专题02 勾股定理 9大高频考点（期末真题汇编，山东专用）八年级数学下学期

**基本信息** 勾股定理专题汇编，涵盖9大高频考点，精选山东多地期末真题，融合基础计算、实际应用与文化情境（如赵爽弦图），梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|多题量|勾股定理解三角形、坐标系应用、网格与无理数|结合网格、坐标系考查定理应用| |填空|多题量|图形面积、弦图、直角三角形判定|融入作图与几何直观| |解答题|多题量|实际应用（测量、航行）、综合证明|联系生活情境（台风、旗杆测量），渗透数学文化|

专题02 勾股定理 9大高频考点概览 考点01勾股定理解直角三角形 考点02勾股定理在坐标系中的应用 考点03勾股定理与网格、无理数 考点04求图形的面积 考点05弦图的应用 考点06勾股定理的实际应用 考点07直角三角形的判定 考点08解三角形 考点09勾股定理逆定理的实际应用 ( 考点01 勾股定理解直角三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为______． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②作垂直于点；③以点为圆心，以为半径作弧，交于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点．若，则与的比值为_____． 三、解答题 4．（24-25七年级下·山东淄博·期末）【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面积． 5．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，有一张直角三角形纸片，其中，要在边上作出一个点，使纸片沿直线折叠时，边能恰好落在斜边上． (1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)当，时，求的长． 6．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． (1)试说明为等腰三角形； (2)若，，求的长． 7．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)线段的长度为______； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点的运动过程中，直接写出为何值时，为等腰三角形． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，等腰中，，点是线段上的一点，且，，求的值． 9．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，在边的下方两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)补全图形，并证明； (2)若，，求的长． ( 考点0 2 勾股定理在坐标系中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6…，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为____________． 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 三、解答题 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）【先导问题】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点、点，则的长度为_____； 【提炼模型】 （2）某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，是否可以用相同的方法求出的长度？ 解：如图，过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点， 则点的坐标为，那么，， 在中，根据勾股定理得：． 在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式．若点、点，则（用含的代数式表示）． 反之，若，则点、的坐标可以是、． 【识别模型】 （3）根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题： ①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点的距离．（只填写符合题意的一个点的坐标即可） 【应用模型】 （4）代数式，当取何值时有最小值，最小值是多少？ 【回顾反思】 （5）回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？（不超过50字） ( 考点0 3 勾股定理与网格、无理数 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，点，在数轴上对应的实数分别为，，以为一条直角边作等腰直角三角形；以点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点和点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是_____． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为______． 7．（24-25八年级下·山东济宁·期中）若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 8．（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． ( 考点0 4 求图形的面积 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，以的各边为边向外作等边，等边和等边，，点G、H均在边上，且，．过点G作的平行线，交于点I，过点H作的平行线，交于点J，交于点K．若已知四边形的面积，则下列面积一定能求出来的是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2025个等腰直角三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，分别是的高，为的中点，，则面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为____________． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 三、解答题 8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，各边的长如图所示，求的面积． ( 考点0 5 弦图的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．24 B．36 C．40 D．44 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为____________．      7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． ( 考点0 6 勾股定理的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度可能是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 三、解答题 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 6．（24-25八年级下·山东日照·期中）项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 8．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） ( 考点0 7 直角三角形的判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列各组数中，能成为一个直角三角形三边长度的数是（   ） A．，， B．6，， C．7，24，25 D．1，1，2 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．7 B．7.2 C．8.2 D．8.6 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）的三边长分别为，由下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东德州·期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（   ） A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．1，， 二、解答题 7．（24-25八年级下·山东临沂·期末）归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． (1)尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； (2)实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明的方法证明是直角． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知的三边分别为、、，且，求的面积． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期末）阅读材料，解决应用中的问题． 【材料】在平面直角坐标系内有两点，根据勾股定理可得，这两点间的距离为： 例如，如图1，， 则． 【应用】 (1)已知，求两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②求证：是直角三角形． ( 考点 0 8 解三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为 ，中边上的高的长度为 ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为 ． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试说明：； (2)计算四边形的面积． ( 考点 09 勾股定理逆定理的实际应用 ) 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）年月日我国首枚由中学生自主研制的气象探空火箭“飞燕一号”成功发射，“飞燕一号”搭载气象扫描雷达，若在测试气象扫描环节的某一时刻，雷达扫描区域截面如图阴影所示，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)雷达扫描点与点距离有多远？ (2)此时气象雷达的扫描面积是多少？ 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 4．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 9．（24-25八年级下·山东德州·期中）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 23 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 9大高频考点概览 考点01勾股定理解直角三角形 考点02勾股定理在坐标系中的应用 考点03勾股定理与网格、无理数 考点04求图形的面积 考点05弦图的应用 考点06勾股定理的实际应用 考点07直角三角形的判定 考点08解三角形 考点09勾股定理逆定理的实际应用 ( 考点01 勾股定理解直角三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作交于，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质及勾股定理得，，，即可求解；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， 平分，， ， ，， （）， ， ， 设， 在中，， 在中，， 在中， ， 解得：（负值已舍）， ； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②作垂直于点；③以点为圆心，以为半径作弧，交于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点．若，则与的比值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，全等三角形的性质和判定，由角平分线的性质得到，设，则，，勾股定理求出，则由勾股定理可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴可设，， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得，则， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25七年级下·山东淄博·期末）【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 仍然成立，证明见解答过程；（3） ． 【分析】（1）根据等边三角形性质得，再根据三角形外角性质得，进而得，由此即可得出与的数量关系； （2）过点作交于点，证明是等边三角形得，进而得，，，由此可判定和全等得，据此即可得出答案； 延长到，使，连接，设的中点为，连接，证明和全等得，进而得，，由此可判定和全等得，根据得，证明得是等边三角形，继而得，则，由此得，然后由勾股定理求出即可得出的面积． 【详解】解：（1）与的数量关系为：，理由如下： 是等边三角形， ∴，， 点是的中点， ∴，， ∵， ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ； （2）仍然成立，证明如下： 过点作交于点，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 在和中，， ， ， 故（1）中与的数量关系仍然成立； （3）延长到，使，连接，设的中点为，连接，如图所示： 点是的中点， ， 在和中， ∴， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 即， 是等边三角形， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 的面积为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的性质等知识，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 5．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，有一张直角三角形纸片，其中，要在边上作出一个点，使纸片沿直线折叠时，边能恰好落在斜边上． (1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)当，时，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，尺规作图-作的角平分线即可得到答案； （2）作于点，如图所示，由折叠性质得到平分，结合角平分线性质得到，在中，由勾股定理求出，进而在中，由勾股定理建立方程求解即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：作于点，如图所示： 由折叠性质可知，平分， 又，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，由勾股定理可知，即， 解得． 【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、折叠性质、角平分线性质、勾股定理，掌握基本尺规作图及勾股定理是解决问题的关键． 6．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． (1)试说明为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】（1）解：平分， ， 又， ， ， ， 为等腰三角形， （2）过点作， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 则的长为． 7．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)线段的长度为______； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点的运动过程中，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第题的关键． （1）根据勾股定理即可求出答案； （2）过作于，得出，，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值； （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 故答案为：； （2）解：如图，当点恰好在的角平分线上且在边上时， 过作于， 平分，， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： 如图，当在上且时， ∴， 而，， ， ， 是的中点，即， ； 如图，当在上且时， ； 如图，当在上且时，过作于， 则， 中，， ， ； 如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或时，为等腰三角形． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，等腰中，，点是线段上的一点，且，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，则，勾股定理求得，进而求得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∴ ∴ 设， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 9．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，在边的下方两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)补全图形，并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）首先求出，然后得到垂直平分，求出，勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示， 证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：∵，， ， ∵， ∴垂直平分 ，． ， ， ∴ ． ( 考点0 2 勾股定理在坐标系中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6…，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识点．由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第2个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每3个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第2个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为1350，连接，设由等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每3个为一个循环， ， ∴点是第675个等边三角形的第2个顶点， ∴点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 由等边三角形的对称性可知， ∵O点是的中心， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得， ∵点在第四象限， ∴的坐标为． 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 【详解】解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点的距离计算，坐标系中两点的距离为，据此计算求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是， 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）【先导问题】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点、点，则的长度为_____； 【提炼模型】 （2）某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，是否可以用相同的方法求出的长度？ 解：如图，过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点， 则点的坐标为，那么，， 在中，根据勾股定理得：． 在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式．若点、点，则（用含的代数式表示）． 反之，若，则点、的坐标可以是、． 【识别模型】 （3）根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题： ①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点的距离．（只填写符合题意的一个点的坐标即可） 【应用模型】 （4）代数式，当取何值时有最小值，最小值是多少？ 【回顾反思】 （5）回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？（不超过50字） 【答案】（1）；（2）（或）；（3）①；②或；（写出一种情况即可）；（4）当，代数式有最小值，最小值为；（5）体现数形结合思想、建模思想，言之有理即可 【分析】本题考查了两点间的距离公式，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）①根据两点间的距离公式即可得到结论； ②根据两点间的距离公式即可得到结论； （4）如图，根据题意得到代数式，可以看成是点到点、点的距离的和，于是得到代数式的最小值即的最小值，作点关于轴的对称点，设直线的函数表达式为（），求得直线的函数表达式为，根据两点间的距离公式即可得到结论； （5）根据解题过程即可得到结论． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离， 故答案为：； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点或的距离， 故答案为：或； （4）代数式，可以看成是点到点、点的距离的和，如图， 代数式的最小值即的最小值， 作点关于轴的对称点， 设直线的函数表达式为（）， 把，分别代入上式， ， 解得， 直线的函数表达式为， 当时，代入上式，得， ， 点（，）， ， 当，代数式有最小值，最小值为． （5）解决数学问题最有效的方法是熟练掌握数形结合思想、建模思想． ( 考点0 3 勾股定理与网格、无理数 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是． 【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段， 则，，，， 在中，， 在中，， ，，， 的三边，，中无理数是． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，利用网格特定求得，进而利用数轴上点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，设直角顶点C与数轴上表示的点重合， 由题意，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，点，在数轴上对应的实数分别为，，以为一条直角边作等腰直角三角形；以点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点和点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴上两点间的距离等知识；由题意知，由点E的表示的数可求得点A的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴点表示的数为：； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和数轴和实数的关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 连接，在中，利用勾股定理求出，再根据C位于数轴的原点处，利用线段和差和数轴和实数的关系就可得出答案． 【详解】解：连接， ， 则， 在中 ， ， ， 点D在原点左侧， 点D在数轴上代表的数为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 【详解】解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 7．（24-25八年级下·山东济宁·期中）若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数． 【详解】解：正方形的边长为1， 圆的半径为， ， 点C表示的数是3， 点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． ( 考点0 4 求图形的面积 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理. 根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，以的各边为边向外作等边，等边和等边，，点G、H均在边上，且，．过点G作的平行线，交于点I，过点H作的平行线，交于点J，交于点K．若已知四边形的面积，则下列面积一定能求出来的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何图形的面积之间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等边三角形的性质以及勾股定理得出点D到的距离为，则，，，在中，，则，再根据，，得是等边三角形，，整理得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， 则， 即点D到的距离为， ， 同理可得，， 在中，， ， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∵， ∴， 同理， ， ， ， 即已知四边形的面积，则一定能求的面积． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2025个等腰直角三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律题，等腰三角形的性质，勾股定理第二个知识，根据图形找出一般规律是解题关键．根据题意求出每个三角形的面积，从而得出第个等腰直角三角形的面积为，即可求解． 【详解】解：， 等腰直角三角形①的面积为， ， 等腰直角三角形②的斜边长为， 等腰直角三角形②的直角边长为， 等腰直角三角形②的面积为； ， 等腰直角三角形③的边长为， 等腰直角三角形③的面积为； ， 等腰直角三角形④的边长为， 等腰直角三角形④的面积为； …… 观察发现，第个等腰直角三角形的面积为， 第2025个等腰直角三角形的面积是， 故选：D 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，分别是的高，为的中点，，则面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：C． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，理解题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， 以此类推，， ∵， ， ， 以此类推，， ∴的面积为， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理结合正方形的面积可知，再结合，求出解答即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 三、解答题 8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，各边的长如图所示，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， 解得， 所以的面积． ( 考点0 5 弦图的应用 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质，理解题意是解题关键．根据题意可得图1中大正方形的边长为，四个全等的直角三角形的面积为，进而得出图2中小正方形的面积为，即可求出图2中大正方形的面积． 【详解】解：图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， 图1中大正方形的边长为，四个全等的直角三角形的面积为， 直角三角形的斜边边长为， 图2中小正方形的面积， 图2中大正方形的面积小正方形的面积四个全等的直角三角形的面积， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ，展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为， ， 展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ， 化简得，可以验证勾股定理． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，根据勾股定理，得， ∵A，B，F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长为25． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东济南·期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为____________．      【答案】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积，完全平方公式变形求值；根据三角形的面积为和长边与短边的和为，列方程组，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设较长直角边为，较短直角边为， 则， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期末）我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为，根据勾股定理列方程得出，确定小正方形的边长为，求解即可． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为， ∵大正方形的面积是80， ∴， 解得，或（舍去）， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的周长为， 故答案为：16． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和整体代入是解题的关键，设，由题可得，，，，再利用勾股定理得，则，解出的值，即可得到长方形的面积． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∴，，， ∵， ∴由勾股定理得：，则， 解得：， ∴， ∴长方形的面积为：， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【详解】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． ( 考点0 6 勾股定理的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 因此只有选项B符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 三、解答题 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 6．（24-25八年级下·山东日照·期中）项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（）根据题意解答即可； （）如图，过点作于点，设米，可得米，米，米，米，由勾股定理得，解方程求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解： 如图，过点作于点， 设米， 则米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 答：学校旗杆的高度为米． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 8．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． ( 考点0 7 直角三角形的判定 ) 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，根据绝对值非负性，算术平方根的非负性质得方程求出出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列各组数中，能成为一个直角三角形三边长度的数是（   ） A．，， B．6，， C．7，24，25 D．1，1，2 【答案】C 【分析】本题是对勾股定理的逆定理知识的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，若三边长满足（为最大边），则可构成直角三角形． 【详解】解：选项A：，，．最大边为，验证，不满足勾股定理． 选项B：最大边为，验证，不满足勾股定理． 选项C：最大边为，验证，满足勾股定理，可构成直角三角形． 选项D：三边为，因，不满足三角形三边不等式（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形． 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．7 B．7.2 C．8.2 D．8.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用勾股定理的逆定理证明△是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，再根据垂线段最短可得：当时，有最小值，最后根据面积法进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， △是直角三角形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值，即有最小值， △的面积， ， ， 解得：． 的最小值为7.2， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东济宁·期末）的三边长分别为，由下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理，解题的关键是熟练运用这些知识判断三角形是否为直角三角形． 分别根据三角形内角和、勾股定理逆定理，对每个选项进行分析，判断是否能得出三角形为直角三角形． 【分析】A．所有三角形的内角和均为，无法判定为直角三角形，本选项不符合题意． B．将等式变形为，符合勾股定理的逆定理，说明为斜边，对应角为直角，故是直角三角形，符合题意． C．计算各边平方：，，．因，不满足勾股定理，本选项不符合题意． D．角度比为，总份数为，最大角为，均为锐角，无直角，本选项不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级下·山东德州·期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（   ） A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．1，， 【答案】D 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握两个小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，能构成直角三角形，故符合题意． 故选：D． 二、解答题 7．（24-25八年级下·山东临沂·期末）归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． (1)尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； (2)实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明的方法证明是直角． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理以及三角形内角和定理进行推论即可解答； （2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到解答． 【详解】（1）解：①由勾股定理可得：；②由三角形内角和的定理可得：． 故答案为：；． （2）证明：，，， ． ∴是直角． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知的三边分别为、、，且，求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查了二次根式的应用，非负数的性质，先求出的值，再判断的形状，最后求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 的面积． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期末）阅读材料，解决应用中的问题． 【材料】在平面直角坐标系内有两点，根据勾股定理可得，这两点间的距离为： 例如，如图1，， 则． 【应用】 (1)已知，求两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)①；②详见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间距离公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据题干提供的信息，列式计算即可； （2）①过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，求出，即可得出答案； ②根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①过点作轴于点，如图所示： 与轴正半轴的夹角是， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ． ②， ， ， ， ， 是直角三角形． ( 考点 0 8 解三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】12 【分析】先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为 ，中边上的高的长度为 ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为 ． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，利用割补法求出再根据即可求出的长； （2）依据题意构造 由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）依据题意，作点关于的对称点， 连接， ， 可得 判断是等腰直角三角形，且从而得到 解题即可． 【详解】（1）解：设边上的高的长度为， 由题意得，， ， 又∵， 中边上的高的长度 ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 构造如图所示： 由勾股定理，得：， 在中， ； （3）解：如图， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先由勾股定理求出，再证明得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试说明：； (2)计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，是直角三角形； （2）解：∵， ∴． ( 考点 09 勾股定理逆定理的实际应用 ) 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）年月日我国首枚由中学生自主研制的气象探空火箭“飞燕一号”成功发射，“飞燕一号”搭载气象扫描雷达，若在测试气象扫描环节的某一时刻，雷达扫描区域截面如图阴影所示，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)雷达扫描点与点距离有多远？ (2)此时气象雷达的扫描面积是多少？ 【答案】(1)雷达扫描点与点距离有 (2)此时气象雷达的扫描面积是 【分析】本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理列式计算即可； （2）先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，再由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：， 答：雷达扫描点与点距离有； （2）， ， 为直角三角形，， 绿地的面积 ， 答：此时气象雷达的扫描面积是． 2．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】(1)； (2)符合安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论． 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号． （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答：有秒可以接收到信号． 4．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴A、B之间的距离为． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∵，, ∴, ∴, 该厂区的总面积． . 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【答案】(1)符号要求，理由见解析； (2)，． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； （2）， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 9．（24-25八年级下·山东德州·期中）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 【答案】美化这块区域所需的费用为17280元 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据四边形的面积求出面积，最后再算美化这块区域所需的费用即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， （元）． ∴美化这块区域所需的费用为17280元． 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $