专题01 导数及其应用16大考点（期末真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集北京多区期末真题，覆盖导数16个核心考点，基础题与综合题梯度分布，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/解答|选择为主，解答题约占30%|平均变化率、导数几何意义、含参单调性、极值偏移等|结合汽车行驶、水库蓄水等实际情境，综合题融合分类讨论与逻辑推理|

专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点 01 平均变化率和瞬时变化率 考点 02 导数的几何意义 考点 03 导数的运算 考点 04 不含参函数的单调性 考点 05 含参函数的单调性 考点 06 单调性的应用 考点 07 由图象确定函数的极值 考点 08 求函数的极值 考点 09 已知极值或极值点求参 考点 10 求函数的最值 考点 11 已知函数的最值求参 考点 12 利用导数证明不等式 考点 13 利用导数研究不等式恒成立问题 考点 14 利用导数研究函数的零点 考点 15 利用导数研究双变量问题 考点 16 导数中的极值偏移问题 考点01 平均变化率和瞬时变化率 1．（2025秋•朝阳区期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为　　 ． 2．（2025春•延庆区期末）下列函数中，在区间，上的平均变化率最大的是（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•海淀区校级期末）函数在区间，上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 4．（2025春•北京校级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在，时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在，时间段内不断加速行驶； ③汽车在，时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度． 其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•朝阳区期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　） A．在，这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在，这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．（2023春•丰台区期末）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大．当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•顺义区期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） 考点02 导数的几何意义 A．（1）（2） B．（1）（2） C．（1）（2） D．（1）（2） 8．（2024春•怀柔区期末）已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（　　） A．（1）（3）（2）（3） B．（3）（1）（3）（2） C．（3）（3）（2）（1） D．（1）（3）（3）（2） 9．（2024春•顺义区期末）下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（　　） A． B． C． D． 10．（2022春•顺义区期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，，，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•石家庄期末）函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D．5 12．（2024春•通州区期末）设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（　　） A． B． C．6 D．16 13．（2024秋•北京期末）曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 14．（2025春•大兴区期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（　　） A． B．1 C． D． 15．（2025春•延庆区期末）已知曲线在点，（1）处的切线方程为，则值为（　　） A．0 B． C．1 D．2 16．（2023春•西城区期末）若函数在处的切线与直线平行，则　　． 17．（2024春•石景山区期末）函数在点处的切线与直线垂直，则（　　） A．1 B．2 C． D． 18．（2024春•怀柔区期末）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则，值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 考点03 导数的运算 19．（2025春•丰台区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•朝阳区期末）函数的导数等于（　　） A． B． C． D． 21．（2025春•西城区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 22．（2025春•怀柔区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•怀柔区期末）设函数的导函数为，则下列关系式正确的是（　　） A．（1）（2）（1）（2） B．（2）（2）（1）（1） C．（1）（2）（2）（1） D．（2）（1）（2）（1） 24．（2025春•延庆区期末）已知函数，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 25．（2025春•石景山区期末）下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2025春•顺义区期末）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 考点04 不含参函数的单调性 27．（2025秋•海淀区校级期末）下列函数在定义域内单调递增的是（　　） A． B． C． D． 28．（2025秋•朝阳区期末）对于定义域为的函数，若存在使得在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间． 考点05 含参函数的单调性 30．（2025秋•海淀区校级期末）已知函数． （1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：． 31．（2025秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若为的极值点，求实数的值； （Ⅱ）若，讨论的单调区间； （Ⅲ）若，证明：当时，曲线在，处的切线总在曲线的上方． 32．（2023秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）求的单调区间． 33．（2024秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若存在两个极值点，，证明：． 考点06 单调性的应用 34．（2025春•顺义区期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D．， 35．（2025春•西城区期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 36．（2025春•北京校级期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 37．（2025春•大兴区期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（　　） A．0 B． C．1 D． 38．（2025春•北京校级期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，，则不等式的解集为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 39．（2025秋•北京校级期末）设，，，且，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 40．（2025春•延庆区期末）已知函数的导函数，则下列选项正确的是（　　） A．（2）（e） B．（e）（2） C．（e）（2） D．（2）（e） 考点07 由图象确定函数的极值 41．（2020春•东城区期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是　　 A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值（1） D．有极小值（1） 42．（2025春•北京校级期末）已知函数与的图象如下图所示，设函数，则函数在上的极大值点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 43．（2025春•顺义区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 44．（2020春•西城区期末）已知函数和的导函数，图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是　　 A．有3个极大值点 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 45．（2024春•大兴区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（　　） A．和 B． C． D． 考点08 求函数的极值 46．（2025春•海淀区校级期末）下列函数中，存在极小值的是（　　） A． B． C． D． 47．（2020春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围． 48．（2025秋•南关区校级期末）已知函数． 求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值． 49．（2025春•西城区期末）若函数的两个极值点分别为，，则的值为（　　） A．2 B． C． D．3 50．（2025春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值； （Ⅲ）若函数在上存在最小值，求的取值范围． 51．（2024秋•朝阳区期末）已知函数，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的极值． 52．（2023秋•昌平区期末）已知函数． （1）求曲线在，（2）处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 考点09 已知极值或极值点求参 53．（2023秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅲ）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围． 54．（2025秋•北京校级期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 55．（2025春•北京校级期末）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 　　 ． 56．（2025秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若有两个极值点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，求证：． 57．（2024春•延庆区期末）已知函数有两个极值点，，则（　　） A．或 B．是的极小值点 C． D． 58．（2024春•海淀区校级期末）函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为 　　，若函数存在极值，则的取值范围为 　　． 59．（2024春•昌平区期末）设函数． （Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （Ⅲ）若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围． 60．（2024春•石家庄期末）已知函数，． （Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）求的零点个数； （Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有． 考点10 求函数的最值 61．（2023春•大兴区期末）函数的最小值为 　　． 62．（2024春•花溪区校级期末）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则（　　） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 63．（2025春•延庆区期末）已知函数． 求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数有三个零点，直接写出的取值范围． 64．（2025春•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间，上的最大值和最小值． 65．（2024春•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）求在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求在区间，上的最大值． 考点11 已知函数的最值求参 66．（2025春•顺义区期末）已知函数，当时，取得极值． （1）求，的值； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求的取值范围． 67．（2025春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）当时， 求曲线在，（1）处的切线方程； 求函数的最大值； （Ⅱ）若函数的最大值为，求的值． 68．（2025春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求在，上的最小值； （Ⅱ）若在区间，上的最大值大于零，求的取值范围． 考点12 利用导数证明不等式 69．（2025春•平谷区期末）已知函数． 求函数的单调区间； （Ⅱ）证明：． 70．（2024春•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若在区间，上单调递减，求的取值范围； （Ⅱ）当时，求证：． 71．（2021春•朝阳区期末）设函数，，． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当，时，求证：． 72．（2025秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若有两个极值点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，求证：． 73．（2024秋•北京期末）已知函数，． （1）判断函数的单调性； （2）证明：． 74．（2024春•石家庄期末）已知函数，． （Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）求的零点个数； （Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有． 考点13 利用导数研究不等式恒成立问题 75．（2020秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围． 76．（2025春•北京校级期末）已知函数． （1）时，求在，处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 77．（2025春•西城区期末）已知函数，，，且（1）． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 78．（2021秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求在点，处的切线方程； （Ⅱ）若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围； （Ⅲ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 79．（2022春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）判断在区间上的单调性，并加以证明； （Ⅱ）设，若对恒成立，求的最小值． 80．（2022春•石景山区期末）已知函数，当时，取得极值． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 81．（2022春•东城区校级期末）设 （1）求函数的单调递增，递减区间； （2）当，时，恒成立，求实数的取值范围． 82．（2021秋•海淀区期末）函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值； （Ⅲ）直接写出的一个值，使恒成立，并证明． 83．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求曲线与直线的公共点个数，并说明理由； （Ⅲ）若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围． 84．（2022春•东城区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求函数在点，（3）处的切线方程； （Ⅱ）当，时，恒成立，求的取值范围． 考点14 利用导数研究函数的零点 85．（2025春•顺义区期末）已知函数，其中． 当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 86．（2022春•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围． 87．（2020春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围． 88．（2020秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 89．（2025秋•顺义区期末）已知函数，直线是曲线在点，（a）处的切线． （1）当时，求直线的方程； （2）求证：函数有唯一零点； （3）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为若，求的取值范围． 90．（2023秋•海淀区期末）已知函数，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题： 条件①： 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （Ⅲ）设函数，指出函数在区间上的零点的个数，并说明理由． 91．（2024春•延庆区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程； （Ⅱ）若在上存在极值，求实数的取值范围； （Ⅲ）写出的零点个数．（直接写出结论即可） 92．（2020秋•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线的斜率等于3的切线方程； （Ⅱ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 93．（2021春•东城区校级期末）已知函数 （Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）设，若函数有两个零点，求的取值范围． 94．（2025秋•西城区校级期末）已知函数，曲线在，处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求证：有且只有一个零点； （3）记的零点为，曲线在，处的切线与轴交于，．若，求的取值范围． 95．（2023春•密云区期末）已知函数． （Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （Ⅲ）判断的零点个数，并说明理由． 96．（2022春•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线点，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，函数存在极值； （Ⅲ）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 97．（2017秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）证明：在区间，上恰有2个零点． 考点15 利用导数研究双变量问题 98．（2025秋•西城区期末）已知函数满足（1）（1），其中． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； （Ⅲ）若存在，使得对于任意，，且，都有，求实数的取值范围． 99．（2025秋•通州区期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：若存在，使，求的取值范围； （Ⅲ）若，求证：对任意，当时，不等式恒成立． 考点16 导数中的极值偏移问题 100．（2025秋•北京校级期末）已知函数． （Ⅰ）已知在点，（1）处的切线方程为，求实数的值； （Ⅱ）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． （Ⅲ）已知有两个零点，，求实数的取值范围并证明． 101．（2022春•海淀区校级期末）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个不同的零点，． ①求实数的取值范围； ②求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点 01 平均变化率和瞬时变化率 考点 02 导数的几何意义 考点 03 导数的运算 考点 04 不含参函数的单调性 考点 05 含参函数的单调性 考点 06 单调性的应用 考点 07 由图象确定函数的极值 考点 08 求函数的极值 考点 09 已知极值或极值点求参 考点 10 求函数的最值 考点 11 已知函数的最值求参 考点 12 利用导数证明不等式 考点 13 利用导数研究不等式恒成立问题 考点 14 利用导数研究函数的零点 考点 15 利用导数研究双变量问题 考点 16 导数中的极值偏移问题 ( 考点01 平均变化率和瞬时变化率 ) 1．（2025秋•朝阳区期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为　　 ． 【解答】解：因为，所以当自变量由1变到1.1时， 函数的平均变化率为． 故答案为：4.2． 2．（2025春•延庆区期末）下列函数中，在区间，上的平均变化率最大的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项，（2），（1），平均变化率为； 选项，（2），（1），平均变化率为； 选项，（2），（1），平均变化率为； 选项，（2），（1），平均变化率为； 故平均变化率最大的是选项，平均变化率为． 故选：． 3．（2022秋•海淀区校级期末）函数在区间，上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 【解答】解：函数在区间，上的平均变化率等于， 由，得，所以， 因为在区间，上的平均变化率等于时的瞬时变化率， 所以，解得． 故选：． 4．（2025春•北京校级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在，时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在，时间段内不断加速行驶； ③汽车在，时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度． 其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：对于①，由图象可知，在，时间段内，位移是一条斜率大于零的直线， 则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在，时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； 对于②，由图象可知，在，时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线， 则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； 对于③，由图象可知，在，时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线， 则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； 对于④，由图象可知，汽车在时刻的瞬时速度为0，在，时间段内，位移不变， 则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④错误， 所以正确结论的个数有3个． 故选：． 5．（2024秋•朝阳区期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示．下列叙述中正确的是（　　） A．在，这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在，这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，在，这段时间内，甲水库的蓄水量减少，其平均变化率均小于0，错误； 对于，在，这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 则在，这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，错误； 对于，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，而乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 则甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，错误； 对于，乙水库在时刻切线的斜率大于乙水库在时刻切线的斜率，即乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，正确． 故选：． 6．（2023春•丰台区期末）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大．当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由球的体积公式可得，得， 所以时，体积关于半径的瞬时变化率为． 故选：． ( 考点02 导数的几何意义 ) 7．（2025春•顺义区期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（2） C．（1）（2） D．（1）（2） 【解答】解：根据导数的几何意义，表示函数在处切线的斜率， 观察图像可知，函数图像从左到右上升，且切线斜率逐渐增大， 因此，处的切线斜率大于处的切线斜率，即（1）（2）， 故正确，，错误； （1）和（2）均为正，其和大于0，错误． 故选：． 8．（2024春•怀柔区期末）已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（　　） A．（1）（3）（2）（3） B．（3）（1）（3）（2） C．（3）（3）（2）（1） D．（1）（3）（3）（2） 【解答】解：由图可知，函数在的切线斜率大于的切线斜率， 则（3）（1）， 设在函数对应的点为，在函数对应的点为， 则， 由图象可知，（3）（3）（2）（1）． 故选：． 9．（2024春•顺义区期末）下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 则， 当时，，故错误； ， 则， 不存在，使得，故正确； ， 则， 当，时，，故错误； ， 则， 令，时， 则，故错误． 故选：． 10．（2022春•顺义区期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，，，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图象，可知的横坐标在函数的减区间上，是函数的极值点， 点的横坐标在函数的增区间上， 则． 故选：． 11．（2024春•石家庄期末）函数在处的切线斜率为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：因为，则， 所以． 因此函数在处的切线斜率为． 故选：． 12．（2024春•通州区期末）设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（　　） A． B． C．6 D．16 【解答】解：因为函数为定义在上的奇函数，所以在定义域上是偶函数； 若曲线在点处的切线的斜率为10，则（2）， 所以（2），且（2）； 所以则． 故选：． 13．（2024秋•北京期末）曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 【解答】解：根据题目：曲线在点，（1）处的切线与直线平行， ，令，则，直线的斜率为2． 则． 故选：． 14．（2025春•大兴区期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：因为与的导数分别为，， 设直线与两曲线切于，，， 则，所以， 所以解得，，所以， 所以两切点分别为，， 又切点都在直线上， 所以，所以． 故选：． 15．（2025春•延庆区期末）已知曲线在点，（1）处的切线方程为，则值为（　　） A．0 B． C．1 D．2 【解答】解：由题意可得，令，则，所以， 所以，令，则（1）， 将点代入可得：，所以． 故选：． 16．（2023春•西城区期末）若函数在处的切线与直线平行，则　　． 【解答】解：由，得， 则， 由，得． 故答案为：0． 17．（2024春•石景山区期末）函数在点处的切线与直线垂直，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：， 依题意，（1）， 解得． 故选：． 18．（2024春•怀柔区期末）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为，则，值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由，得， 曲线在点，（1）处的切线方程为， （1），① （1），② 联立①②解得：，． 故选：． ( 考点0 3 导数的运算 ) 19．（2025春•丰台区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故选：． 20．（2024秋•朝阳区期末）函数的导数等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ． 故选：． 21．（2025春•西城区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：函数，的导函数， 故选：． 22．（2025春•怀柔区期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为函数，所以， 所以． 故选：． 23．（2025春•怀柔区期末）设函数的导函数为，则下列关系式正确的是（　　） A．（1）（2）（1）（2） B．（2）（2）（1）（1） C．（1）（2）（2）（1） D．（2）（1）（2）（1） 【解答】解：根据题意，函数，其导数， 则（1），（2）， （2）（1）， 由于，则有（2）（2）（1）（1）． 故选：． 24．（2025春•延庆区期末）已知函数，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故选：． 25．（2025春•石景山区期末）下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，，故错误； 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 26．（2025春•顺义区期末）下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，根据函数的导数的性质可知，，故错误； 对，根据函数的导数的性质可知，，故正确； 对，根据函数的导数的性质可知，，故错误； 对，根据函数的导数的性质可知，，故错误． 故选：． ( 考点0 4 不含参函数的单调性 ) 27．（2025秋•海淀区校级期末）下列函数在定义域内单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，定义域为，，，函数在上单调递增，在上单调递增， 但在定义域内不单调递增，所以错误； 对于，定义域为，函数在上单调递增， 但在定义域内不单调递增，所以错误； 对于，则， ，令， 是二次函数，有正有负，故有正有负，函数在定义域内不单调递增，所以错误； 对于，定义域为，，当且仅当，即，时成立， 这些点是孤立的，不影响函数在上单调递增，所以正确． 故选：． 28．（2025秋•朝阳区期末）对于定义域为的函数，若存在使得在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，则称函数为上的单峰函数．下列函数中为上的单峰函数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项，由可得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 又因为具有周期性，所以函数会有多个增减区间，所以选项不是单峰函数； 对于选项，，所以， 所以函数是单调递增函数，所以选项不是单峰函数； 对于选项，因为， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以选项是单峰函数； 对于选项，，由一次函数图象可知，函数是单调递增函数．所以选项不是单蜂函数． 故选：． 29．（2025秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）由题意函数， 可得，故切点为， 对函数求导得， 则切线斜率为（1）， 由点斜式得切线方程， 即； （Ⅱ）对函数求导可得， 定义域为， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故单调递减区间为，单调递增区间为． ( 考点0 5 含参函数的单调性 ) 30．（2025秋•海淀区校级期末）已知函数． （1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：． 【解答】解：（1）当时，， 所以， 则（1），（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为； （2）若，，函数的定义为， 所以， 令，得或，即或， ①当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增； ②当，即时， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在是单调递减； ③当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 综上，当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，函数在是单调递减， 当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增； （3）证明：因， 要证，只需证，即， 令（a），， 因此只需证（a）即可， 因为（a）， 再令（a），则（a）， 因，所以，得，即（a）， 所以（a）在上单调递增，且，（1）， 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即， 所以（a）在有唯一零点， 且当，（a），当，（a）， 所以（a）在上单调递减，在，上单调递增， 且，（1）， 所以对，都有（a）成立， 即，即， 所以当，成立． 31．（2025秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若为的极值点，求实数的值； （Ⅱ）若，讨论的单调区间； （Ⅲ）若，证明：当时，曲线在，处的切线总在曲线的上方． 【解答】解：（Ⅰ）因为，所以， 因为为函数的极值点，所以， 因为，解得， 检验：当时，， 由，可得，即函数的定义域为， ， 令，可得，列表如下： 0 单调递增 极大值 单调递减 所以为函数的极大值点，符合题意， 综上所述，． （Ⅱ）因为，由得，故函数的定义域为， ， ①当时，由于函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，，则，此时函数的减区间为，无增区间； ②当时，令，得， 列表如下： ， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时函数的减区间为，，增区间为． 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为，增区间为． （Ⅲ）证明：因为，，故曲线在点，处的切线方程为， 令， 因为，故函数的定义域为， 则， 令，可得或，其中，列表如下： ， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以， 故当时，曲线在点，处的切线总在曲线的上方． 32．（2023秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）求的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）由，得， 在点，（1）处的切线平行于轴，（1）， ，解得，经检验符合题意． （Ⅱ），令，解得或． 当时，，当且仅当时，， 在区间上单调递增． 当时，随的变化，和的变化情况如下表所示． 0 0 单调递增 （a） 单调递减 单调递增 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示． 0 0 单调递增 单调递减 （a） 单调递增 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 33．（2024秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若存在两个极值点，，证明：． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，函数定义域为， 可得， 此时（1）， 又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为， 即； （Ⅱ）易知， 因为， 当时，， 此时在上单调递增，无单调递减区间； 当时， 令， 解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上所述，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为和，减区间为； （Ⅲ）证明：因为存在两个极值点， 所以方程， 即在上有两个不等实根， 此时△，，， 解得， 所以， 要证， 需证， 即证， 设， 此时要证， 令， 设，函数定义域为， 可得， 所以在上单调递增， 所以（1）， 则成立． 故． ( 考点0 6 单调性的应用 ) 34．（2025春•顺义区期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D．， 【解答】解：因为当时，， 所以， 令，则在，上单调递增， 所以在，上恒成立， 所以在，上恒成立， 因为， 所以， 故的范围为． 故选：． 35．（2025春•西城区期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设， 则在上恒成立， 则与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且（1）（1），即，得， 综上，实数的取值范围为，． 故选：． 36．（2025春•北京校级期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为函数存在单调递增区间， 所以在上有解， 即在上有解， 令，， 则， 当时，，时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是． 故选：． 37．（2025春•大兴区期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（　　） A．0 B． C．1 D． 【解答】解：题意等价于在上有变号零点， 则△，得， 故符合，不符合． 故选：． 38．（2025春•北京校级期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，，则不等式的解集为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：因为为上的奇函数，为上的偶函数， 令，， 则， 所以为上的奇函数，故， 又当时，， 所以，当时，， 所以时单调递增，为上的奇函数， 则时单调递增， 又（3）， 所以当，，时，， 当，，时，， 所以不等式的解集为，，． 故选：． 39．（2025秋•北京校级期末）设，，，且，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项，当，时，，此时，故错误； 对于选项，当，时，，此时，故错误； 对于选项，当，时，，此时，故错误； 对于选项，令，由则， 构造函数， 则，当且仅当，时，等号成立， 所以函数在时单调递增， 因为，因此当时，， 即， 即，故，故正确． 故选：． 40．（2025春•延庆区期末）已知函数的导函数，则下列选项正确的是（　　） A．（2）（e） B．（e）（2） C．（e）（2） D．（2）（e） 【解答】解：已知函数的导函数，那么，， 所以函数在上单调递增， 选项中，，大小顺序为：． 所以（2）（e）． 故选：． ( 考点0 7 由图象确定函数的极值 ) 41．（2020春•东城区期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是　　 A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值（1） D．有极小值（1） 【解答】解：函数的图象如图所示， 时，；时，；时，． 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减． 有极大值． 故选：． 42．（2025春•北京校级期末）已知函数与的图象如下图所示，设函数，则函数在上的极大值点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由图象可知，若虚线表示的为函数的图象， 当时，，则在上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，如下图所示： 因为，则， 由图可知，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数在、上单调递增，在、上单调递减， 故函数在区间上有两个极大值点． 故选：． 43．（2025春•顺义区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【解答】解：对于选项，由图可知：函数在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，故错误； 对选项，导函数在附近同号，因此在不取极值，故错误； 对选项，由图，函数在区间上单调递减，故错误； 对选项，由图，函数在区间上单调递减，故正确． 故选：． 44．（2020春•西城区期末）已知函数和的导函数，图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是　　 A．有3个极大值点 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 【解答】解：结合函数图象可知，当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 故函数在，处取得极大值，在处取得极小值． 故选：． 45．（2024春•大兴区期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（　　） A．和 B． C． D． 【解答】解：根据图像，在和，上，，单调递增； 在，上，，单调递减，故的极大值点为． 故选：． ( 考点0 8 求函数的极值 ) 46．（2025春•海淀区校级期末）下列函数中，存在极小值的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对选项，因为在定义域上单调递增， 所以该函数不存在极小值，所以选项错误； 对选项，因为， 所以，令， 可得，， 所以当时，，单调递增； 当，时，，单调递减； 当，时，，单调递增； 所以该函数的极小值为，所以选项正确； 对选项，因为在上单调递增， 所以该函数不存在极小值，所以选项错误； 对选项，因为的导数为， 所以该函数在上单调递增， 所以该函数不存在极小值，所以选项错误． 故选：． 47．（2020春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为． （Ⅰ）因为． 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． （Ⅱ）因为， 所以为一个零点． 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”． 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值． 若方程有两个非零实根，则，即． 若，方程只有一个非零实根， 所以． 综上，． 48．（2025秋•南关区校级期末）已知函数． 求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值． 【解答】解：（Ⅰ）， 用商数法则，， ， 利用点斜式有：，整理得； （Ⅱ）根据题目， 令，得， 时，，递增； ，时，，递减， 是极大值点，极大值为，无极小值． 49．（2025春•西城区期末）若函数的两个极值点分别为，，则的值为（　　） A．2 B． C． D．3 【解答】解：因为，所以， 因，极值点满足， 设方程的根为，， 由韦达定理：，， 根差公式：． 故选：． 50．（2025春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值； （Ⅲ）若函数在上存在最小值，求的取值范围． 【解答】解：， ， 故， 故在点，处的切线方程为， 即； （Ⅱ）令，得或， 令，得，故在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为（3）； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在，上单调递增， 在上单调递减，且（3）， 要想在上存在最小值，故． 51．（2024秋•朝阳区期末）已知函数，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的极值． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，所以， 所以（1），又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即． （Ⅱ）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值． 当时，． 当时，，所以在上单调递减，无极值． 时，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值． 52．（2023秋•昌平区期末）已知函数． （1）求曲线在，（2）处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 【解答】解：（1）， ， （2），（2）， 在，（2）处的切线方程为，即； （2），， ， 当，，时，； 当，时，， 的单调增区间为，，，单调减区间为，； （3）2个极值点，理由如下： 又（2）知：当时，在上单调递增， 且，， 存在唯一，使得； 当时，在，上单调递减， ，（2）， 存在唯一，，使得； 当时，，， ， 在，上无零点， 综合可得：当，， 当，，， 当，，， 当时，取得极小值；当时，取得极大值， 故有2个极值点． ( 考点0 9 已知极值或极值点求参 ) 53．（2023秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅲ）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，（1）， 而，（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为． （Ⅱ）当时，的定义域为， ， 令，得， 当或时，， 所以函数的增区间为，，． （Ⅲ）， 因为函数在区间上只有一个极值点， 所以在区间上只有一个变号零点， 令，得，即在上只有一个异号根， 令，则，所以， 所以． 故的取值范围为． 54．（2025秋•北京校级期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当时，，恒成立， 所以函数单调递增，没有极值点； 若没有极值点，则恒成立， 由二次函数的性质可得，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件． 故选：． 55．（2025春•北京校级期末）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 　　 ． 【解答】解：因为， 则， 因为函数在处取得极大值， 当时，即当时， 1 0 0 增 极大值 减 极小值 增 此时函数在处取得极小值，不合题意； 当时，即当时，对任意的恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 当时，即当时， 1 0 0 增 极大值 减 极小值 增 此时，函数在处取的极大值，符合题意． 综上所述，． 故答案为：． 56．（2025秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若有两个极值点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，求证：． 【解答】解：（1）当时，，则， 可得（1），（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即； （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点， 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，， 因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点； （3）证明：令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以（1），即， 所以，所以，即． 57．（2024春•延庆区期末）已知函数有两个极值点，，则（　　） A．或 B．是的极小值点 C． D． 【解答】解：因为函数有两个极值点，， 所以有两个根，， 所以，，故，选项错误； 因为有两个根，， 所以△，即得，解得或，故选项正确； 因为有两个根，， 所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增， 故是的极大值点，错误． 故选：． 58．（2024春•海淀区校级期末）函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为 　　，若函数存在极值，则的取值范围为 　　． 【解答】解：因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在上单调递增， 则，解得，例如； 可知为连续不断函数，若函数存在极值，则在上不单调， 所以的取值范围为． 故答案为：2（满足均可）；． 59．（2024春•昌平区期末）设函数． （Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （Ⅲ）若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围． 【解答】解：（Ⅰ）若，， 则， 所以，， 所以曲线在点，处的切线方程为； （Ⅱ）函数，， 则， ①若，， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以在处取得极小值， ②若，令，得或， 若，即， 当变化时，与的变化如下表： 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值， 若，即， 当时，，， 所以，单调递增， 所以不是的极小值点， 综上所述，实数的取值范围是； （Ⅲ），． 60．（2024春•石家庄期末）已知函数，． （Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）求的零点个数； （Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有． 【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 若在区间上恰有一个极值点， 此时， 解得， 则实数的取值范围为； （Ⅱ）已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 当时，， 即， 此时函数在上无零点； 当时， 易知，（e）， 所以函数在，上存在唯一一个零点， 综上，有1个零点； （Ⅲ）证明：若， 此时， 若对于任意，恒有， 此时在上恒成立， 即证， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值（1）， 则，， 故对于任意，恒有． ( 考点 10 求函数的最值 ) 61．（2023春•大兴区期末）函数的最小值为 　　． 【解答】解：求导函数，可得，令可得， 令，可得，令，可得 函数在上单调减，在上单调增 时，函数取得最小值，最小值是． 故答案为：． 62．（2024春•花溪区校级期末）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则（　　） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，则，显然错误， 对于，而言，，由图像可知单调递增，，单调递减，所以函数在处取得最大值为1． 故选：． 63．（2025春•延庆区期末）已知函数． 求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数有三个零点，直接写出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （Ⅱ）令，即，解得或， 当，时，，当时，， 所以的单调递增区间为，递减区间为， 且，，， 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为． （Ⅲ）当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为（3）， 若函数有三个零点，则与有三个交点， 所以的取值范围为． 64．（2025春•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间，上的最大值和最小值． 【解答】解：对求导，得， 因式分解，有， 令，即， 因为，所以，解得或， 则在，上单调递增， 令，即， 因为，所以，解得， 则在上单调递减． 所以单调递增区间是和，单调递减区间是； 由知在，递增，递减，，递增． 计算区间端点与极值点的函数值： ， ， ， ， 比较得， 所以最大值是17，最小值是． 65．（2024春•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）求在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求在区间，上的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）易知的定义域为， 可得， 此时， 又， 所以在点，处的切线方程为， 即； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令， 解得或， 因为， 所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为， 所以， 当，即时， 函数在处取得最大值，最大值； 当，即时， 函数在处取得最大值，最大值（1）． 综上，当时，的最大值为1；当时，的最大值为． ( 考点 11 已知函数的最值求参 ) 66．（2025春•顺义区期末）已知函数，当时，取得极值． （1）求，的值； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求的取值范围． 【解答】解：（1）， 因为当时，取得极值， 所以（1），（1）， 解得，，，． 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减． 所以当时，函数取极小值，极小值为， 所以，． （2）由（1）知，，． 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减． 而，（1），（2）， 所以要使得函数在区间，上的最大值为2，则， 故的范围为． 67．（2025春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）当时， 求曲线在，（1）处的切线方程； 求函数的最大值； （Ⅱ）若函数的最大值为，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是． ， 当时，． 因为，（1），在，（1）处的切线方程为； 令，． ，所以在区间单调递减． 随着的变化，，的变化情况如下： 1 0 0 递增 极大值 递减 所以； （Ⅱ）由，， 令，则． 设，因为在上单调递减，且，， 所以存在唯一零点， 所以有唯一解，不妨设为，即， 随着的变化，，的变化情况如下： ， 0 递增 极大值 递减 所以， 又，所以， 所以， 设，因为，所以单调递增， 又，所以，． 68．（2025春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求在，上的最小值； （Ⅱ）若在区间，上的最大值大于零，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）时，，则， 令，得：或． 列表： 0 1 0 1 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以，当，时，最小值为． （Ⅱ）由已知， 当时，，函数为减函数， 在区间，上的最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间，上为减函数，最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上为增函数，在区间，上为减函数， 所以：在区间，上的最大值为：， 依题意，令，解得，符合题意， 综上，的取值范围是． ( 考点 12 利用导数证明不等式 ) 69．（2025春•平谷区期末）已知函数． 求函数的单调区间； （Ⅱ）证明：． 【解答】解：（Ⅰ）对函数求导得：， 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则，， 若，或；若，则， 此时在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则，， 若，则或；若，则， 此时在，上单调递减，在上单调递增． （Ⅱ）证明：由（1）可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，此时； 当时，在，上单调递增，在上单调递减，而， 当时，，的增长速度远远超过二次函数的增长速度，， 所以此时； 当时，在，上单调递减，在上单调递增，而， ，此时， 综上，． 70．（2024春•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若在区间，上单调递减，求的取值范围； （Ⅱ）当时，求证：． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得， 设，，， 因为在区间，上单调递减， 所以，时，恒成立， 因为，时，， 所以在区间，上单调递减， 所以的最大值为，即， 当时，符合题意， 所以的取值范围为，． （Ⅱ）证明：当时，，， 则， 设， 则， 所以在区间上单调递减， 因为，， 所以，使得，即， 所以在上，即， 所以在上单调递增， 在，上，即， 所以在，上单调递减， 所以的最大值为 ． 因为， 所以，， 所以，故． 71．（2021春•朝阳区期末）设函数，，． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当，时，求证：． 【解答】（Ⅰ）解：函数，，， 则，，， 当时，因为，则恒成立， 故的单调递增区间为，； 当时，令，解得， 故当，时，，当时，， 所以的单调递增区间为，． 综上所述，当时，的单调递增区间为，； 当时，的单调递增区间为，． （Ⅱ）证明：设，则， 故， 由（Ⅰ）可知，当时，在，上单调递增， 故，当且仅当时等号取等号， 所以， 因为，故， 所以， 则在，上单调递增， 又， 所以当时，，即． 72．（2025秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若有两个极值点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，求证：． 【解答】解：（1）当时，，则， 可得（1），（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即； （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点， 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，， 因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点； （3）证明：令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以（1），即， 所以，所以，即． 73．（2024秋•北京期末）已知函数，． （1）判断函数的单调性； （2）证明：． 【解答】解：（1）由得． 因为， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 所以在区间单调递减，在区间单调递增． （2）证明：由（1）得，． 所以，要证， 只需证，即证，． 令， 则． （a） 0 极小值 所以． 因此，对于任意正数，（a）恒成立． 所以当时，恒成立． 74．（2024春•石家庄期末）已知函数，． （Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； （Ⅱ）求的零点个数； （Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有． 【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 若在区间上恰有一个极值点， 此时， 解得， 则实数的取值范围为； （Ⅱ）已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 当时，， 即， 此时函数在上无零点； 当时， 易知，（e）， 所以函数在，上存在唯一一个零点， 综上，有1个零点； （Ⅲ）证明：若， 此时， 若对于任意，恒有， 此时在上恒成立， 即证， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值（1）， 则，， 故对于任意，恒有． ( 考点 13 利用导数研究不等式恒成立问题 ) 75．（2020秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， ，， 所以切线方程为： 即：． （Ⅱ）由题，可得， 由于，的解为，， （1）当，即时，，则在上单调递增， （2）当，即时， 在区间，上，；在区间上，， 所以的单调增区间为，；单调减区间为． （3）当，即时， 在区间，上，； 在区间上，， 则在，上单调递增，上单调递减． （Ⅲ） （1）当时，因为，所以，，所以， 则在，上单调递增，（2）成立， （2）当时，， 所以在，上单调递增，所以（2）成立， （3）当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以（2），不符合题意， 综上所述，的取值范围是，． 76．（2025春•北京校级期末）已知函数． （1）时，求在，处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）时，，， 又，故， 在，处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 在上单调递减，上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增； （3）由题意要使恒成立，只需即可． 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， 当时，，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即对于任意的恒成立即可． 令（a），则（a）， 当时，（a），（a）在上单调递增； 当时，（a），（a）上单调递减； （a）（1）， （a）， 只有符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 77．（2025春•西城区期末）已知函数，，，且（1）． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ），， 因为（1），所以，解得． （Ⅱ）函数的定义域是， 由（Ⅰ）得，， ， 令，解得或（舍去）， 当时，，故，单调递增， 当时，，，单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． （Ⅲ）由（Ⅱ）得，，对任意，都有恒成立， 即，解得， 故的取值范围是． 78．（2021秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求在点，处的切线方程； （Ⅱ）若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围； （Ⅲ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）若时，，则， ，， 在点，处的切线方程为，即． （Ⅱ）函数，则， 令得，， ①若，则，在上恒成立， 此时在上单调递增，无极值，不符合题意， ②若，则，与的情况如下： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 若在上恰有一个极小值点，则需满足， ， 即实数的取值范围为． （Ⅲ），可化为， 又，， 即对于任意，恒成立， 令，则， ，， 又，， 在，上单调递减，， ， 即实数的取值范围为，． 79．（2022春•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）判断在区间上的单调性，并加以证明； （Ⅱ）设，若对恒成立，求的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）在区间上单调递减，证明如下： 因为，且， 所以，所以在区间上单调递减． （Ⅱ）因为，所以， 又因为当，时，， 由（Ⅰ）知在区间上单调递减， 所以对恒成立， 等价于对恒成立， 等价于对恒成立，即对恒成立， 令，，则， 令，得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以（e）， 所以， 所以的最小值为． 80．（2022春•石景山区期末）已知函数，当时，取得极值． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由， 当时，的极值为， ，解得， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立，即． ， 由得或，由得， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 当，（1）， ，即， 或， 即实数的取值范围是，，． 81．（2022春•东城区校级期末）设 （1）求函数的单调递增，递减区间； （2）当，时，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1），令，解得或， 令，解得，， 令，解得，， 的单调递增区间为，，递减区间为，． （2） ， ，（1） ，（2）； 即， 要使，时，恒成立，即， ， 故实数的取值范围为． 82．（2021秋•海淀区期末）函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值； （Ⅲ）直接写出的一个值，使恒成立，并证明． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以且， 所以， 所以曲线在点，处的切线方程， 即． （Ⅱ）当，，时， 因为， 所以在，上单调递增， 所以在，上的最小值为． （Ⅲ）取，以下证明恒成立， 令，即证恒成立， （1）当，时，有，，， 所以， 所以在，上单调递减， 所以在，上恒成立； （2）当时，令， 因为，，，所以， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立． 综上，恒成立，所以恒成立． 83．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求曲线与直线的公共点个数，并说明理由； （Ⅲ）若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围． 【解答】解：，， （Ⅰ）（1），（1），故切线为； （Ⅱ）只有一个公共点，理由： 由题意得，即， 令，，， 时，，时，， 故在上递增，在上递减，故（1）， 所以只有一个零点1，即曲线与直线只有一个公共点； （Ⅲ），不等式恒成立， 可化为，即， 令，，， 再令，，， 时，，时，， 故（1）是的极小值，也是最小值，故恒成立， 即在上是增函数，而， 故即为所求， 所以的取值范围是，． 84．（2022春•东城区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求函数在点，（3）处的切线方程； （Ⅱ）当，时，恒成立，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 所以（3），即切点为； 又因为， 所以切线的斜率（3）， 所以切线方程为：，即； （Ⅱ）令，，， 则， 当时，， 此时当时，；当，时，， 所以在上单调递增，在，上单调递减； ， 所以当，时，， 所以不满足题意； 当时，令，得和， ①若，有，令，得或， 所以， 此时在上单调递减，在，上单调递增； 又， 所以对任意的，，恒有， 即成立， 所以符合题意． ②若，在和，上单调递减，在上单调递增， 又（1）， 依题意有，所以， 所以符合题意，不符合题意； ③若，在上单调递减，在，上也单调递减， 又， 所以当时，， 所以不满足题意； ④若，有，令，得或， 此时在和，上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以当，时，有， 所以不符合题意． 综上所述，的取值范围为：，． ( 考点 14 利用导数研究函数的零点 ) 85．（2025春•顺义区期末）已知函数，其中． 当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 所以（1），， 所以（1）， 所以所求切线方程为，即． （Ⅱ）函数定义域为，， 令，所以 或， 当，即时，若，，， 若，，，， 所以在，单调递增，在，，单调递减， 若当，即时，恒成立， 所以在单调递增， 当，即，若，，， 若，，，， 所以在，单调递增，在，，单调递减， 综上所述，当时，在，单调递增，在，，单调递减， 当时，在单调递增， 当时，在，单调递增，在，，单调递减． （Ⅲ）当时，， 令，得，不符合题意， 当时，， 若，，所以函数在单调递增， 若函数在区间上有且只有一个零点， 则， 若时，， （4）， 即（3），（4）， 由（2）可知，若，则函数在单调递减， 又（3），（4），不符合题意， 若，则函数在上单调递增， 又（3），（4），不符合题意， 若，函数在，上单调递减， 又（3），（4），不符合题意． 综上所述，， 所以的取值范围为． 86．（2022春•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围． 【解答】解：，定义域是， （Ⅰ）， ①时，，的递增区间是，无递减区间， ②时，令，解得，令，解得， 故的递减区间是，递增区间是，， 综上，时，的递增区间是，无递减区间， ②时，的递减区间是，递增区间是，； （Ⅱ）有两个不同的零点，则有两个不等的实根， 即，令，， 则时，，，时，， ，，，，， ，解得， 即的取值范围是． 87．（2020春•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为． （Ⅰ）因为． 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． （Ⅱ）因为， 所以为一个零点． 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”． 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值． 若方程有两个非零实根，则，即． 若，方程只有一个非零实根， 所以． 综上，． 88．（2020秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，， 所以（1），（1）． 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即． （Ⅱ）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 0 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 0 0 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 0 0 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． 由可知： ①当时，在内单调递增，在内单调递减， 当时，取得最大值． 当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 当时，． 因为，（1），在内单调递减， 所以在内有唯一零点． 因为， 所以且． 因为，， 且在内单调递增，所以在内有唯一零点． 所以当时，恰有两个零点． ②当时，在，内单调递增，在内单调递减， 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ③当时，在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ④当时，在，内单调递增，在内单调递减． 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 89．（2025秋•顺义区期末）已知函数，直线是曲线在点，（a）处的切线． （1）当时，求直线的方程； （2）求证：函数有唯一零点； （3）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为若，求的取值范围． 【解答】解：（1）由，可得， 则，又因为时，， 因为直线是曲线在点，处的切线， 所以直线的方程为，即； （2）证明：由（1）可知， 令，可得，列表可得： 0 单调递减 极小值 单调递增 当，，此时函数无零点； 当时，单调递增， 又，（1）， 所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点； （3）由（1）可知直线的方程为（a）（a）， 因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，（a）， 所以令，当时，有， 设， 则， 又，所以，， 由（2）知，且当，，，， 所以当或时，； 当或时，； 列表可得： ， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 当时，，即成立； 当时，，不满足； 综上可知，． 90．（2023秋•海淀区期末）已知函数，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题： 条件①： 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （Ⅲ）设函数，指出函数在区间上的零点的个数，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）令，解得，所以函数的定义域为， 若选①因为，即为奇函数， 则，所以， 因为对任意上式均成立，所以，解得； 若选②因为，即为偶函数， 则，所以， 因为对任意上式均成立，可得，解得． （Ⅱ）若选①则，可得， 则函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，，且， 则， 因为，则，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减； 若选②则，可得， 则函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，，且， 则， 因为，则，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减． （Ⅲ）若选①则，则， 由（Ⅱ）可知，在内单调递减，且在定义域内单调递增， 则在内单调递减， 又为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减， 则在内单调递减，结合， 可知在内有且仅有一个零点； 若选②则，则， 由（Ⅱ）可知，在内单调递减，且在定义域内单调递增， 则在内单调递减， 又为偶函数，则在内单调递增， 且在内单调递增，则在内单调递增， 结合， 可知在内有且仅有一个零点． 91．（2024春•延庆区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程； （Ⅱ）若在上存在极值，求实数的取值范围； （Ⅲ）写出的零点个数．（直接写出结论即可） 【解答】解：（Ⅰ）当时，， ，（2），（2）， 曲线在点，（2）处的切线方程为 ，即． （Ⅱ）在上存在极值， ， 在上有解在上有解， ． 故的取值范围． （Ⅲ）当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有一个零点； 当时，没有零点； 92．（2020秋•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线的斜率等于3的切线方程； （Ⅱ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，， 设切点为，则， 解得或（舍， 所以（2）．切点为， 所以所求切线方程为， 即． （Ⅱ）因为， 由及定义域为，令，得． ①当，即时， 在上，所以在上单调递增． 此时在上不可能存在两个零点； ②当，即时， 在上，所以在上单调递减． 此时在上不可能存在两个零点； ③当，即时，要使在区间上恰有两个零点， 则，即，此时． 综上，实数的取值范围是，． 93．（2021春•东城区校级期末）已知函数 （Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）设，若函数有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）若，则，， 由，，曲线在点，处的切线方程为， （Ⅱ）函数的定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，令， ，，的变化如下： 0 极小值 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； （Ⅲ），函数有两个零点， 即方程有两个不相等的实数根， 也即方程有两个不相等的实数根， 即直线与函数的图像有两个交点， 令，，令，解得，， ，，的变化如下： 3 0 0 极小值 极大值 则，， 当时，，且， 则的取值范围是． 94．（2025秋•西城区校级期末）已知函数，曲线在，处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求证：有且只有一个零点； （3）记的零点为，曲线在，处的切线与轴交于，．若，求的取值范围． 【解答】解：（1）将切点，代入切线得， 即，所以， 因为， 由题意得，即，解得． （2）证明：结合（1）知，定义域为， 因为在上恒成立，易知当时，， ， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 又（1），（2）， 由零点存在性定理可知有且只有一个零点． （3）由（2）知，则，， 则在，处的切线为， 令，得， 因为在，处的切线与轴交点为，， 即， 令，， ， 结合（2）中结论知：时，，时，， 令得或， 令得或， 即当时，在单调递增，在单调递减， 所以，由（2）知， 所以此时，即，符合题意， 当时，在单调递减，在，单调递增， 所以， 由（2）知，即， 代入得， 即此时，不符合题意，舍去． 综上所述，的取值范围是． 95．（2023春•密云区期末）已知函数． （Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （Ⅲ）判断的零点个数，并说明理由． 【解答】解：，则， 若在上是增函数，即恒成立，得， 设，，得，得， 即在递减，在递增，则， 故，即，． （Ⅱ）当时，，，得， 则递增，， 则时，，时，， 则在上递减，在上递增， 故是函数的极小值点． （Ⅲ）令，即，显然是函数的一个零点， 时，，无零点，故有1个零点， 时，令，解得， 令，解得， 故时，有2个零点，分别为，0， 时，个零点，为0， 时，个零点，为0，， 综上：或时，个零点，为0， 或时，个零点，为0，． 96．（2022春•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线点，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，函数存在极值； （Ⅲ）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当0时，，，， 因为， 所以曲线点，处的切线方程为，即． （Ⅱ）， 当时，由得，． 随着的变化，、的变化情况如下表 ， 0 单调递减 单调递增 所以存在极小值，且极小值为． （Ⅲ）， 当时，，在区间上单调递减，且， 因为在区间上有零点， 所以，解得， 所以． 当时，， 因为在区间上有零点， 由（Ⅱ）可知， 因为函数是增函数，且（1）， 所以． 综上所述，的取值范围是，． 97．（2017秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）证明：在区间，上恰有2个零点． 【解答】 （Ⅰ）解：当时，， 所以． 因为，， 所以曲线在点，处的切线方程为． （Ⅱ）证明：． 由，得． 因为，所以． 当时，由，得． 所以存在唯一的，使得． 与在区间上的情况如下： ， 0 极大值 所以在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 因为， 且， 所以在区间，上恰有2个零点． ( 考点 15 利用导数研究双变量问题 ) 98．（2025秋•西城区期末）已知函数满足（1）（1），其中． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； （Ⅲ）若存在，使得对于任意，，且，都有，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数，求导得， 则（1）（1），解得； （Ⅱ）证明：由（1）知曲线在点，处的切线斜率， 设函数，， 求导得，令，得， 当变化时，与的变化如下表： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值， 当时，，得在上无解， 又因为（1），且函数在上单调递增， 所以，在上有且仅有一解，即有且仅有一条切线的斜率为2， 易得曲线在点，处的切线为， 因为， 所以在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线平行； （3）因为当时，， 所以在上单调递增，即当时，， 故不等式可化为，即， 设，则在上单调递增， 求导，得， 所以对任意，恒成立（有限个使得等号成立）， 即当时，恒成立， 设，其中，则， 由，解得，故在上单调递减， 由，解得，故在上单调递增， 所以当时，， 所以的取值范围是． 99．（2025秋•通州区期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：若存在，使，求的取值范围； （Ⅲ）若，求证：对任意，当时，不等式恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，（1）， ，（1）， 切线方程为； （Ⅱ）原命题“存在，使等价于其“对任意，”的反面， ，令，得唯一极值点， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增， 在处取得唯一最小值，， 恒成立，即， 设（a），求导得（a）， 当时，（a），（a）在上单调递增； 当时，（a），（a）在上单调递减； （a）（1）， 故（a）的充要条件为，原命题成立的取值范围为，，； （Ⅲ）证明：要证，， 由，，得， 又，故对任意，有， 即，因此在上单调递增， 结合，得且， 原不等式等价于，整理为， 构造函数，代入得， 求导得， 当时，，又，故，即，变形得， 故在上恒成立，即在上单调递增， 由，得，即， 还原可得，即得证． ( 考点 16 导数中的极值偏移问题 ) 100．（2025秋•北京校级期末）已知函数． （Ⅰ）已知在点，（1）处的切线方程为，求实数的值； （Ⅱ）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． （Ⅲ）已知有两个零点，，求实数的取值范围并证明． 【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为， 可得， 所以（1）， 又在点，（1）处的切线方程为， 所以（1）， 解得； （Ⅱ）因为在定义域上为增函数， 所以 在上恒成立， 即 恒成立， 整理得， 即， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以， 故； （Ⅲ）证明：易知，函数定义域为， 可得， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，令， 解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为， 要使函数存在两个零点的必要条件是， 即， 又（1）， 所以在上存在一个零点且， 当时，， 所以在，上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数的取值范围为， 不妨设两个零点， 因为， 所以，， 所以， 整理得， 要证， 即证， 只需证， 因为， 此时要证证， 只需证， 即证， 令， 此时要证， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以在上单调递增， 此时（1）， 即， 故成立． 101．（2022春•海淀区校级期末）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个不同的零点，． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【解答】（1）解：因为，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则，所以在上单调递增， 令，则，所以在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）①解：由（1）知，当时，在上单调递增， 所以至多只有一个零点，不符合题意，故， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若有两个不同的零点，，则极小值，解得， 而，当时，，满足存在两个零点，， 不妨设，则， 综上，实数的取值范围为． ②证明：要证，需证，即证， 由①知，， 所以， 又在上单调递增，所以需证， 因为，所以需证， 构造，其中， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 故． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $