球的切接问题课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

球的切接问题 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. • O 解：由题意知2R=6，即R=3. ∴最大球零件的体积为 ①正方体内切球直径2R=正方体棱长a (2R=a) 正方体的内切球 ②正方体的棱切球直径2R=正方体的面对角线长a 即2R=a 正方体的棱切球 定义：①若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 ②体对角线：连接棱柱上下底面的不在同一侧面的两顶点的连线。(体对角线过正/长方体的中心) 结论：外接球球心到多面体各顶点的距离为球的半径。 外接球 棱长为a cm的正方体的顶点都在球面上，求球的体积. ③正方体的外接球直径=正方体体对角线长. 正方体的中心与其外接球球心重合. 正方体的外接球 在球面上有四个点P,A,B,C，若PA,PB,PC两两垂直且PA=PB=PC=2，则该球的体积为_____. ③正方体的外接球直径=正方体体对角线长. 关键:将三棱锥补为正方体 正方体的外接球 外接球 棱切球 内切球 球直径对应线段 体对角线AC1 面对角线AC 棱AB 球直径2R 与正方体的棱长a的关系 正方体的外接球、棱切球和内切球 设长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为________. O ④长方体的外接球直径=长方体的体对角线长. 长方体的中心与其外接球球心重合. A B C D D1 长方体的外接球 解：设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c，则 O a b c 长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，， 则它的外接球的表面积为_______. 长方体的外接球 设直三棱柱的所有棱长都为2，且顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为______. ⑤球心到正三棱柱两底面的距离相等。 • O • O2 C B A 2 • O1 2 正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. D 正三棱柱的外接球 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上， 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则球的表面积为____. ⑥正四棱锥的外接球O满足OP=OA=OB=OC=OD=R; 球心O在顶点和底面中心的连线(正四棱锥的高)上; 正四棱锥的外接球 球与正三棱锥的4个面各有一个切点； 球心O到4个面的距离均等于r，即OQ=OT=OR=OS=r； 正三棱锥的内切球 OA=OB=OC=OP=r； P,O,Q共线且PQ⊥面ABC； Q为底面的中心； 正棱锥的外接球球心在其高上. 已知正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上， 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则此球的半径为____. 正三棱锥的外接球 正三棱锥的外接球 三棱锥的内切球 已知底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且PA=3，AB=4，则四棱锥P-ABCD内切球的表面积为____. 正三棱锥的外接球 • O D R • O′ P C B A a (法1)如图构造直角三角形. R O A D O′ P • • R a R 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. 正四面体的外接球 (法2：补形法)把正四面体放在正方体中， 则正方体的外接球就是正四面体的我今天， 设正方体棱长为x， • O P C B A 正四面体的外接球 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. • O D R • O′ P C B A a R O A D O′ P • • R a R 若正四面体的棱长为a，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r， 则R=a，r=a，R:r=3:1. r 若正四面体的棱长为a，高为h， 则h=a，R=h，r=h，R:r=3:1. 正四面体的外接球、内切球 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半， 则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______. O 解：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r， ②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，设球的半径为r， 圆锥的外接球 几何体的内切球 求几何体内切球的方法有两个，一是利用内切球的定义直接找球心和 半径的关系；二是利用等体积法直接来求半径（若球内切于多面体，则 球心到各个面的距离相等）. 1.圆柱模型 设,分别为圆柱的底面圆半径和高， 为内切球半径，则且 19 2.正棱柱模型 设, 分别为正棱柱的底面正多边形内切圆的半径和正棱柱的高， 为内切球半径，则且 几何体的内切球 20 3.圆台模型 设，分别为圆台的上、下底面圆的半径， 为内切球半径. 当且仅当，即圆台的高等于其内切球直径时，圆台内切球才存在， 此时 ） 几何体的内切球 21 4.圆锥模型 设，，分别为圆锥的底面圆半径、高、母线长， 为内切球半径，则由，得， 其中 几何体的内切球 22 5.正棱锥模型 . 设为锥体的斜高，, 分别为锥体的高和底面内切圆半径， 为内切球半径.由，可得 几何体的内切球 23 6.两个全等的正棱锥组合体模型——“钻石”模型 设为锥体的斜高，,分别为锥体的高和底面内切圆半径， 为内切球半径.在中， 几何体的内切球 24 7.通用模型 设为内切球半径，几何体的体积为, 表面积且 ，所以. 以三棱锥为例：如图，， 则 几何体的内切球 25 若正四面体棱长为，如图⑮，则与正四面体各棱都相切的球直径为； 若正方体的棱长为 ,如图⑯，则与正方体各棱都相切的球的直径为 . （用过正方体棱切球的球心且平行于正方体某个面的平面截组合体， 截面为图⑯ ；正方体的对角面截组合体的截面为图⑯ ） 图⑮ 图⑯ 几何体的棱切球 26 适用几何体 解题流程 公式 “汉堡”模型 圆柱、直棱柱、一条侧棱与底面垂直的棱锥 先找底面外接圆半径， 再找几何体的高 “斗笠”模型 圆锥、底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面的外心的棱锥（正棱锥） 先找底面外接圆半径， 再找几何体的高 “墙角”模型 从一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥 先补成长方体，再找长方体的长、宽、高 “麻花”模型 对棱相等的三棱锥 先补成长方体，再确定长方体三类面对角线，， “ ”模型 一个侧面与底面垂直的棱锥 找这两个面的外接圆半径， 以及两个面的交线长 27 看不见是一种局限 看得见也是一种局限 类型一、墙角模型 类型二、对棱相等模型 (补形为长方体) 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 类型六、折叠模型（二面角模型） 类型七、两直角三角形拼接模型 类型八、台体外接球模型 网上流传很广的一套模型课件 提供给学生自学使用 类型一 墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两直直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 , 即求出 例1. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直, 且三条侧棱长分别为 , 则三棱锥的外接球的表面积是 . 【解答】解: ∵ 三棱锥的三条侧棱两两相互垂直, 且三条侧棱长分别为 , 故可将其补充为一个长宽高分别为 的长方体,则其外接球的直径 , 故球的表面积 . 类型一 墙角模型 变式. 我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为 “阳马”, 现有 “阳马” 如图所示, 平面 , 则该 “阳马”外接球的表面积为 A. B. C. D. 【解答】解：把四棱锥 放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球, ∵ 长方体的对角线长为 , 则长方体的外接球的半径 , ∴ 该 “阳马” 外接球的表面积为 . 类型一 墙角模型 类型二、对棱相等模型 (补形为长方体) 题设: 三棱锥 (即四面体) 中, 已知三组对棱分别相等, 求外接球半径 , 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱; 第二步：设出长方体的长宽高分别为 , 列方程组, 补充: 图 2-1 中, . 第三步：根据墙角模型， , . 类型二、对棱相等模型 (补形为长方体) 例2. 在三棱锥 中, , 则三棱锥 的外接球的表面积为 ( A. B. C. D. 【详解】三棱锥 中, , 构造长方体使得面对角线分别为 , 则长方体体对角线长等于三棱的外接球直径 , 如图所示, 设长方体棱长分别为 , 则 ,则 , 即 , 外接球表面积 . 类型二、对棱相等模型 (补形为长方体) 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图 3-1, 图 3-2, 图 3-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱, 棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ; 第二步：算出小圆 的半径 也是圆柱的面）； 第三步：勾股定理： , 解出 例3. 设直三棱柱 的所有顶点都在一个表面积是 的球面上, 且 , 则此直三棱柱的表面积是（ ） A. B. C. D. 【解析】设 , 因为 , 所以 . 于是 ( 是 外接圆的半径), . 又球心到平面 的距离等于侧棱长 的一半, 所以球的半径为 . 所以球的表面积为 , 解得 . 因此 . 于是直三棱柱的表面积是 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 正弦定理求大圆直径是通法 1. 如图 4-1, 平面 平面 , 且 (即 为小圆的直径), 且 的射影是 点也是圆锥的顶点. 第一步：确定球心 的位置, 取 的外心 , 则 三点共线; 第二步：先算出小圆 的半径 , 再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）; 第三步：勾股定理： ，解出 ； 事实上, 的外接圆就是大圆, 直接用正弦定理也可求解出 . 2. 如图 4-2, 平面 平面 , 且 (即 为小圆的直径), 且 , 则利用勾股、定理求三棱锥的外接球半径： (1) ; (2) 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 3. 如图 4-3, 平面 平面 , 且 (即 为小圆的直径) 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 4. 题设：如图 4-4, 平面 平面 , 且 (即 为小圆的直径) 第一步：易知球心 必是 的外心, 即 的外接圆是大圆, 先求出小圆的直径 ; 第二步：在 中, 可根据正弦定理 , 求出 . 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 例4. 在三棱锥 中, 平面 平面 , 且 , 则三棱锥 的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【解答】解：如图，取等边三角形 的中心 , 过 作平面 的垂线段 , 且 , 则 为三棱锥 的外接球的球心, 在等边三角形 中, 由 , 得 , 连接 , 则 , ∴ 棱锥 的外接球的表面积为 . 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 1. 题设：如图 5, 平面 , 求外接球半径. (一一条侧棱垂直底面) 第一步：将 画在小圆面上, 为小圆直径的一个端点, 作小圆的直径 , 连接 ,则 必过球心 ; 第二步： 为 的外心，所以 平面 , 算出小圆 的半径 三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理， 得 ； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： (1) ; (2) . 2. 题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形， 的射影是 的外心 棱锥 的三条侧棱相等 棱锥 的底面 在圆锥的底上, 顶点 点也是圆锥的顶点. 解题步骤: 第一步：确定球心 的位置，取 的外心 , 则 三点共线; 第二步：先算出小圆 的半径 , 再算出棱锥的高 (也是圆锥的高）; 第三步：勾股定理： , 解出 方法二：小圆直径参与构造大圆, 用正弦定理求大圆直径得球的直径. 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 解: 取 中点 , 过 作 的平行线 , 则球心 在直线 上,如图所示: 已知 底面 , 且 , , 由于 , 所以 上的点到 、、、 的距离都相等, 作 的中垂线交 于点 , 即 为四棱锥体的外接球的球心， 且能满足 , 勾股定理:求得 , 所以 . 例5. 如图, 在四棱锥 中, 已知 底面 , 且 , , 则该四棱锥外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 类型六、折叠模型（二面角模型） 题设: 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起, 或菱形折叠 (如图 6) 第一步：画出如图 6 所示的图形，将 画在小圆上， 找出 和 的外心 和 ; 第二步：过 和 分别作平面 和 平面 的垂线, 两垂线的交点即为球心 ， 连接 第三步：解 , 算出 , 在 中, 勾股定理: 注: 易知 四点共面且四点共圆, 证略. 例6.在菱形 中, , 将 沿 折起到 的位置, 若二面角 的大小为 , 则三棱锥 的外接球的表面积为 类型六、折叠模型（二面角模型） 【详解】过球心 作 平面 平面 , 则 为等边三角形 的中心, 为等边三角形 的中心, , ∵ 四边形 是菱形, 都是边长为 2 等边三角形, 连接 , 所以 , 设 交于点 , 则 , 则 . ∵, ∴ 球的半径 , ∴ 三棱锥 的外接球表面积为 . 类型六、折叠模型（二面角模型） 类型七、两直角三角形拼接在一起 (斜边相同, 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图 7, , 求三棱锥 外接球半径 （分析：取公共的斜边的中点 , 连接 , 则 为三棱锥 外接球球心, 然后在 中求出半径）， 当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时 与折起成的二面角大小无关， 只要不是平角球半径都为定值. 例7.(2023 - 四川成都高三模拟) 在平行四边形 中, 满足 , , 若将其沿 折成直二面角 , 则三棱锥 的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【解析】平行四边形 中, ∵, 沿 折成直二面角 , ∵ 平面 ⊥平面 ，三棱锥 的外接球的直径为 , ∴ 外接球的半径为 1 , 故表面积是 . 故选: . 类型七、两直角三角形拼接在一起 (斜边相同, 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 【解析】设矩形对角线的交点为 , 则由矩形对角线互相平分, 可知 . ∴ 点 到四面体的四个顶点 、、、 的距离相等, 即点 为四面体的外接球的球心,如图所示. ∴ 外接球的半径 . 故 . 变式.(2023 - 陕西宝鸡高三模拟) 在矩形 中, , 沿 将矩形 折成一个直二面角 , 则四面体 的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 类型七、两直角三角形拼接在一起 (斜边相同, 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 类型八、台体外接球模型 球内接圆台，棱台 ， 其中 分别为圆台的上底面、下底面、高. 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 例9. （2022 年新高考 II 卷 T7）已知正三棱台的高为 1 , 上、下底面边长分别为 和 , 其顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 , 所以 , 即 , 设球心到上下底面的距离分别为 , 球的半径为 , 所以 , 故 或 , 即 或 , 解得 符合题意, 所以球的表面积为 . 类型八、台体外接球模型 The End eq \f(9,32)或eq \f(3,32) $