8.2 立体图形的直观图课件（第二课时）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体图形直观图的斜二测画法，通过复习回顾直观图概念及平面、空间图形画法步骤，结合问题引领搭建学习支架，帮助学生从旧知过渡到直观图的深入理解与应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，如通过学生画圆柱体作品对比强化空间观念，题型设计层层递进，结合面积关系公式与还原图形方法发展数学思维，总结表格与当堂检测助力数学语言表达，既提升学生几何直观能力，又为教师提供系统教学资源。

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 （第二课时） 复习回顾——直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形． (1)画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示． (2)立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 复习回顾——斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的_________________，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_______________，它们确定的平面表示水平面． (2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于____________的线段． (3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为_____________． x′轴和y′轴 45°(或135°) x′轴或y′轴 原来的一半 复习回顾——空间几何体直观图的画法 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个____轴． (2)画平面：平面_______表示水平平面，平面______和______表示竖直平面． (3)取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_______________都不变． (4)成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______． z Oxy Oyz Ozx 平行性和长度 虚线 问题引领，深入思考 1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？ 答：“斜”是指在已知图形的Oxy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°角；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变；平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度变为原来的一半． 问题引领，深入思考 2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？ 答：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等． 3．画直观图时，如何区别实线和虚线？ 答：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线，看得见的部分要画成实线． 问题引领，深入思考 4. 在一次绘画课上，老师让学生自己画出一个水平放置的圆柱体的图象．某两位同学的作品如图，你认为谁的作品好？为什么？ 答：乙同学作品更好，他的作品符合空间图形直观图的规则，既将各部分的位置关系和度量关系表达出来，又画得极富立体感，符合我们的视觉习惯． 问题引领，深入思考 5．直观图与原图间面积的关系？ 题型一——画水平放置的平面图形的直观图 例 1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型一——画水平放置的平面图形的直观图 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型一——画水平放置的平面图形的直观图 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线． 总结 巩固练习 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 巩固练习 题型二——由直观图还原平面图形 例 2 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 题型二——由直观图还原平面图形 【解析】　(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′. (2)过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′. (3)连接AB，BC，得△ABC. 则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 总结 由直观图还原平面图形有两关键点： (1)平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变，平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度扩大为原来的2倍． (2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点，可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在直角坐标系xOy中的位置． 巩固练习 (1) 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　　) √ 【解析】根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确． 巩固练习 (2) 如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　　　 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【解析】　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．故选D. √ 题型三——直观图与原图形的计算 例 3 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积． 　 【解析】　方法一：如图①所示的是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴． 因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴． 过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于点E′， 则B′E′＝A′D′＝1.又梯形为等腰梯形， 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 21 题型三——直观图与原图形的计算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 题型三——直观图与原图形的计算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 总结 巩固练习 √ 巩固练习 题型四——空间几何体的直观图 例 4 画棱长为2 cm的正方体的直观图．　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 27 题型四——空间几何体的直观图 (3)画侧棱，分别过点A，B，C，D沿z轴的正方向取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm. (4)连线成图，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即可得到正方体的直观图，如图． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 28 总结 画空间几何体的直观图的四个步骤： (1)画轴：画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°. (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图：画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线(或不画)，就得到了几何体的直观图． 巩固练习 画出底面边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 【解析】　(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图1. (2)画底面．以O为中心，在Oxy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，AD＝0.6 cm. (3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm. (4)连线成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2. 当堂检测 1．【多选题】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法正确的是(　　) A．原来相交的直线仍相交 B．原来垂直的直线仍垂直 C．原来平行的直线仍平行 D．原来共点的直线仍共点 √ √ √ 当堂检测 2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在O′x′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm √ 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为____________． 用数学的眼光看世界 答：若一个平面多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则 有S直＝eq \f(\r(2),4)S原，S原＝2eq \r(2)S直. 【思路】　建系eq \o(―――――――――→,\s\up17(依据斜二测画法))定位―→连线成图 【解析】　画法：(1)如图： 取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2) 以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． (2)常见平面图形的直观图： 原图 圆 正方形 等边三角形 直观图 椭圆 平行四边形 一般三角形 (3)同一个图选取坐标系角度不同，得到的直观图可能不同． 【解析】　(1)如图，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. (2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝eq \f(1,2)OA＝eq \r(3) cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图． 所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝eq \r(2). 再建立一个平面直角坐标系xBy，如图②，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋eq \r(2)，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2. 过点A作AD∥BC，且使AD＝A′D′＝1. 连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的原平面图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq \r(2)，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝eq \f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq \f(1,2)×2×(1＋1＋eq \r(2))＝2＋eq \r(2). 方法二：四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，它的面积为S′＝eq \f(（1＋1＋\r(2)）×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(\r(2)＋1,2). 所以原四边形的面积为eq \f(\f(\r(2)＋1,2),\f(\r(2),4))＝eq \r(2)×(eq \r(2)＋1)＝2＋eq \r(2). 直观图与原图形的面积问题： 方法一：由直观图还原出原图形，进而确定相关的量，从而求出原图形的面积． 方法二：不作图，直接根据面积关系S直＝eq \f(\r(2),4)S原求解． 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),4) 【解析】　如图所示，直观图△A′B′C′的高为h＝C′D′sin 45°＝eq \f(1,2)CDsin 45°＝eq \f(1,2)×2×sin 60°×sin 45°＝eq \f(\r(6),4)，底边长A′B′＝AB＝2， 所以△A′B′C′的面积为S＝eq \f(1,2)A′B′·h＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(6),4). 【解析】　(1)画轴，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点A，且∠xAy＝45°(或135°)，∠xAz＝90°. (2)画底面，在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝2 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设交点为C，则四边形ABCD就是正方体底面ABCD的直观图． 3．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是(　　) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq \f(1,2) C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 4. 水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为(　　) A.eq \f(5,2)　　 　 B．5　　　 C.eq \f(5,4)　　 　 D．2 5eq \r(2) cm2 $