8.2 立体图形的直观图课件（第一课时）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“立体图形的直观图”，核心讲解斜二测画法。课堂导入先回顾柱体、锥体等结构特征，再结合矩形窗户影子、农田形状等生活实例，搭建从空间几何体到平面直观图的学习支架。 其亮点在于以生活现象培养数学眼光，通过正六边形、长方体等典例分步演示画法，结合“横不变纵减半”等规则总结发展数学思维，口诀式小结规范数学语言。学生能提升空间观念，教师可借助清晰流程与丰富例题高效教学。

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 （第一课时） 学习目标 1.理解“斜二测画法”的概念，掌握其“横不变、纵减半、平行性不变、z轴线段保长”的核心规则。 2.能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、直角梯形等）的直观图。 情景导入 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。 情景导入 请你说出下面几何体分别是什么几何体？ 长方体 五棱锥 圆柱 圆锥 圆台 四棱台 这些图形就是空间几何体的直观图 把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。 情景导入 如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远 处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？ 利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。 新知探究 要画出空间几何体的直观图, 应先学会水平放置的平面图形的的画法． 例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图． x . . . . . . . . . . y o 解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系； 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 新知探究 ②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半 . . . . . X’ . . . . . y’ O’ x . . . . . . . . . . y o 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 敲黑板 斜二测画法画出水平放置的平面图形直观图的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴与y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= 45°(或135°)，他们确定的平面表示水平面； （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 敲黑板 已知图形 直观图 画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变 画出水平放置的正方形的直观图 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 小试牛刀 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）相等的线段在直观图中仍然相等. （ ） （2）平行的线段在直观图中仍然平行. （ ） （3）一个角的直观图仍是一个角. （ ） （4）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） （5）三角形的直观图还是个三角形. （ ） （6）菱形的直观图还是个菱形. （ ） （7）平行四边形的直观图还是平行四边形. （ ） √ × √ × √ × √ 典例讲解 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 【注意】 (1)建系时要尽量考虑图形的对称性； (2)画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置． 画法：①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠ x′O y′=45°. 典例讲解 ②以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取 .以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF. 【注意】水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来的一半． 典例讲解 ③连接 并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度 变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度 简记为： 【注意】斜二测画法要点剖析:在直观图中“变”的量与“不变”量 横不变,纵减半,平行性不变 小试牛刀 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 敲重点 通过斜二测画法我们知道，一个圆水平放置的直观图是椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 还有正方形和矩形水平放置的直观图都是平行四边形. A C B D A′ B′ C′ D′ A B C D 敲重点 画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。 典例讲解 例2 已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。 解：画法： 典例讲解 典例讲解 典例讲解 典例讲解 例3 已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。 解：（1）画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使 典例讲解 A B （2）画下底面。以O 为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。 （3）画上底面。在Oz上截取点 ，使 =3cm，过点 作平行于Ox的轴 。 类似下底面的做法作出圆柱的上底面。 典例讲解 （4）成图。连接 ，整理得到圆柱的直观图。 敲重点 圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。 典例讲解 例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。 解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。 典例讲解 例5 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 典例讲解 敲重点 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝ . 当堂检测 × 当堂检测 C 当堂检测 10 当堂检测 课堂小结 2.空间几何体直观图斜二测画法步骤： 画轴——画底面——画侧棱——连线成图 口诀：横竖不变纵减半，平行性不变 1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤： 画轴取轴——取点——连线成图 口诀：横不变纵减半，平行性不变 3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式 Lavf58.51.100 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， S原 √ √ 1．判断正误 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观. (1)原来相交的仍相交. (　　) (2)原来垂直的仍垂直. (　　) (3)原来平行的仍平行. (　　) (4)原来共点的仍共点. (　　) √ 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 ． 4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图． 　　　①　　　　 ②　　　　　　③ $