专题24.3 离差与方差（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

本讲义聚焦“离差与方差”核心知识点，构建从离差概念（数据与平均数的差）到离差平方和（解决离差和为0的局限），再到方差（衡量数据波动）及样本方差估算总体方差的递进式学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型变式”分层设计，结合家庭用水、射击成绩等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）与运算能力（数学思维）。课中助教师高效授课，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，强化数据意识（数学语言）的实际应用。

专题24.3 离差与方差 教学目标 1. 掌握离差平方和的概念与计算方法并能够熟练地计算； 2. 掌握方差的定义及计算方法，并能够熟练地计算方差； 3. 能够熟练地用样本方差估算总体方差。 教学重难点 1. 重点 （1）离差与离差平方和； （2）方差； （3）用样本方差估算总体方差。 2. 难点 （1）离差平方和与方差的计算； （2）根据已知数据的方差求新数据的方差。 知识点01 离差与离差平方和 1. 离差： （1） 一般地，由n个数据，用表示他们的平均数，我们把叫做关于平均数的离差。 （2） 一组数据的离差和总是等于0，因此离差无法刻画一组数据与平均数的差异。 2. 离差平方和： 我们把 叫做这n个数据关于平均数的离差平方和。记作“d”。 【即学即练1】 1．小明随机抽查爱民小区6户家庭日均用水情况（单位：m3），分别是3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是8 【答案】A 【解答】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7， A．众数是5，原说法正确，符合题意； B．中位数是5，原说法错误，不符合题意； C．平均数是（3+4+5+5+6+7）＝5，原说法错误，不符合题意； D．由题意，根据平均数是5，从而离差平方和是[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝10，原说法错误，不符合题意；故选：A． 【即学即练2】 2．一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　） A．10 B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：根据平均数的公式计算可得： ， 解得a＝5， ∴（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2＝10， 故选：A． 知识点02 方差 1. 方差的定义与计算公式： 定义：若有个数据，他们的平均数是，我们可以用这些数与平均数的差的平方，即的平均数来衡量这组数据的 波动大小 。并把它叫做这组数据的方差。 计算公式：用字母 来表示方差。 ＝ 。 2. 方差的意义： 方差是用来衡量一组数据的 波动大小 ，一组数据的方差越大，数据的波动 越大 ，一组数据的方差越小，数据波动 越小 。 3. 方差的拓展： 若数据的方差是： （1） 数据的方差是 。 （2） 数据的方差是 。 （3） 数据的方差是 。 4. 标准差： 求方差的算术平方根即为一组数据的标准差。 5. 极差： 一组数据的 最大值 与 最小值 的差即为一组数据的极差。 【即学即练1】 3．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：88，89，90，91，92．这五次测验成绩的方差是（　　） A．1 B．2 C．2.2 D．2.4 【答案】B 【解答】解：小明这学期数学的五次测验成绩的平均数为：90， 小明这学期数学的五次测验成绩的方差为：[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]（4+1+0+1+4）＝2． 故选：B． 【即学即练2】 4．如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.8 9.6 9.7 9.8 方差（环2） 0.15 0.46 0.28 0.37 若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵甲和丁的平均数比乙、丙大， ∴应从甲和丁中选， ∵甲的方差比丁的小， ∴甲的成绩较好且状态稳定，应选的是甲． 故选：A． 【即学即练3】 5．计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①根据方差公式， 在S2中，n＝5， 则一共有5个数据， 故结论①正确，符合题意； ②在方差公式中，是数据的平均数， 在S2中，， 则该数据的平均数是10， 故结论②正确，符合题意； ③标准差是方差的算术平方根，已知S2＝2，则标准差， 故结论③正确，符合题意； ④原数据的平均数是10，添加一个数据10后，新数据的平均数不变，仍为10， 根据方差的性质，添加一个等于平均数的数据，方差会变小， 原方差S2＝2，添加数据10后，新数据的方差会小于2，即新数据的方差改变了， 故结论④错误， 综上，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C． 【即学即练4】 6．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 s2 2.4 2 m 1.6 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　） A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1 【答案】B 【解答】解：根据方差越小代表产量越稳定， ∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定， ∴m＜1.6， ∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同， ∴m≠0， 故选：B． 【即学即练5】 7．已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 【答案】A 【解答】解：∵当一组数据中的每一个数据发生什么样的变化其平均数就发生什么样的变化， ∴数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数为2×4+3＝11， ∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍， ∴数据a1，a2，a3，a4的方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的方差为3×22＝12． 故选：A． 知识点03 用样本方差估算总体方差 1. 用样本方差估算总体方差： 如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，那么实际中常常用样本方差来估算总体方差。 用样本方差估算总体方差的方法和用样本平均数估算总体平均数一样。 【即学即练1】 8．乒乓球的标准直径为40毫米，质检部门从甲、乙两厂分别抽取10只乒乓球，对其直径进行检测，测得两厂乒乓球的平均直径均为40毫米，方差分别是，，则这两厂生产的乒乓球质量比较稳定的是　甲　 厂．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲． 【解答】解：∵S甲2＝0.012，S乙2＝0.02， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲厂生产的乒乓球质量比较稳定． 故答案为：甲． 【即学即练2】 9．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵，，，且 2.0＜2.3＜2.6， ∴． ∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 故选：C． 题型01 求离差或离差平方和 【典例1】学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）分别为4，5，5，6，10．这组数据的离差平方和是　22　 ． 【答案】22． 【解答】解：平均数：（4+5+5+6+10）÷5 ＝30÷5 ＝6． 这组数据的离差平方和是[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（10﹣6）2]＝22． 故答案为：22． 【变式1】一组数据按从小到大的顺序排列为1、1、3、x、4、6．若这组数据的中位数为3，则这组数据的离差平方和是　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，1，3，x，4，6，第3个数是3，第4个数为x， ∵这组数据的中位数为3， ∴3， 解得x＝3， ∴这组数据的平均数是：（1+1+3+3+4+6）÷6＝3， ∴这组数据的离差平方和：（1﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣6）2+（6﹣3）2＝4+4+0+0+1+9＝18， 故答案为：18． 【变式2】某组数据平均数为10，其中一个数据关于平均数的离差为﹣3，则该数据是（　　） A．7 B．10 C．13 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：该数据是：10+（﹣3）＝7， 故选：A． 【变式3】已知数据x1，x2，x3的平均数为5，离差分别为﹣2，1，a，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：方法一：∵数据x1，x2，x3的平均数为5，离差分别为﹣2，1，a， ∴x1＝3+（﹣2）＝3，x2＝5+1＝6，x1+x2+x3＝15， ∴x3＝15﹣3﹣6＝6， ∴a＝6﹣5＝1． 方法二：由题意得，﹣2+1+a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 题型02 求数据的方差 【典例1】一组数据2，3，4，3，3，则这组数据的方差为（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．2 【答案】A 【解答】解：这组数据的平均数（2+3+4+3+3）＝3， 所以这组数据的方差[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]＝0.4． 故选：A． 【变式1】某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（　　） A．7分2 B．8分2 C．9分2 D．10分2 【答案】B 【解答】解：根据平均数的计算方法可得： ， 代入方差公式计算可得： 分2． 故选：B． 【变式2】一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：s2[（1）2+（2）2+（3）2+（4）2+（5）2]．下列说法中错误的是（　　） A．n＝5 B．3 C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【答案】D 【解答】解：A、由方差的计算公式可知：数据的个数n＝5，故本选项说法正确，不符合题意； B、（1+2+3+4+5）＝3，故本选项说法正确，不符合题意； C、数据的方差为：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2， ∴数据的标准差为，故本选项说法正确，不符合题意； D、若添加数据3，则这组数据的方差改变，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图是A，B两位同学9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由折线图可知：A的波动比乙小，即A的成绩比B的更为稳定，所以． 故选：A． 题型03 根据方差做决策 【典例1】跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙， 所以乙、丁两名同学的成绩好， 又因为乙跳绳成绩的方差小于丁， 所以乙同学成绩好且发挥稳定． 故选：B． 【变式1】气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（　　） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【答案】C 【解答】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 故选：C． 【变式2】为助力乡村振兴，某农业基地从修文猕猴桃、麻江蓝莓、罗甸火龙果、威宁苹果四个品种中各选50棵进行产量测试，结果如表所示（单位：千克）．现要选择一种产量高且稳定的品种推广，应选（　　） 品种 修文猕猴桃 麻江蓝莓 罗甸火龙果 威宁苹果 平均产量 22 22 20 19 方差 1.6 1.8 1.6 1.7 A．修文猕猴桃 B．麻江蓝莓 C．罗甸火龙果 D．威宁苹果 【答案】A 【解答】解：因为修文猕猴桃和麻江蓝莓的产量的平均数大， ∴修文猕猴桃和麻江蓝莓的产量较好， 而修文猕猴桃产量的方差比麻江蓝莓产量的方差小， 所以修文猕猴桃的产量比较稳定， 所以修文猕猴桃的产量既高又稳定，所以应选修文猕猴桃． 故选：A． 【变式3】某校九年级有甲，乙，丙，丁四名同学参加跳远测试（满分10分）．他们的平均成绩分别是：9.56分，9.57分，9.56分，9.57分，方差分别是：s甲2＝5.3，s乙2＝5.3，s丙2＝5.1，s丁2＝5.1，则成绩好且发挥稳定的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：由题意可知，乙和丁的平均数大于甲和丙，且丁的方差比B小， 所以成绩好且发挥稳定的是丁同学． 故答案为：D． 题型04 根据已知数据的方差求新数据的方差 【典例1】一组数据的方差为s2，将该数据每一个数据，都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（　　） A． B．s2 C．2 s2 D．4 s2 【答案】D 【解答】解：每个数据都扩大2倍，根据一组数据扩大n倍后，方差是原数据方差的n2倍，即s2×22＝4s2． 故选：D． 【变式1】已知数据：x1，x2，…，xn的平均数是m，方差是n，那么数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别是（　　） A．m，n B．m，n+2 C．m+2，n D．m+2，n+2 【答案】C 【解答】解：根据方差和平均数的计算公式可知： ，即x1+x2+…+xn＝mn，， 那么数据x1+2，x2+2，⋯，xn+2的平均数为：； 方差为： ＝n． 故选：C． 【变式2】已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数和方差分别为（　　） A．4a、2b+3 B．2a+3、2b C．2a+3、4b D．4a、4b+3 【答案】C 【解答】解：∵一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是a，方差是b， ∴，b[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+（x4﹣a）2+（x5﹣a）2]， ∴数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数为： ＝2a+3； 数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的方差为： [（2x1+3﹣2a﹣3）2+（2x2+3﹣2a﹣3）2+（2x3+3﹣2a﹣3）2+（2x4+3﹣2a﹣3）2+（2x5+3﹣2a﹣3）2] [4（x1﹣a）2+4（x2﹣a）2+4（x3﹣a）2+4（x4﹣a）2+4（x5﹣a）2]， ＝4[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+（x4﹣a）2+（x5﹣a）2]， ＝4b． 故选：C． 题型05 用样本方差估算总体方差 【典例1】某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是1.65米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【答案】C 【解答】解：，，， ∵1.2＜2.4＜2.9， ∴， ∴参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 答：参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 故选：C． 【变式1】为考查甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，15，，．则麦苗又高又整齐的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：∵，， ∴， ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高， ∵，， ∴， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐， ∴麦苗又高又整齐的是丁． 故选：D． 【变式2】某单位要购进一批直径为10mm的螺丝，采购员从甲、乙、丙、丁四个加工厂生产的同类螺丝中各随机抽取了100个进行测量，并计算了四个厂所抽取螺丝的直径的平均数和方差，计算结果如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数（mm） 10.03 9.95 10.03 9.95 方差（mm2） 0.004 0.011 0.015 0.007 假如你是该厂的采购员，你选择从哪个厂购买螺丝（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵目标直径为10mm， ∴甲加工厂：|10.03﹣10|＝0.03（mm）， 丁加工厂：|9.95﹣10|＝0.05（mm）， 乙加工厂：|9.95﹣10|＝0.05（mm）， 丙加工厂：|10.03﹣10|＝0.03（mm）， ∵0.03＜0.05， ∴选甲加工厂或丙加工厂， ∵丙方差＝0.015mm2，甲方差＝0.004mm2， ∵方差越小越稳定，且0.015＞0.004， ∴甲加工厂更稳定， 综上，选择甲厂． 故选：A． 1．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3），关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是2 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是10 【答案】D 【解答】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，A．众数是5，原说法错误，不符合题意； B．中位数是5，原说法错误，不符合题意； C．平均数是（3+4+5+5+6+7）＝5，原说法错误，不符合题意； D．离差平方和是（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2＝10，正确，符合题意； 故选：D． 2．2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5，对于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是4.2 B．中位数是4.85 C．众数是5.5 D．方差是0 【答案】B 【解答】解：先将数据从小到大排序得：3.8，4.2，4.2，5.5，5.5，6.1， 平均数：∵，∴A错误，不符合题意； 中位数：∵数据共6个，中位数为第3个和第4个数据的平均数，即，∴B正确，符合题意； 众数：∵4.2和5.5都出现2次，均为出现次数最多的数，即该组数据的众数为4.2和5.5，∴C错误，不符合题意； 方差：∵数据不完全相等，方差不可能为0，∴D错误，不符合题意． 故选：B． 3．甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（　　） A．a小于b B．a等于b C．a大于b D．无法确定 【答案】A 【解答】解：甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，说法甲射击成绩的方差比乙小，即a＜b，故选项A说法正确，符合题意； 故选：A． 4．对于两组数据甲和乙，如果，且，则（　　） A．这两组数据的波动相同 B．数据甲的波动小一些 C．它们的平均水平不相同 D．数据乙的波动小一些 【答案】B 【解答】解：∵，， ∴数据甲的波动比数据乙的波动小． 故选：B． 5．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 根据方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为3.8，小于丁的方差5.6， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 故选：B． 6．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环），下列说法中正确的个数是（　　） ①若这5次成绩的平均数是8，则x＝8； ②若这5次成绩的中位数为8，则x＝8； ③若这5次成绩的众数为8，则x＝8： ④若这5次成绩的方差为8，则x＝8 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①若这5次成绩的平均成绩是8，则（8+9+7+8+x）＝8，解得x＝8，故本选项正确； ②若这5次成绩的中位数为8，则x为任意实数，故本选项错误； ③若这5次成绩的众数是8，则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误； ④如果x＝8，则平均数为（8+9+7+8+8）＝8，方差为[3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]＝0.4，故本选项错误． 故选：A． 7．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是4 B．该组数据的平均数是6 C．该组数据的方差是0.5 D．若该组数据加入数6，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【解答】解：从方差算式中提取原数据，再根据定义逐项分析判断如下： ∵方差算式中共有4个平方项， ∴n＝4，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为7，6，5，6，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数6后，新数据为7，6，5，6，6，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8．甲、乙两位同学在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示．小华同学根据图形写出了以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：由折线统计图可知， 甲的成绩在3和5之间波动，乙的成绩在3和9之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确； 乙的10次成绩中有9次成绩大于甲，其中一次相同，可推知②正确； 每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误． 其中正确的为①②． 故选：A． 9．某女子排球队场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为174cm和180cm的两名队员，换上身高为176cm和178cm的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【解答】解：原数据的平均数为（172+174+178+180+180+184）＝178， 则原数据的方差为[（172﹣178）2+（174﹣178）2+（178﹣178）2+（180﹣178）2+（180﹣178）2+（184﹣178）2]＝16； 新数据的平均数为（172+176+178+178+180+184）＝178， 则新数据的方差为[（172﹣178）2+（176﹣178）2+（178﹣178）2+（178﹣178）2+（180﹣178）2+（184﹣178）2]＝13； 所以平均数变大，方差变小， 故选：C． 10．为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：B作品的平均分：， ∵A作品的平均分低于B作品，且8.6， ∴8.6， 解得x＞9， ∵x为整数，且满分10分， ∴x＝9或10， 当x＝9时，8.8，s0.16， 8.8＞8.6，0.16＜0.24，满足题意； 当x＝10时，9，s0.4， 9＞8.6，0.4＞0.24，不满足题意； ∴x＝9． 故选：C． 11．一组数据：1，3，a，5，6的众数是5，则这组数据的方差是　3.2　 ． 【答案】3.2． 【解答】解：∵众数为5， ∴a＝5， ∵平均数为4， ∴方差为[（1﹣4）2+（3﹣4）2+2×（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝3.2， 故答案为：3.2． 12．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持练习引体向上，他记录了某一周每天练习引体向上的个数，如图： 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，则这组数据的离差平方和是　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵平均数是12，∴这组数据的和＝12×7＝84， ∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36， ∵这组数据唯一众数是13， ∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13， ∴这组数据的离差平方和是：[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]＝8， 故答案为：8． 13．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　16　 ． 【答案】16 【解答】解：这组数据的和为8×2＝16， 故答案为：16． 14．若一组数据m，m+1，m+2，m+3，x的方差与另一组数据m+5，m+6，m+7，m+8，m+9的方差相等，则x的值为m﹣1或m+4　 ．（用含m的代数式表示） 【答案】m﹣1或m+4． 【解答】解：根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同可知： 这组数据可能为m，m+1，m+2，m+3，m+4或m﹣1，m，m+1，m+2，m+3， ∴x的值为m﹣1或m+4． 故答案为：m﹣1或m+4． 15．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为 　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为21， 所以2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为[（2x1+1﹣21）2+（2x2+1﹣21）2+（2x3+1﹣21）2+...+（2xn+1﹣21）2]＝4[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]， 因为数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3， 所以[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]＝3， 所以2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差＝4×3＝12． 故答案为：12． 16．在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如表所示． 甲 6 8 8 10 8 乙 4 7 7 6 6 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差　变小　 ，乙这6次成绩的方差　变大　 ．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）甲的方差为1.6；的方差为1.2； （2）变小，变大． 【解答】解：（1）甲的平均数为：（环）， 则甲的方差为：1.6； 乙的平均数为：（4+7+7+6+6）＝6， 则乙的方差为：[（4﹣6）2+2×（7﹣6）2+2×（6﹣6）2]＝1.2； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差变小，乙这6次成绩的方差变大． 故答案为：变小，变大． 17．甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次．小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）． 甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 4 7 小明的作业 解：甲＝（9+4+7+4+6）＝6，（4﹣6）2+（6﹣6）3] ＝3.6 （1）请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差； （2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】（1）平均数为6环，方差为1.6； （2）选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，推荐乙出去（答案不唯一）． 【解答】解：（1）（7+5+7+4+7）＝6（环），s2乙[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6（环2）； （2）选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，推荐乙出去（答案不唯一）． 18．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 高中部：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：a＝　8　 ，b＝　0.8　 ； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是初中部的学生还是高中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1）8，0.8； （2）9； （3）初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由：∵通过比较方差可知，0.8＜1.8，∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分，∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【解答】解：（1）初中部10名学生对“校园餐”的满意度的打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10，可得中位数为第5，6个数的平均数， ∴a8， 方差b＝[3×（7﹣8）2+5×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝0.8， 故答案为：8，0.8． （2）由题意，可得9+7+9+6+10+6+8+m+9+7＝8×10， 即71+m＝80， ∴m＝9． 故m的值为9； （3）初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由： ∵通过比较方差可知，0.8＜1.8， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 19．某校在八、九年级举行了“人文地理知识”测试比赛（百分制），并从八、九年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，将测试成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）整理、描述和分析，绘制成如下所示的统计图表： 八、九年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 b 37 九年级 92 c 100 39.4 其中八年级10名学生的成绩：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88． 九年级10名学生在C组中的成绩：94，90，92． 根据以上信息，解答下列问题： （1）由统计表可估计这次比赛中　八　 年级学生的测试成绩更稳定． （2）直接写出图表中a，b，c的值：a＝　40　 ，b＝　96　 ，c＝　；93　 ． （3）该校九年级共800人参加了此次测试比赛，估计参加此次测试比赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数． 【答案】（1）八； （2）40；96；93； （3）560人． 【解答】解：（1）∵37＜39.4， ∴这次比赛中八年级学生的测试成绩更稳定， 故答案为：八； （2）八年级10名学生的成绩出现次数最多的是96， 故八年级10名学生成绩的众数b＝96； 九年级10名学生的成绩在A组的有20%×10＝2（人），B组的有10%×10＝1（人）， C组的有3人，成绩分别为90，92，94， 故九年级10名学生成绩的中位数， D组的有10﹣2﹣1﹣3＝4（人），占，则a＝40； 综上，a＝40，b＝96，c＝93； 故答案为：40；96；93； （3）该校九年级共800人参加了此次测试比赛， 九年级10名学生的成绩优秀的占， 800×70%＝560（人）， 所以优秀的学生人数约为560人． 20．为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 【分析数据】 如表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数： 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8． 【解决问题】 （1）m＝　8　 ，n＝　7　 ； （2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小：　＞　 ； （3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常题意”的学生所占百分比分别为30%，40%和52.5%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生人数． 【答案】（1）8，7； （2）＞； （3）224人． 【解答】解：（1）∵8出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是8，即m＝8； 把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10， 中位数是n7； 故答案为：8，7； （2）从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大； 八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以， 故答案为：＞； （3）∵10÷5%＝200（人）， ∴七八年级各200人， ∵8÷5%＝160（人）， ∴九年级160人， ∴200×30%+200×40%+160×52.5%＝224（人）， 答：该校全体学生中选择“非常愿意”的学生人数约为224人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 离差与方差 教学目标 1. 掌握离差平方和的概念与计算方法并能够熟练地计算； 2. 掌握方差的定义及计算方法，并能够熟练地计算方差； 3. 能够熟练地用样本方差估算总体方差。 教学重难点 1. 重点 （1）离差与离差平方和； （2）方差； （3）用样本方差估算总体方差。 2. 难点 （1）离差平方和与方差的计算； （2）根据已知数据的方差求新数据的方差。 知识点01 离差与离差平方和 1. 离差： （1） 一般地，由n个数据，用表示他们的平均数，我们把叫做关于平均数的离差。 （2） 一组数据的离差和总是等于0，因此离差无法刻画一组数据与平均数的差异。 2. 离差平方和： 我们把 叫做这n个数据关于平均数的离差平方和。记作“d”。 【即学即练1】 1．小明随机抽查爱民小区6户家庭日均用水情况（单位：m3），分别是3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是8 【即学即练2】 2．一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　） A．10 B． C．2 D． 知识点02 方差 1. 方差的定义与计算公式： 定义：若有个数据，他们的平均数是，我们可以用这些数与平均数的差的平方，即的平均数来衡量这组数据的 。并把它叫做这组数据的方差。 计算公式：用字母 来表示方差。 ＝ 。 2. 方差的意义： 方差是用来衡量一组数据的 ，一组数据的方差越大，数据的波动 ，一组数据的方差越小，数据波动 。 3. 方差的拓展： 若数据的方差是： （1） 数据的方差是 。 （2） 数据的方差是 。 （3） 数据的方差是 。 4. 标准差： 求方差的算术平方根即为一组数据的标准差。 5. 极差： 一组数据的 与 的差即为一组数据的极差。 【即学即练1】 3．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：88，89，90，91，92．这五次测验成绩的方差是（　　） A．1 B．2 C．2.2 D．2.4 【即学即练2】 4．如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.8 9.6 9.7 9.8 方差（环2） 0.15 0.46 0.28 0.37 若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【即学即练3】 5．计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练4】 6．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 s2 2.4 2 m 1.6 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　） A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1 【即学即练5】 7．已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 知识点03 用样本方差估算总体方差 1. 用样本方差估算总体方差： 如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，那么实际中常常用样本方差来估算总体方差。 用样本方差估算总体方差的方法和用样本平均数估算总体平均数一样。 【即学即练1】 8．乒乓球的标准直径为40毫米，质检部门从甲、乙两厂分别抽取10只乒乓球，对其直径进行检测，测得两厂乒乓球的平均直径均为40毫米，方差分别是，，则这两厂生产的乒乓球质量比较稳定的是　 　 厂．（填“甲”或“乙”） 【即学即练2】 9．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 题型01 求离差或离差平方和 【典例1】学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）分别为4，5，5，6，10．这组数据的离差平方和是　 　 ． 【变式1】一组数据按从小到大的顺序排列为1、1、3、x、4、6．若这组数据的中位数为3，则这组数据的离差平方和是　 　 ． 【变式2】某组数据平均数为10，其中一个数据关于平均数的离差为﹣3，则该数据是（　　） A．7 B．10 C．13 D．无法确定 【变式3】已知数据x1，x2，x3的平均数为5，离差分别为﹣2，1，a，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 题型02 求数据的方差 【典例1】一组数据2，3，4，3，3，则这组数据的方差为（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．2 【变式1】某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（　　） A．7分2 B．8分2 C．9分2 D．10分2 【变式2】一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：s2[（1）2+（2）2+（3）2+（4）2+（5）2]．下列说法中错误的是（　　） A．n＝5 B．3 C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【变式3】如图是A，B两位同学9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（　　） A． B． C． D．无法确定 题型03 根据方差做决策 【典例1】跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（　　） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【变式2】为助力乡村振兴，某农业基地从修文猕猴桃、麻江蓝莓、罗甸火龙果、威宁苹果四个品种中各选50棵进行产量测试，结果如表所示（单位：千克）．现要选择一种产量高且稳定的品种推广，应选（　　） 品种 修文猕猴桃 麻江蓝莓 罗甸火龙果 威宁苹果 平均产量 22 22 20 19 方差 1.6 1.8 1.6 1.7 A．修文猕猴桃 B．麻江蓝莓 C．罗甸火龙果 D．威宁苹果 【变式3】某校九年级有甲，乙，丙，丁四名同学参加跳远测试（满分10分）．他们的平均成绩分别是：9.56分，9.57分，9.56分，9.57分，方差分别是：s甲2＝5.3，s乙2＝5.3，s丙2＝5.1，s丁2＝5.1，则成绩好且发挥稳定的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型04 根据已知数据的方差求新数据的方差 【典例1】一组数据的方差为s2，将该数据每一个数据，都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（　　） A． B．s2 C．2 s2 D．4 s2 【变式1】已知数据：x1，x2，…，xn的平均数是m，方差是n，那么数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别是（　　） A．m，n B．m，n+2 C．m+2，n D．m+2，n+2 【变式2】已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数和方差分别为（　　） A．4a、2b+3 B．2a+3、2b C．2a+3、4b D．4a、4b+3 题型05 用样本方差估算总体方差 【典例1】某校举行健美操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都是1.65米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级是（　　） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐 【变式1】为考查甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，15，，．则麦苗又高又整齐的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】某单位要购进一批直径为10mm的螺丝，采购员从甲、乙、丙、丁四个加工厂生产的同类螺丝中各随机抽取了100个进行测量，并计算了四个厂所抽取螺丝的直径的平均数和方差，计算结果如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数（mm） 10.03 9.95 10.03 9.95 方差（mm2） 0.004 0.011 0.015 0.007 假如你是该厂的采购员，你选择从哪个厂购买螺丝（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 1．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3），关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是2 B．中位数是6 C．平均数是6 D．离差平方和是10 2．2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5，对于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是4.2 B．中位数是4.85 C．众数是5.5 D．方差是0 3．甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（　　） A．a小于b B．a等于b C．a大于b D．无法确定 4．对于两组数据甲和乙，如果，且，则（　　） A．这两组数据的波动相同 B．数据甲的波动小一些 C．它们的平均水平不相同 D．数据乙的波动小一些 5．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环），下列说法中正确的个数是（　　） ①若这5次成绩的平均数是8，则x＝8； ②若这5次成绩的中位数为8，则x＝8； ③若这5次成绩的众数为8，则x＝8： ④若这5次成绩的方差为8，则x＝8 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是4 B．该组数据的平均数是6 C．该组数据的方差是0.5 D．若该组数据加入数6，则这组新数据的方差变大 8．甲、乙两位同学在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示．小华同学根据图形写出了以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．某女子排球队场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为174cm和180cm的两名队员，换上身高为176cm和178cm的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 10．为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 11．一组数据：1，3，a，5，6的众数是5，则这组数据的方差是　 ． 12．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持练习引体向上，他记录了某一周每天练习引体向上的个数，如图： 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，则这组数据的离差平方和是　 　 ． 13．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　 　 ． 14．若一组数据m，m+1，m+2，m+3，x的方差与另一组数据m+5，m+6，m+7，m+8，m+9的方差相等，则x的值为 ．（用含m的代数式表示） 15．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为 　 　 ． 16．在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如表所示． 甲 6 8 8 10 8 乙 4 7 7 6 6 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差　 　 ，乙这6次成绩的方差　 　 ．（填“变大”“变小”或“不变”） 17．甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次．小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）． 甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 4 7 小明的作业 解：甲＝（9+4+7+4+6）＝6，（4﹣6）2+（6﹣6）3] ＝3.6 （1）请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差； （2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 18．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 高中部：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是初中部的学生还是高中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 19．某校在八、九年级举行了“人文地理知识”测试比赛（百分制），并从八、九年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，将测试成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）整理、描述和分析，绘制成如下所示的统计图表： 八、九年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 b 37 九年级 92 c 100 39.4 其中八年级10名学生的成绩：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88． 九年级10名学生在C组中的成绩：94，90，92． 根据以上信息，解答下列问题： （1）由统计表可估计这次比赛中　 　 年级学生的测试成绩更稳定． （2）直接写出图表中a，b，c的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （3）该校九年级共800人参加了此次测试比赛，估计参加此次测试比赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数． 20．为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 【分析数据】 如表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数： 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8． 【解决问题】 （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小：　 　 ； （3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常题意”的学生所占百分比分别为30%，40%和52.5%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生人数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $