专题01 二次根式、勾股定理（5大考点）（期末真题汇编，内蒙古专用）八年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦二次根式与勾股定理5大高频考点，汇编内蒙古多地期末真题，基础选择与综合解答题结合，强化核心知识应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|二次根式有意义条件、最简二次根式、勾股定理逆定理判定|立足基础，如判断最简二次根式、勾股数；结合文化传承，引用《周髀算经》素材| |解答|约16题|二次根式混合运算、勾股定理应用、综合计算|注重能力提升，含代入求值、旗杆测量等实际问题；融入跨知识综合，如海伦-秦九韶公式应用|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 二次根式、勾股定理 ☆5大高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02最简二次根式 考点03二次根式的混合运算 考点04勾股定理 考点05勾股定理的逆定理 目目 考点01 二次根式有意义的条件 1.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布期末)要使代数式有意义，则x的取值范围是() 3-x A.x≠3 B.x>2或x≠3 C.x>2 D.x≥2且x≠3 2 2.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期未)若二次根式V有意义，则x的取值范围为（) A.x≥3 B.x≥0 C.x>3 D.x≠3 3.(2425八年级下内蒙古赤峰期末)若代数式焉有意义，则实数x的值可以是() A.2 B.-1 C.3 D.-2 4.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列式子是二次根式的是() A.-7 B. C.x2+1 D.va-3 目目 考点02 最简二次根式 (24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.V12 B.v3 c.厚 D.5 6.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是( A.V3 B.v3+b c.反 D.Vx2y4 7.(24-25八年级下内蒙古赤峰期末)下列二次根式是最简二次根式的是：() A.得 B.5 c.5 D.⑧ 8.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)下列式子中，属于最简二次根式的是() A.4 B.VI c.何 D.2 9.(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.得 B.V0.6 c.5 D.20 目目 考点03 二次根式的混合运算 10.（2425八年级下内蒙古通辽期末)计算： )5×12-V-2)2, 2(-1)2025-2(π+1)°+27-1-V2 11.(24-25八年级下.内蒙古鄂尔多斯期末)计算： (3V5-8+2-V27 2V18÷5-V度×12 12.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)计算： (25+3)： (2)当a=2+1,b=2-1,求ab-ab的值. 13.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)计算： )(-1)3+5×6-1-2: (218-+(5+1)×(V5-1) 14.(2425八年级下内蒙古通辽期末)(1)计算：3√月+V27-V2×V6 (2)若x=5-V2,y=V2,求x2+xy的值， 15.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)计算 1W2o-10W+5 a(2-5)(2+5)+(W8-35)+V2 ③(2+1)2-8+2月 ④27+V5-V眉×8+24 16.(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)计算： (2)2-()+8+(2-5)°： 2(32-2V+48)÷25+()月 2/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)下列计算错误的是() A.(W8+V同×6=43+32 B.(42-36÷22=4-35 c.（2-V5)(2+5)=1 D.(5+同5-同=2 18.(24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)计算 (W3-2°--3+6： ②24×-4×V悟×1-回° 19.(24-25八年级下内蒙古呼伦贝尔期末)计算： (1W12+v27+V48-15V; a(25-V5)(25+5)-(2)2, 20.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布期末)计算： ①6周-27-V6×8: a(5-5)2-(5+5)2 21.(24-25八年级下.内蒙古赤峰期末)计算： (π-1)°+V5-2+V1z, 2)已知x=2+V5,y=2-3,求代数式x2-y2的值. 22.(24-25八年级下·内蒙古兴安期末)(1)计算： (3+5)(3-V万)+V2(2-2)+(π-6)2： (2)化简：-(1-是). 23.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期末)计算： ①(6+V8)+(24-V停)： 2(5-1)×5+居： 3)已知x=V3+2,y=V5-2,求x2-y2+2x+2y的值. 目目 考点04 勾股定理 24.(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)一个直角三角形的两边长分别是1和V5,则第三边长为() 3/6 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.4 C.4或2 D.2或2 25.（24-25八年级下，内蒙古赤峰期末)小明画了一个如图所示的四边形ABCD,若 AB=4,BC=CD=2,连接AC,∠ABC=∠ACD=90°，则AD的长为() B D A.2V5 B.2V6 c.2万 D.32 26.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是() A.1,1,2 B.1,V5,2 C.0.5,1.2,1.3 D.6,8,10 27.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列各组数中，是“勾股数” 的是() A.3,4,5B.4,5,6 C.7,8,9 D.8,9,10 28.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期末)在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活 动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法.从点C观察旗杆顶端的仰角为30·，接着往前走10米到达点D, 观察旗杆顶端的仰角为60。. D B (I)直接写出CD与BD的数量关系； (②)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.（人的身高忽略不计，结果保留根号) 29.(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已 知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬 过木块到达C处需要走的最短路程是 米. 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 勾股定理的逆定理 30.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组 数为边，其中不能组成直角三角形的是：() A.3,4,5 B.V5,2,3 C.6,8,10 D.1.5,2,2.5 31.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)△ABC的三条边长分别为a,b,c,下列条件能判断△ABC是 直角三角形的是() A.c2=(a+b)2 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A-∠B=∠C D.a=12,b=8,c=10 32.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)已知△ABC的三边分别为a,b,c.且a,b满足 b=V7-a+Va-7+24,c=25.则S△4Bc=: 33.(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)以下列各组数的长度围成的三角形中，是直角三角形的一组 是() A.1、3、5B.1、5、3 C.3、4、4 D.6、8、10 34.(24-25八年级下，内蒙古兴安期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中.下列长度的三条线段中，不能构成直角三角形的是() A.1,1,2 B.1,5,2 C.3,4,5 D.0.5,1.2,1.3 35.（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)已知某三角形的三条边长依次为9cm,12cm,15cm,则该三 角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 36.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何 学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)①，并给出了证 5/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 明.其中a,b,c是三角形的三边长，p=专(a+b十c),S为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式.我 国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 s=a262-(4)可 ②.后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是 同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5,12,13；3,4,5；6,8,10；7,8,9，求其中非直角三角 形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为√13，√14，√15，求该三角形的面积.（利用公式②求解） (3)如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=V65,AD=5V2,求该四边形ABCD的 面积。 6/6 专题01 二次根式、勾股定理 5大高频考点概览 考点01二次根式有意义的条件 考点02最简二次根式 考点03二次根式的混合运算 考点04勾股定理 考点05勾股定理的逆定理 1．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ）地 城 考点01 二次根式有意义的条件 A． B．或 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列出不等式组，求出x的取值范围即可． 本题考查的是分式有意义及二次根式有意义的条件，即分式的分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：且 故选：D 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若代数式有意义，则实数x的值可以是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 选项中只有C选项符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如”可进行求解． 【详解】解：A：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式； B：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义； C：根指数为2，且被开方数恒大于0（无论取何值），满足二次根式的条件； D：根指数为2，但被开方数需满足才有意义，由于题目未限定的范围，无法保证其恒为非负数，因此不能直接判定为二次根式； 故选：C． 地 城 考点02 最简二次根式 5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； B中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； C中，，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意； D中，，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式，故符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式； B、，该式是二次根式与整式的和，整体不属于二次根式，因此不符合题意； C、，被开方数是质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，满足最简二次根式的条件； D、，被开方数，可化简为，故不是最简二次根式； 故选：C． 7．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列二次根式是最简二次根式的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项是否满足被开方数不含完全平方因数且分母不含根号的条件． 【详解】解：选项A：被开方数为分数，分母含根号，需分母有理化，故不是最简二次根式． 选项B：，可化简为整数，被开方数含完全平方因数，故不是最简二次根式． 选项C： 被开方数是质数，不含完全平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式的定义． 选项D： ，含完全平方因数，可化简为，故不是最简二次根式． 综上，只有选项C满足条件， 故选C． 8．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，求算术平方根，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数，且分母不含根号即可得出答案． 【详解】解：A．，可化简，不是最简二次根式； B．，可化简，不是最简二次根式； C．，可化简，不是最简二次根式； D． 的被开方数2不含平方因数，无法再化简，是最简二次根式． 故选：D． 9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开方的因数．逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解：选项A：，被开方数含分母3，需有理化，化简为，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 选项B：，将0.6化为分数，得，分母含根号，需有理化为，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 选项C：，15的质因数分解为，无平方因子，符合最简二次根式条件，故本选项符合题意． 选项D：，20可分解为，其中4是平方数，化简为，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选C． 地 城 考点03 二次根式的混合运算 10．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂． （1）先根据二次根式的乘法，二次根式的性质计算，最后计算加减法即可； （2）先计算零指数幂，立方根，再计算乘方和去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，进而合并同类二次根式，即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加减法，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）计算： (1)； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行计算即可； （2）先计算的值，再将原式因式分解为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴，，， ∴ ． 13．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据有理数的乘方，二次根式的乘法，绝对值的性质化简，再和并即可； （2）先根据二次根式的性质，平方差公式化简，再和并即可． 【详解】（1）解：原式1 ． （2）解：原式 14．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）（1）计算： （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则，正确计算是解题的关键； （1）分别化简前面两个二次根式，利用二次根式的乘法计算后一个，最后合并同类二次根式即可； （2）先分解因式，再代入，利用二次根式的混合运算计算即可． 【详解】（1）解： = = =． （2）解：∵ ∴   ． 15．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，乘法公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行二次根式的性质化简，再合并同类项，即可作答． （2）先运用平方差公式展开以及运用二次根式性质化简，再合并同类项，即可作答． （3）先运用完全平方公式展开以及运用二次根式性质化简，再合并同类项，即可作答． （4）先进行二次根式的性质和乘法化简，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂的法则和二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先算乘方、负整数指数幂、化简二次根式、零指数幂，再算加减法； （2）先算括号里面的加减法和乘方，再算除法，最后算加法． 【详解】（1） = = （2） ． 17．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，包括加法，减法，乘法、除法和平方差公式的应用等，灵活运用相关法则是解题的关键．通过逐一计算各选项，判断其正确性． 【详解】解：选项A： 左边， 右边，故正确； 选项B： 左边， ，即左边≠右边，故错误； 选项C： 左边，故正确； 选项D： 左边，故正确． 综上，选项B计算错误． 故选：B． 18．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别利用完平方公式计算，化简二次根式，再进行加减计算； （2）分别进行二次根式的乘法计算，零指数幂，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据平方差公式去括号，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法及混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解答本题的关键． （1）将原式中的各二次根式进行化简后再合并即可； （2）原式根据平方差公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）计算： (1)． (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴ ． 22．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方差公式，分式的化简等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式逐步进行运算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先进行约分，再利用异分母分式的加减进行整理，最后化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 23．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．因式分解以及代数式求值． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算． （2）先计算二次根式的乘法，再进行二次根式的加减运算． （3）先对式子进行因式分解，再代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 当，时， 原式 地 城 考点04 勾股定理 24．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况讨论：第三边为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别是1和， 第三边为斜边时，边长为：， 第三边为直角边时，边长为：， 故第三边长为2或， 故选：D． 25．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）小明画了一个如图所示的四边形，若，连接 ，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 故选：B． 26．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 27．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3， 4， 5 B．4， 5， 6 C．7， 8， 9 D．8， 9， 10 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a，b，c称为勾股数． 根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A. 由于，故是勾股数； B.由于，故不是勾股数； C.由于，故不是勾股数； D.由于，故不是勾股数； 故选：A． 28．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． (1)直接写出与的数量关系； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）由题意可得，根据等角对等边即可得出答案； （2）由（1）知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意及图，得 ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）由（1）知，米， ∴， 在中， （米） 答：旗杆的高度为米． 29．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 地 城 考点05 勾股定理的逆定理 30．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是：（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．1.5，2，2.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用：如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判定即可得到结论． 【详解】解：A、， 三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； B、， ，，三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形，该选项符合题意； C、， 三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； D、， 1.5，2，2.5三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 31．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：选项A：由 展开得 ，与勾股定理 不符，故A不符合题意． 选项B：设三个角分别为 、、，由内角和得 ，解得 ．此时三个角为 无直角，故B不符合题意． 选项C：由 变形得 ．代入内角和 ，得，因此 ，三角形为直角三角形，C符合题意． 选项D：最长边为 ，验证 ，不满足勾股定理，故D不符合题意． 故选：C． 32．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则______． 【答案】84 【分析】本题考查了二次根式的非负性，勾股定理的逆定理，先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：84 33．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）以下列各组数的长度围成的三角形中，是直角三角形的一组是（   ） A．1、3、 B．1、、3 C．3、4、4 D．6、8、10 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该选项三个数不可以构成直角三角形，该选项不符合题意； B. ， ∴该选项三个数不可以构成直角三角形，该选项不符合题意； C. ， ∴该选项三个数不可以构成直角三角形，该选项不符合题意； D. ， ∴该选项三个数能构成直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 34．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列长度的三条线段中，不能构成直角三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这样的三角形不存在， 故A符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 35．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键．根据勾股定理逆定理的计算判定即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 36．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则 ，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $