专题23.4 一次函数与方程（组）、不等式（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

本讲义聚焦一次函数与方程（组）、不等式的关系这一核心知识点，系统梳理从一次函数交点求一元一次方程解、二元一次方程组解，到利用函数图象求不等式解集的脉络，搭建数形结合的学习支架。 资料以“即学即练+题型变式”为特色，通过图象分析培养几何直观（数学眼光），逻辑推理（数学思维），强化模型意识（数学语言）。例如借助函数交点坐标解方程组，课中助力教师突破重难点，课后帮助学生巩固提升。

专题23.4 一次函数与方程（组）、不等式 教学目标 1. 掌握函数与方程的关系，通过数形结合，能利用函数交点求方程的解，也能用方程的解求函数的交点。 2. 掌握函数与不等式的关系，能够利用函数图象求不等式的解集。 教学重难点 1. 重点 （1） 一次函数与方程的关系； （2） 一次函数与不等式的关系。 2. 难点 （1）通过数形结合求方程的解； （2）通过数形结合求不等式的解集。 知识点01 一次函数与一元一次方程 1. 求函数的交点： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值代入任意函数值求得交点的 纵坐标 。 2. 一次函数与一元一次方程： ①函数中，的的值是方程的解，也是函数与轴交点的横坐标。 ②若一次函数的图象经过点，则一元一次方程的解为 。 ③若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 【即学即练1】 1．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，2），则关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．y＝2 【答案】A 【解答】解：当y＝0时，kx+b＝0， 所以关于x的方程kx+b＝0的解即为直线y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 因为次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）， 所以关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣1． 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则方程kx+b＝3的解是（　　） A．x＝b B．x＝2 C．x＝3 D． 【答案】B 【解答】解：由函数图象可知：当x＝2时y＝kx+b＝3， 所以关于x的方程kx+b＝3的解为x＝2， 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝4 【答案】B 【解答】解：∵直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A（﹣4，2）， ∴关于x的方程mx+n＝px+q的解为x＝﹣4． 故选：B． 【即学即练4】 4．如图，一次函数y＝ax+2（a≠0且a为常数）与y＝2x﹣1的图象相交于点P，且点P的纵坐标为7，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝4 C．x＝3 D．x＝2 【答案】B 【解答】解：根据题意得，点P的纵坐标为7， 把y＝7代入y＝2x﹣1， 可得7＝2x﹣1，解得x＝4， ∴点P的坐标为（4，7）， ∵一次函数y＝ax+2（a≠0且a为常数）与y＝2x﹣1的图象相交于点P， ∴关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是x＝4． 故选：B． 知识点02 一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 【即学即练1】 5．如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据一次函数与二元一次方程的关系可知：点A（2，1）的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 故选：A． 【即学即练2】 6．已知方程组的解为，直线y＝x+1与直线y＝2x﹣3的交点坐标是（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（4，0） D．（5，0） 【答案】A 【解答】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝x+1与直线y＝2x﹣3的交点坐标是（4，5）． 故选：A． 知识点03 一次函数与不等式 1. 一次函数与不等式： ①在函数中，的值大于（或小于）0是的的取值范围是对应的的解集；也是函数图象轴上方（或下方）的部分所对的取值范围。 ②若一次函数的图象经过点，则不等式的解集取点上方所在图象所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图象所对应的自变量范围。 ③若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图象在图象上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图象在图象下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 【即学即练1】 7．如图是一次函数y＝kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【答案】C 【解答】解：由一次函数的图象可知， 当kx+b≥0时，x≤2， 故选：C． 【即学即练2】 8．直线y＝ax+b（a＜0）过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜4 D．x＞4 【答案】D 【解答】解：由题意可得： ∴当x＝4时，ax+b＝1， 又∵a＜0，一次函数y＝ax+b中y随x的增大而减小， ∴当ax+b＜1时，x＞4． 故选：D． 【即学即练3】 9．一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+5的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞5 【答案】B 【解答】解：根据两个一次函数的图象交点的横坐标为3， ∵y1＜y2， ∴x＜3， 故选：B． 【即学即练4】 10．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），正比例函数y＝2x的图象经过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），正比例函数y＝2x的图象经过点A， 再结合函数图象可知，不等式2x＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：B． 题型01 利用一次函数与一次方程的关系求解 【典例1】如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【答案】C 【解答】解：由条件可知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣4， 故选：C． 【变式1】已知一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程kx＝﹣b的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 A．x＝1 B．x＝0 C．y＝0 D．y＝1 【答案】A 【解答】解：方程可变形为kx+b＝0， 从表格可知：方程kx＝﹣b的解为x＝1． 故选：A． 【变式2】如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（2，4），（4，1），则关于x的方程ax+b＝1的解是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：由条件可知当x＝4时，ax+b＝1， ∴方程ax+b＝1的解是x＝4， 故选：A． 【变式3】一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝3k的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝1 D．x＝﹣1 【答案】A 【解答】解：观察图象可知，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0）， ∴b＝﹣2k， ∴关于x的方程kx+b＝3k可变形为：kx＝5k， ∵k≠0， ∴x＝5． 故选：A． 题型02 利用一次函数与二元一次方程（组）的关系求解 【典例1】如图，一次函数y＝k1x+b1的图象与y＝k2x+b2的图象相交于点P（﹣2，3），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据函数图象交点坐标可知： 关于x，y的方程组的解是， 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n（m，n为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，∵直线l1：y＝x+4过点A（﹣1，b）， ∴b＝﹣1+4＝3， ∴A（﹣1，3）， ∴结合图象可得，方程组的解为， 故选：B． 【变式2】已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）与y＝kx+n（k，n为常数，k≠0）的图象交于点P（1，3），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝kx+n的图象交于点P（1，3）， ∴满足方程组， 即关于x、y的方程组的解是． 故选：A． 【变式3】如图，一次函数y＝k1x与y＝k2x+b的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由图知，二元一次方程组的解是， 故选：B． 题型03 利用一次函数与不等式的关系求解集 【典例1】如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 【答案】D 【解答】解：观察图象得：不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3， 故选：D． 【变式1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜﹣1的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＜2 【答案】D 【解答】解：由条件可得， 解得， ∴， ∴， 解得x＜2， 故选：D． 【变式2】已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A 【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣1， 故选：A． 【变式3】如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【答案】D 【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4）， ∴m+3＝4， 解得：m＝1， ∴A（1，4）， ∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 【变式4】一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式组0＜kx+b＜mx+n的解集为　2＜x＜5　 ． 【答案】2＜x＜5． 【解答】解：由图像可知满足0＜kx+b且kx+b＜mx+n，对应的自变量取值为2＜x＜5． 故答案为：2＜x＜5． 题型04 其他一次函数与方程（组）、不等式的求值 【典例1】关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【答案】D 【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7， ∴x＝7时，y＝kx+b＝3， ∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）． 故选：D． 【变式1】如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解答】解：如果关于x、y的方程组无解， ∴两直线平行， ∴k＝﹣2， ∴直线解析式为y＝﹣2x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1＜0，与y轴交于负半轴； 当y＝0时，x＝﹣0.5＜0，与x轴交于负半轴； 又∵﹣2＜0， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选A． 【变式2】已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），方程组的解是，则a+b＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：， 故， 由此可知a+b＝1， 故答案为：1． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝m（x+3）﹣1（m≠0）和y2＝a（x﹣1）+2（a≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，m的取值范围为（　　） A． B． C．m且m≠0 D．m且m≠0 【答案】D 【解答】解：∵y1＝m（x+3）﹣1＝mx+3m﹣1，y2＝a（x﹣1）+2＝ax﹣a+2， 且无论x取何值始终有y2＞y1， ∴两直线平行，即m＝a， ∴y2﹣y1＝ax﹣a+2﹣mx﹣3m+1＝﹣4m+3＞0， ∵y2﹣y1＞0恒成立， ∴﹣4m+3＞0，解得， 又∵m≠0， ∴且m≠0； 故选：D． 1．方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与（　　） A．x轴交点的横坐标 B．y轴交点的横坐标 C．x轴交点的纵坐标 D．y轴交点的纵坐标 【答案】A 【解答】解：根据题意知，当x＝﹣2时，y＝0， ∴函数y＝x+2的图象与x轴交点坐标为（﹣2，0）， ∴方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与x轴交点的横坐标， 故选：A． 2．如果一次函数y＝3x+6与y＝2x﹣4的图象交点坐标为（a，b），则是方程组（　　）的解 A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，方程组的解可以看作是一次函数y＝3x+6与y＝2x﹣4的图象交点坐标， ∵一次函数y＝3x+6与y＝2x﹣4的图象交点坐标为（a，b）， ∴是方程组，即的解． 故选：C． 3．已知不等式kx+b＞0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可得kx＞﹣b，k＜0，b＞0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限， 故选：D． 4．如图，直线与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解与直线l2的表达式分别为（　　） A．；y＝﹣x+2 B．； C．； D．； 【答案】D 【解答】解：直线与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）， 把点P（1，b）代入得：， ∴点， ∵直线与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，（2，0）代入y＝mx+n可得， 解得：， 故直线l2的表达式为． 故选：D． 5．如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点（2，0），（0，3），有下列结论： ①图象经过点（1，﹣3）； ②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ③关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ④当x＞2时y＜0； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由图象知，当0＜x＜2时，函数值为正，即当x＝1时，函数值为正，不可能为﹣3，故①错误，不符合题意； 由图象知，当x＞2时y＜0，故④正确，符合题意； 直线与x轴交于点（2，0），即关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，故②正确，符合题意； 直线与y轴交于点（0，3），关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，故③正确，符合题意； 所以正确的结论有②③④3个． 故选：C． 6．已知一次函数y＝ax+3与y＝bx﹣1的图象如图所示，其交点B的坐标为（﹣3，m），直线y＝bx﹣1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），则下列说法正确的是（　　） A．方程bx﹣1＝0的解是x＝﹣3 B．方程组的解是 C．关于x的不等式ax+3≥bx﹣1的解集是x≥﹣3 D．bx﹣1＞0的解集为x＞﹣1 【答案】C 【解答】解：A、∵直线y＝bx﹣1与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，bx﹣1＝0， ∴方程bx﹣1＝0的解是x＝﹣1，原说法错误，不符合题意； B、∵一次函数y＝ax+3与y＝bx﹣1的图象交于点（﹣3，m）， ∴方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当x＞﹣3时，一次函数y＝ax+3的图象在y＝bx﹣1的图象的上方， ∴关于x的不等式ax+3≥bx﹣1的解集是x≥﹣3，正确，符合题意； D、观察图象得：当x＜﹣1时，函数y＝bx﹣1的图象在x轴的上方， ∴bx﹣1＞0的解集为x＜﹣1，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 7．已知点A（﹣2，a），B（3，b）均在直线y＝kx（k≠0）的图象上，若a＞b，则该直线经过的点的坐标可以是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（2，0） C．（1，4） D．（2，﹣7） 【答案】D 【解答】解：∵﹣2＜3，a＞b， ∴y随x的增大而减小，可得k＜0． ∴对于y＝kx（k≠0），变形得，k＜0说明x与y符号相反，即选项D符合题意． 故选：D． 8．对于一次函数y1＝kx+2（k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜1时，y1＞y2，则k的值不可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：由题意，对任意x＜1都满足y1＞y2． ∴kx+2＞x﹣3，整理得（k﹣1）x+5＞0． 设m＝k﹣1，分情况讨论： 当m＝0，即k＝1时，不等式为5＞0，恒成立，因此k＝1满足条件，排除A． 当m＞0，即k＞1时，y＝（k﹣1）x+5随x增大而增大，x越小函数值越小，因此存在足够小的x＜1使得（k﹣1）x+5＜0，不满足条件．选项C中k＝2＞1，验证：取x＝﹣6＜1，代入得y1＜y2，不满足要求． 当m＜0，即k＜1时，y＝（k﹣1）x+5随x增大而减小，因此对任意x＜1，都有（k﹣1）x+5＞（k﹣1）×1+5＝k+4．要不等式恒成立，只需k+4≥0，即k≥﹣4．选项B的k＝﹣1、选项D的k＝﹣2都满足﹣4≤k＜1，因此都符合条件，排除． 因此k的值不可能是2． 故选：C． 9．在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 【答案】C 【解答】解：由条件可知， 解得：， A、当m＞n时，则n﹣m＜0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； B、当m＜n时，则n﹣m＞0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； C、当m+n＝2时，则m＝2﹣n， ∵点P（m，n）在第一象限内， ∴0＜m＜2，0＜n＜2， ∴，故该选项判断正确，符合题意； D、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 故选：C． 10．已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＞m+n；③2（a﹣m）＝b﹣n；④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【解答】解：①∵y2＝ax+b的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，a＜0，b＜0． 所以ab＞0． 故①正确． ②将x＝1分别代入y1和y2得， y1＝m+n，y2＝a+b． 观察图象不难发现点（1，m+n）在点（1，a+b）的上方， 所以m+n＞a+b． 故②不正确． ③观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为﹣2． ∴当x＝﹣2时，两者的函数值相等． ∴﹣2a+b＝﹣2m+n， ∴2（a﹣m）＝b﹣n 故③正确． ④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点， 由y1＝ax+b的图象可知，当x1＞x2时，y1＜y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 当x1＜x2时，y1＞y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 故④不正确． 故选：B． 11．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，m）则方程组的解是 　　 ． 【答案】故答案为：． 【解答】解：∵y＝x+2经过P（2，m）， ∴m＝2+2， ∴m＝4， ∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，4）， ∴， 故答案为：． 12．一次函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥﹣3　 ． 【答案】x≥﹣3． 【解答】解：由图可知关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 13．已知关于x，y的方程组的解是，则一次函数，的图象交点的坐标是　（4，4）　 ． 【答案】（4，4）． 【解答】解：把代入方程组， 得， 即， 把代入，得y＝x， 把代入，得y＝2x﹣4， 联立， 解得， 则交点的坐标是（4，4）． 故答案为：（4，4）． 14．已知一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，b1，k2，b2均为常数）的图象交于点（2，3），则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：把一次函数y1＝k1x+b1的图象向右平移一个单位得到y＝k1（x﹣1）+b1，把一次函数y2＝k2x+b2的图象向右判一个单位得到y＝k2（x﹣1）+b2， ∵一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，b1，k2，b2均为常数）的图象交于点（2，3）， ∴一次函数y＝k1（x﹣1）+b1与y2＝k2（x﹣1）+b2的图象交于点（3，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 15．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，y4＝kx+b4的图象相交于点P．嘉嘉根据图象得到如下结论：①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而增大；③方程组与的解相同，都是；④b1＜b2＜b3＜b4；⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值先到达10．其中正确的结论是　①③④　 ．（填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：由图象知，①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；故符合题意； ②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而减小，故不符合题意； ③方程组与的解相同，都是，故符合题意； ④b1＜b2＜b3＜b4；故符合题意； ⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值后到达10，故不符合题意． 故答案为：①③④． 16．如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）m＝2，a＝3； （2）0＜x＜1． 【解答】解：（1）将点P（1，m）代入y1＝2x得， m＝2， 所以点P坐标为（1，2）． 将点P（1，2）代入y2＝﹣x+a得， ﹣1+a＝2， 解得a＝3； （2）由函数图象可知， 当0＜x＜1时，函数y2的图象在函数y1图象的上方，且函数y1的图象在x轴上方，即0＜y1＜y2， 所以当0＜y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜1． 17．如图，直线l1：y＝kx+5（k是常数且k≠0）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于点P（﹣4，1）． （1）直接写出方程组的解为　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由函数图象可知，方程组的解为两直线交点P（﹣4，1）， 即． 故答案为：； （2）将P（﹣4，1）代入l1：y＝kx+5得：1＝﹣4k+5， 解得k＝1，即l1：y＝x+5； 将P（﹣4，1）代入得：， 解得b＝﹣1，即； 当时， 解得：x＝﹣2，即D（﹣2，0）； 当y＝x+5＝0时， 解得：x＝﹣5，即B（﹣5，0）； ∴． 18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 【答案】（1）3，； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）由条件可得：b＝2×1+1＝3， ∴P（1，3）， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线l1：y＝2x+1， 令y＝0，则2x+1＝0， 解得：， ∴， 对于直线l2：y＝﹣x+4， 令y＝0，则﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴B（4，0）， ∴， ∴； （3）∵CD＝4， ∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4， 即：|3a﹣3|＝4， 解得：或． 19．已知一次函数y1＝ax+1，其中a≠0． （1）若点（1，2）在y1的图象上，求a的值； （2）当﹣3≤x≤2时，若函数有最大值5，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝2x+2，当x＞0时．y1＜y2都成立，求a的取值范围． 【答案】（1）a＝1； （2）一次函数解析式为y1＝2x+1或； （3）a≤2且a≠0． 【解答】解：（1）把（1，2）代入y1＝ax+1得a+1＝2， ∴a＝1． （2）当a＞0时，y1随x的增大而增大， ∵x＝2时，y＝5， 把（2，5）代入y1＝ax+1得2a+1＝5， 解得：a＝2， 此时一次函数解析式为y1＝2x+1； 当a＜0时，y1随x的增大而减小， ∵当﹣3≤x≤2时，函数有最大值5，即x＝﹣3时，y＝5， 把（﹣3，5）代入y1＝ax+1得﹣3a+1＝5， 解得：， 此时， 综上，一次函数解析式为y1＝2x+1或； （3）如图： 分为两种情况：①当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象没有交点时， 即当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象平行时， 满足一次函数y2＝2x+2与y轴的交点在一次函数y1＝ax+1与y轴的交点的上方， 此时y1＜y2， 即a＝2； ②当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象有交点时， 若满足两个函数的交点在y轴的左侧，包括y轴， 此时x＞0时，y1＜y2成立， 即a＜2； 综上，a的取值范围为：a≤2且a≠0． 20．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n如图所示． （1）关于x，y的方程组的解为　　 ； （2）若k＜m，求直线l1的函数关系； （3）过P（t，0）作x轴的垂线交直线l1、l2于点M、N，设MN＝S． ①求S与t之间的函数关系式； ②当﹣4≤t＜1时，S的取值范围是　0≤S＜12　 ； ③当m≤t＜m+2时，若S的最大值与最小值的差等于7.5，t的值为　无解　 ． 【答案】（1）； （2）直线l1的解析式为y＝﹣x+1； （3）①S；②0≤S＜12；③无解． 【解答】解：（1）根据图象可知： 关于x，y的方程组的解为， 故答案为：； （2）∵k＜m， ∴直线l1：y＝kx+b经过（﹣3，4），（﹣5，6）， ∴， 解得， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+1； （3）①直线l2：y＝mx+n经过（﹣5，0），（﹣3，4）， ∴， 解得， ∴直线l2的函数解析式为y＝2x+10； ∵直线l1的解析式为y＝﹣x+1，过P（t，0）作x轴的垂线交直线l1、l2于点M、N， ∴M（t，﹣t+1），N（t，2t+10）， 当t＜﹣3时，MN＝﹣t+1﹣（2t+10）＝﹣3t﹣9， 当t≥﹣3时，MN＝2t+10﹣（﹣t+1）＝3t+9， ∴S； ②当﹣4≤t＜﹣3时，S＝﹣3t﹣9，此时0＜S≤3；当﹣3≤t＜1时，S＝3t+9，此时0≤S＜12； 综上，当﹣4≤t＜1时，0≤S＜12， 故答案为：0≤S＜12； ③当m＞﹣3时，当t＝m时，S取最小值3m+9，当t＝m+2时，S取最大值3（m+2）+9＝3m+15，此时最大值与最小值的差为：3m+15﹣（3m+9）＝15﹣9＝ 6≠7.5，不符合题意； 当m+2＜﹣3，即m＜﹣5时，当t＝m时，S取最大值﹣3m﹣9，当t＝ m+2时，S取最小值﹣3（m+2）﹣9 ＝﹣3m﹣15，此时最大值与最小值的差为：﹣3m﹣9﹣（﹣3m﹣15）＝ 6≠7.5，不符合题意； ﹣4≤m≤﹣3时，t＝﹣3时，S取最小值0，t＝m+2时S取最大值3（m+2）+9＝3m+15，此时3m+15＝7.5，解得m＝﹣2.5，不符合题意； 当﹣5≤m＜﹣4时，t＝m+2＝﹣3时，S取最小值0，t＝m时，S取最大值﹣3m﹣9，此时﹣3m﹣9﹣0＝7.5，解得：m＝﹣5.5，不符合题意； 综上，无解． 故答案为：无解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 一次函数与方程（组）、不等式 教学目标 1. 掌握函数与方程的关系，通过数形结合，能利用函数交点求方程的解，也能用方程的解求函数的交点。 2. 掌握函数与不等式的关系，能够利用函数图象求不等式的解集。 教学重难点 1. 重点 （1） 一次函数与方程的关系； （2） 一次函数与不等式的关系。 2. 难点 （1）通过数形结合求方程的解； （2）通过数形结合求不等式的解集。 知识点01 一次函数与一元一次方程 1. 求函数的交点： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 ，将所得的值代入任意函数值求得交点的 。 2. 一次函数与一元一次方程： ①函数中，的的值是方程的解，也是函数与轴交点的横坐标。 ②若一次函数的图象经过点，则一元一次方程的解为 。 ③若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 【即学即练1】 1．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，2），则关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．y＝2 【即学即练2】 2．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则方程kx+b＝3的解是（　　） A．x＝b B．x＝2 C．x＝3 D． 【即学即练3】 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝4 【即学即练4】 4．如图，一次函数y＝ax+2（a≠0且a为常数）与y＝2x﹣1的图象相交于点P，且点P的纵坐标为7，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝4 C．x＝3 D．x＝2 知识点02 一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 【即学即练1】 5．如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 6．已知方程组的解为，直线y＝x+1与直线y＝2x﹣3的交点坐标是（　　） A．（4，5） B．（5，4） C．（4，0） D．（5，0） 知识点03 一次函数与不等式 1. 一次函数与不等式： ①在函数中，的值大于（或小于）0是的的取值范围是对应的的解集；也是函数图象轴上方（或下方）的部分所对的取值范围。 ②若一次函数的图象经过点，则不等式的解集取点上方所在图象所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图象所对应的自变量范围。 ③若一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图象在图象上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图象在图象下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 【即学即练1】 7．如图是一次函数y＝kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【即学即练2】 8．直线y＝ax+b（a＜0）过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜4 D．x＞4 【即学即练3】 9．一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+5的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞5 【即学即练4】 10．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），正比例函数y＝2x的图象经过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 题型01 利用一次函数与一次方程的关系求解 【典例1】如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【变式1】已知一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程kx＝﹣b的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 A．x＝1 B．x＝0 C．y＝0 D．y＝1 【变式2】如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（2，4），（4，1），则关于x的方程ax+b＝1的解是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝3k的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝1 D．x＝﹣1 题型02 利用一次函数与二元一次方程（组）的关系求解 【典例1】如图，一次函数y＝k1x+b1的图象与y＝k2x+b2的图象相交于点P（﹣2，3），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n（m，n为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）与y＝kx+n（k，n为常数，k≠0）的图象交于点P（1，3），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，一次函数y＝k1x与y＝k2x+b的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 题型03 利用一次函数与不等式的关系求解集 【典例1】如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 【变式1】已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜﹣1的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＜2 【变式2】已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【变式3】如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【变式4】一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式组0＜kx+b＜mx+n的解集为　 　 ． 题型04 其他一次函数与方程（组）、不等式的求值 【典例1】关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【变式1】如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），方程组的解是，则a+b＝　 　 ． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝m（x+3）﹣1（m≠0）和y2＝a（x﹣1）+2（a≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，m的取值范围为（　　） A． B． C．m且m≠0 D．m且m≠0 1．方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与（　　） A．x轴交点的横坐标 B．y轴交点的横坐标 C．x轴交点的纵坐标 D．y轴交点的纵坐标 2．如果一次函数y＝3x+6与y＝2x﹣4的图象交点坐标为（a，b），则是方程组（　　）的解 A． B． C． D． 3．已知不等式kx+b＞0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解与直线l2的表达式分别为（　　） A．；y＝﹣x+2 B．； C．； D．； 5．如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点（2，0），（0，3），有下列结论： ①图象经过点（1，﹣3）； ②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ③关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ④当x＞2时y＜0； 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知一次函数y＝ax+3与y＝bx﹣1的图象如图所示，其交点B的坐标为（﹣3，m），直线y＝bx﹣1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），则下列说法正确的是（　　） A．方程bx﹣1＝0的解是x＝﹣3 B．方程组的解是 C．关于x的不等式ax+3≥bx﹣1的解集是x≥﹣3 D．bx﹣1＞0的解集为x＞﹣1 7．已知点A（﹣2，a），B（3，b）均在直线y＝kx（k≠0）的图象上，若a＞b，则该直线经过的点的坐标可以是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（2，0） C．（1，4） D．（2，﹣7） 8．对于一次函数y1＝kx+2（k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜1时，y1＞y2，则k的值不可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 9．在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 10．已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＞m+n；③2（a﹣m）＝b﹣n；④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 11．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，m）则方程组的解是 　 　 ． 12．一次函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是 　 ． 13．已知关于x，y的方程组的解是，则一次函数，的图象交点的坐标是　 　 ． 14．已知一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，b1，k2，b2均为常数）的图象交于点（2，3），则关于x，y的方程组的解是 　 ． 15．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，y4＝kx+b4的图象相交于点P．嘉嘉根据图象得到如下结论：①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而增大；③方程组与的解相同，都是；④b1＜b2＜b3＜b4；⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值先到达10．其中正确的结论是　 　 ．（填序号） 16．如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围． 17．如图，直线l1：y＝kx+5（k是常数且k≠0）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于点P（﹣4，1）． （1）直接写出方程组的解为　 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积． 18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 19．已知一次函数y1＝ax+1，其中a≠0． （1）若点（1，2）在y1的图象上，求a的值； （2）当﹣3≤x≤2时，若函数有最大值5，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝2x+2，当x＞0时．y1＜y2都成立，求a的取值范围． 20．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n如图所示． （1）关于x，y的方程组的解为 　 ； （2）若k＜m，求直线l1的函数关系； （3）过P（t，0）作x轴的垂线交直线l1、l2于点M、N，设MN＝S． ①求S与t之间的函数关系式； ②当﹣4≤t＜1时，S的取值范围是　 　 ； ③当m≤t＜m+2时，若S的最大值与最小值的差等于7.5，t的值为 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $