件“向上的点数为奇数或4”，所以，故B正确； 对于C，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故C正确； 对于D，根据平均数与方差的性质可知，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 【答案】0.38/ 【详解】解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为， 所以 . 故答案为：0.38. 14．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú  méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示——刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，E到底面的距离为，则该刍甍的体积为_______. 【答案】 【详解】记的中点分别为，连接，易知， 又，所以，因为为正三角形，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作，过分别作的平行线，如图， 因为平面平面，平面， 所以平面，平面，所以，， 所以， 因为平面，所以， 易知，是平面内的两条相交直线，所以平面， 同理平面，所以为直三棱柱， 因为，所以， 所以该刍甍的体积为 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 解得： （2）这100人的得分的平均数 （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的第百分位数， 因为， ， 所以第80百分位数在，设第80百分位数为， 则， 解得：分 则测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为分 16．（15分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 17．（15分）甲、乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记在一次比赛中，甲猜对为事件A，乙猜对为事件B. 则在一次比赛中甲获胜的概率为. （2）在一次比赛中平局的概率为. （3）由（1）知，在一次比赛中甲获胜的概率为，所以在一次比赛中甲没有获胜的概率为. 且各次比赛结果也互不影响，所以两次比赛，甲均没有获胜的概率为. 所以在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率为. 18．（17分）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 19．（17分）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) E D 2---- C A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 3．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 4．（热点）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 6．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（    ） A． B． C．可以等于 D． 10．下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 14．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú  méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示——刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，E到底面的距离为，则该刍甍的体积为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 16．（15分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 17．（15分）甲、乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. (1)求在一次比赛中甲获胜的概率； (2)求在一次比赛中平局的概率； (3)求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 18．（17分）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 19．（17分）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0.38/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由， 解得：（3分） （2）这100人的得分的平均数（6分） （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的第百分位数， 因为， ， 所以第80百分位数在，设第80百分位数为， 则， 解得：分 则测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为分（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以.（5分） （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得.（8分） （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，,（10分） 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）记在一次比赛中，甲猜对为事件A，乙猜对为事件B. 则在一次比赛中甲获胜的概率为.（5分） （2）在一次比赛中平局的概率为.（10分） （3）由（1）知，在一次比赛中甲获胜的概率为，所以在一次比赛中甲没有获胜的概率为. 且各次比赛结果也互不影响，所以两次比赛，甲均没有获胜的概率为. 所以在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（7分） （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面，（10分） 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由图得， 解之可得；（4分） （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.（10分） （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为，（12分） 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.（17分） 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $