5.1 万有引力定律及应用 讲义 -2027届高考物理一轮专题复习

该高中物理讲义聚焦万有引力定律及应用高考核心考点，涵盖开普勒三定律、万有引力定律内容及天体运动、质量密度计算等应用，按“定律理解-方法提炼-问题解决”逻辑架构知识点，通过考点梳理（如开普勒定律适用条件）、方法指导（如面积定律速度反比关系）、真题训练（典例及模拟题）帮助学生构建知识网络，突破难点。 资料突出科学思维与模型建构，如用开普勒第二定律面积比例分析卫星运动时间（典例1），对比“自力更生法”与“环绕法”教学天体质量计算，设置基础巩固到综合应用分层练习，培养学生问题解决能力，为教师提供精准复习节奏指导，高效提升学生应考能力。

第1讲　万有引力定律及应用 1．开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1．行星绕太阳运行的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，所以行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小(如图所示)。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】（2026·山东泰安·三模）如图所示，一颗卫星绕地球顺时针飞行，运动周期为，图中实线为卫星的运行轨迹，其中AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，O为地心，AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则该卫星某一周期内从C点运动到D点和从D点运动到C点所用时间之比为（　　） A．1∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．10∶1 【答案】B 【详解】AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，设椭圆面积为，故，该卫星某一周期内从C点运动到D点与椭圆曲线CAD段围成的面积为 从D点运动到C点与椭圆曲线DBC段围成的面积为 由开普勒第二定律可得 故选B。 【典例2】（2026·北京丰台·二模）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第二定律（面积定律），彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。近日点距离太阳更近，为了保持面积相等，彗星在近日点的线速度必须更大，远日点距离太阳更远，线速度更小。因此，彗星在近日点的速度比远日点的速度大，A错误。 B．彗星的加速度由万有引力提供，根据牛顿第二定律 近日点到太阳的距离更小，因此加速度更大；远日点距离更大，加速度更小。因此，彗星在近日点的加速度比远日点的加速度大，B错误。 C．从运行到的过程中，彗星与太阳的距离逐渐增大，万有引力的方向与彗星的速度方向夹角大于，根据功的定义式 ，所以万有引力对彗星一直做负功。C正确。 D．彗星从运行到时，距离太阳更近，根据开普勒第二定律，平均速度更大；从运行到时，距离太阳更远，平均速度更小。两段轨道的弧长相近，但平均速度不同，因此时间不相等，D错误。 故选C。 考点二　万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【典例3】（2026·广西崇左·二模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．55e绕55A做匀速圆周运动的向心力由二者间的万有引力提供，则 其中r为公转轨道半径，故A正确，B错误； CD．公转运动的向心力周期公式为，故CD错误。 故选A。 【典例4】（2026·新疆·三模）牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 【答案】C 【详解】月地检验的核心逻辑是“提出假设→推导理论值→实际观测计算实际值→比较验证”，步骤如下： ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ①求出 ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 故符合逻辑的月-地检验的顺序是②③①④⑤。 故选C。 考点三　天体质量及密度的计算 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【典例5】（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 【答案】C 【详解】A．月球绕地球做圆周运动的轨道半径为地月间距，根据牛顿第二定律结合圆周运动有 又解得，选项错将月球轨道半径替换为地球半径，故A错误； B．月-地检验的核心是比较月球绕地的向心加速度与地表重力加速度，看是否满足平方反比关系，除、（用于计算）外，还需要地球半径和地表重力加速度，故B错误； C．对月球，万有引力提供向心力解得 对地表苹果，万有引力近似等于重力解得，两式相比可得，故C正确； D．由地表重力等于万有引力的推导式，解得地球质量，选项错将地球半径替换为地月间距，故D错误； 故选C。 【典例6】（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 可得 平均密度为 作辅助线如图 几何关系可知 联立，解得 可得该恒星与太阳的平均密度之比为 故选A。 1. （2026·河南郑州·二模）（多选）我国十五五规划将建设低轨卫星互联网列为重点工程。该工程中的国网星座采用500千米以下极低轨与1145千米近地轨的双层架构，兼顾低时延与广覆盖需求。如图，P、Q分别为极低轨和近地轨上的两颗卫星，均以地心为圆心做匀速圆周运动。在两卫星运行过程中，PQ连线和OQ连线的夹角最大值为，则（　　） A．卫星P的加速度大于卫星Q B．P、Q两卫星与点连线在一段时间内扫过的面积相等 C．P、Q两卫星做圆周运动的周期之比为 D．P、Q两卫星做圆周运动的周期之比为 【答案】AC 【详解】A．根据牛顿第二定律及万有引力有 解得，由，则卫星P的加速度大于卫星Q，故A正确； B C D．根据几何关系有，由开普勒第三定律 解得，即 t时间内卫星与地心连线扫过的面积 解得，故BD错误、C正确。 故选AC。 2. （2026·江西·二模）《晋书·天文志》载：“日月行道，皆如弹圆，而迟疾有准。”今有甲、乙两行星同受中心天体（古称“镇星”）引力牵引。甲星轨道为椭圆，其距中心天体最近为四百万里，距中心天体最远为三千万里。乙星则做匀速圆周运动，且与甲星绕行周期相同。试问乙星轨道半径当为多少里（　　） A．三千四百万里 B．一千七百万里 C．二千六百万里 D．一千三百万里 【答案】B 【详解】根据开普勒第三定律：绕同一中心天体运动的卫星，轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值为定值，即，仅由中心天体质量决定。 由题意可知甲星轨道的半长轴 乙星与甲星绕行周期相同，匀速圆周运动的轨道半径大小等于甲星轨道的半长轴，为1700万里。 故选B。 3. （2026·山西·一模）地球和某彗星绕太阳运行的轨迹如图所示。彗星近日点和远日点到太阳中心的距离分别约为地球公转轨道半径的0.6倍和35.4倍，则该彗星的公转周期约为（　　） A．22年 B．26年 C．38年 D．76年 【答案】D 【详解】哈雷彗星绕太阳运动的周期约为T彗，，设哈雷彗星轨道的半长轴为，则哈雷彗星椭圆轨道的半长轴为 根据开普勒第三定律有 解得T彗=76年 故选D。 4. （2026·江苏徐州·模拟预测）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在近日点和远日点附近取极短时间，根据开普勒第二定律有 整理得 故选C。 5. （2026·陕西宝鸡·二模）如图所示为某一卫星在变轨后绕地球做椭圆运动，其中AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，O为地心，AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从A点运动到C点和从C点运动到B点所用时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积为S1，BO、OC和椭圆CB段曲线所围成的面积为S2，根据题意可得 根据开普勒第二定律可得 联立解得 故选D。 6. （2026·山东青岛·一模）2025年，捷龙三号遥八运载火箭在山东近海海域将吉利星座06组卫星送入约600km高度的圆轨道。已知地球半径约为6400km，地球静止轨道半径约为42000km，则卫星一天绕地球运动的圈数约为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】卫星的轨道半径 地球静止轨道半径，静止轨道周期天 根据开普勒第三定律 可得卫星周期 则一天内卫星绕地球的圈数 解得 故选B。 7. （2026·江苏徐州·二模）2025年10月31日，我国发射了神舟二十一号载人飞船，将三名宇航员成功送入了在轨道Ⅱ上运行的天宫空间站。如图所示，飞船发射后先进入椭圆轨道Ⅰ，是椭圆轨道的近地点，是椭圆轨道的远地点，飞船在椭圆轨道、Q点时线速度大小为、。下列关系正确的是（　　） A．v1＜v2 B．v1=v2 C．v1>v2 D．无法确定 【答案】C 【详解】飞船在椭圆轨道、Q点时，根据开普勒第二定律可得 由于，则有 故选C。 8. （2026·贵州六盘水·二模）前人经长期观察，发现金星离太阳的最大角距离（金星、地球、太阳连线之间最大角度）约为46°，已知，，设地球、金星绕太阳运动的周期分别为、，则最接近（    ） A．0.329 B．0.373 C．2.68 D．3.04 【答案】B 【详解】由图中的几何关系可知，当金星与太阳连线垂直金星与地球连线时，金星距离太阳的角距离最大，此时金星和地球绕太阳公转的轨道半径之比为 根据开普勒第三定律，，故选B。 9. （2026·河北·一模）太阳系中最小的矮行星—谷神星于2025年10月8日冲日，迎来观测良机。谷神星冲日是指谷神星、地球与太阳近似排成一条直线，地球位于两者之间。已知相邻两次谷神星冲日的时间间隔约为1.27年，两行星公转方向相同，则谷神星与地球公转半径的比值约为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】地球公转角速度 谷神星公转角速度 则两次谷神星冲日的时间间隔为 相邻两次谷神星冲日的时间间隔约1.27年，近似为t=1.25年，解得 由开普勒第三定律可知，谷神星与地球公转半径的比值约，故选A。 10. （2026·广西柳州·三模）如图所示，P、Q 为质量相等的两个质点，分别位于地球表面上的不同纬度上，把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 B．P、Q做圆周运动所需的向心力大小相等 C．P、Q做圆周运动的向心加速度大小相等 D．P所受地球引力大于Q所受地球引力 【答案】A 【详解】A．P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，所以P、Q做圆周运动的角速度大小相等，均等于地球自转角速度，故A正确； BC．根据，；由于P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动的半径不相等，则P、Q做圆周运动所需的向心力大小不相等，向心加速度大小不相等，故BC错误； D．根据可知，P所受地球引力等于Q所受地球引力，故D错误。 故选A。 11. （2026·浙江温州·二模）如图甲所示，某飞行器绕地球变轨过程中的两椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ相切于P点，AB是椭圆轨道Ⅰ的短轴。图乙为该飞行器在两轨道上受到地球引力大小随时间的变化规律。则（　　） A．飞行器在时刻经过轨道Ⅰ的近地点 B．飞行器沿轨道Ⅰ上从A点经P点运行至B点的时间为 C．飞行器沿轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期之比为 D．时间内，飞行器与地球连线在任意相等时间内扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．飞行器在两轨道运行过程中，当飞行器在轨道Ⅰ的近地点时，飞行器距离地球间距最小，飞行器所受万有引力最大，根据图乙可知，飞行器在时刻经过轨道Ⅰ的近地点，故A错误； B．结合上述，根据图乙可知，飞行器在时刻经过轨道Ⅰ的近地点，在时刻经过轨道Ⅰ的P点，即飞行器沿轨道Ⅰ上从近地点经A点运行至P点的时间为，故B错误； C．根据图乙，飞行器在轨道Ⅰ的近地点与远地点有， 飞行器沿轨道Ⅱ的远地点有 根据开普勒第三定律有 解得，故C正确； D．时间内，飞行器开始在轨道Ⅱ上运行，后来在轨道Ⅰ上运行，开普勒第二定律是针对同一轨道，可知，时间内，飞行器与地球连线在任意相等时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。 故选C。 12. （2026·陕西商洛·三模）（多选）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆轨道，将地球绕日一年转的分为24份，每为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。地球公转位置与节气的对照图如图所示。下列说法正确的是（　　） A．夏至时地球的机械能比冬至时地球的机械能大 B．太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等 C．地球绕太阳公转的每一天中，夏至这一天地球与太阳的连线扫过的面积最大 D．太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量） 【答案】BD 【详解】A．地球绕太阳公转的过程中仅受到太阳的万有引力，地球的机械能守恒，故A错误； B．根据牛顿第三定律可知，太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等、方向相反，故B正确； C．根据开普勒第二定律可知，地球绕太阳公转的每一天，地球与太阳的连线扫过的面积均相同，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量），故D正确。 故选BD。 13. （2026·青海西宁·一模）开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．地球从冬至到春分的运行过程中，太阳对地球的引力越来越大 B．地球从夏至到秋分的运行过程中，运行时间等于从秋分到冬至的运行时间 C．地球在夏至的运行速率大于在秋分的运行速率 D．行星的轨道与圆十分接近，我们也可按圆轨道处理。若用代表轨道半径，代表公转周期，，则与、均无关 【答案】D 【详解】A．地球从冬至到春分，离太阳越来越远（由图可知冬至在近日点附近）。根据万有引力公式可知，该过程引力F减小。故A错误； BC．根据开普勒第二定律，可知从夏至到冬至，地球距离太阳越来越近，运行速率逐渐变大，由图可知夏至到秋分过程与秋分到冬至过程，两段路径的弧长相等，但速率不同，所需时间不相等，故BC错误； D．开普勒第三定律公式中的k值只跟太阳的质量有关，与行星的r、T均无关，故D正确。 故选D。 14. （2026·辽宁·二模）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，若仅考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知，下列说法错误的是（    ） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 【答案】B 【详解】A．由图可知，故A正确； B．当P离行星最近时，有 当P离行星最远时，有 当Q离行星最近时，有 当Q离行星最远时，有 由开普勒第三定律可知，联立解得，故B错误； C．由题图和万有引力定律可知 解得P、Q的质量之比为，故C正确； D．设卫星Q的轨迹半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则有、、 联立解得， 所以Q的轨道长轴与短轴之比为，故D正确。 由于本题选择错误的，故选B。 15. （25-26高三上·山东青岛·期末）我国计划2030年前实现载人登月科学探索。探月卫星A、B绕月球运动的轨道均为椭圆，月球位于椭圆的一个焦点上，两卫星分别与月球间引力F的大小随时间t的变化规律如图所示。已知，则A、B的质量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，A卫星的周期，B卫星的周期，又 根据开普勒第三定律，可得 A卫星，引力的最大值与最小值之比为9：1，则远月点与近月点距离之比为3：1 A在远月点， B卫星，引力的最大值与最小值之比为4：1，则远月点与近月点距离之比为2：1 B在远月点， 解得 故选D。 16. （2026·四川遂宁·一模）在物理学的发展过程中，科学家们总结出了许多物理学研究方法，取得了很多成就。下列叙述正确的是（　　） A．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫作理想模型法 B．根据加速度定义式，当非常小时，就可以表示物体在该时刻的瞬时加速度，应用了微元法 C．伽利略肯定了亚里士多德“重物比轻物下落快”的观点 D．牛顿发现了万有引力定律，并通过扭秤实验测出了引力常量的数值 【答案】A 【详解】A．质点是一种理想化模型，用于忽略物体大小和形状时简化问题，该方法称为理想模型法，故A正确； B．当非常小时，就可以表示物体在该时刻的瞬时加速度，是极限思想（微分法），而非微元法（微元法通常用于积分问题），故B错误； C．伽利略通过实验否定了亚里士多德“重物比轻物下落快”的观点，提出自由落体运动规律，故C错误； D．牛顿发现了万有引力定律，但引力常量G是由卡文迪许通过扭秤实验测出，故D错误。 故选A。 17. （25-26高三·全国·二轮复习）若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（　 ） A．g1＝ B．g2＝ C．g1＝ D．g1＝ 【答案】C 【详解】根据万有引力定律和质量分布均匀球体的球壳定理（球壳对球内质点万有引力为零），分析各位置重力加速度： - 地表重力加速度 ，其中 为地球质量， 为地球半径。 - 中国空间站在轨道高度 处，重力加速度 （万有引力提供向心力）。 - “蛟龙”号在深度 处，有效质量为半径 以内球体质量 ，重力加速度 A. 由 和 得 ，故A错误； B. 由 ，故B错误； C. 代入 得，故C正确； D. 代入 得，故D错误。 故选C。 18. （2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C．3.7×10⁻⁴ D． 【答案】C 【详解】星球极地的重力等于万有引力，赤道处万有引力的一部分用于提供自转的向心力，因此极地与赤道的重力加速度差等于赤道处自转的向心加速度，公式为 其中为星球半径，为星球自转周期。 因此两者的比值为 代入已知条件 ，月球自转周期 ，地球自转周期 可得 故选C。 19. （2025·四川绵阳·模拟预测）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，地球的公转周期为。根据以上信息可以得到哈雷彗星（    ） A．质量 B．公转周期 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．由万有引力定律可以计算中心天体的质量，依题意哈雷彗星是环绕天体，其质量无法由万有引力提供向心力模型计算，故A错误； B．由开普勒第三定律可得，其中年 解得年，故B错误； C．根据开普勒第二定律，取时间微元，根据扇形面积公式 可得 解得，故C错误； D．在近日点时，由牛顿第二定律可得 在远日点时，由牛顿第二定律可得 联立解得，故D正确。 故选D。 20. 哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴为，周期为；鹊桥二号绕月球运行的椭圆轨道半长轴为，周期为，则太阳和月球的质量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，可推导出开普勒第三定律的推广形式，其中为中心天体质量，变形可得中心天体质量 对哈雷彗星绕太阳的系统，中心天体为太阳，太阳质量 对鹊桥二号绕月球的系统，中心天体为月球，月球质量 两者质量之比为 故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　万有引力定律及应用 1．开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 (4)万有引力定律在天体上的应用 ①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 ②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 考点一　开普勒三定律的理解和应用 1．行星绕太阳运行的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，所以行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小(如图所示)。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】（2026·山东泰安·三模）如图所示，一颗卫星绕地球顺时针飞行，运动周期为，图中实线为卫星的运行轨迹，其中AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，O为地心，AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则该卫星某一周期内从C点运动到D点和从D点运动到C点所用时间之比为（　　） A．1∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．10∶1 【典例2】（2026·北京丰台·二模）如图所示为某彗星绕太阳转动的椭圆轨道示意图。a、b分别为彗星绕太阳运行的近日点和远日点，c、d为椭圆短轴与轨道的交点，彗星先后经过a、d、b、c、a，下列说法正确的是（　　） A．彗星在近日点的速度比远日点的速度小 B．彗星在近日点的加速度比远日点的加速度小 C．从d运行到b的过程中，太阳对彗星的万有引力对彗星一直做负功 D．彗星从a运行到d的时间等于从d运行到b的时间 考点二　万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。 3．两个推论 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【典例3】（2026·广西崇左·二模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【典例4】（2026·新疆·三模）牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 考点三　天体质量及密度的计算 1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法” (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法” (1)由G＝mr，得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。 【典例5】（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 【典例6】（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 1. （2026·河南郑州·二模）（多选）我国十五五规划将建设低轨卫星互联网列为重点工程。该工程中的国网星座采用500千米以下极低轨与1145千米近地轨的双层架构，兼顾低时延与广覆盖需求。如图，P、Q分别为极低轨和近地轨上的两颗卫星，均以地心为圆心做匀速圆周运动。在两卫星运行过程中，PQ连线和OQ连线的夹角最大值为，则（　　） A．卫星P的加速度大于卫星Q B．P、Q两卫星与点连线在一段时间内扫过的面积相等 C．P、Q两卫星做圆周运动的周期之比为 D．P、Q两卫星做圆周运动的周期之比为 2. （2026·江西·二模）《晋书·天文志》载：“日月行道，皆如弹圆，而迟疾有准。”今有甲、乙两行星同受中心天体（古称“镇星”）引力牵引。甲星轨道为椭圆，其距中心天体最近为四百万里，距中心天体最远为三千万里。乙星则做匀速圆周运动，且与甲星绕行周期相同。试问乙星轨道半径当为多少里（　　） A．三千四百万里 B．一千七百万里 C．二千六百万里 D．一千三百万里 3. （2026·山西·一模）地球和某彗星绕太阳运行的轨迹如图所示。彗星近日点和远日点到太阳中心的距离分别约为地球公转轨道半径的0.6倍和35.4倍，则该彗星的公转周期约为（　　） A．22年 B．26年 C．38年 D．76年 4. （2026·江苏徐州·模拟预测）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。则（　　） A． B． C． D． 5. （2026·陕西宝鸡·二模）如图所示为某一卫星在变轨后绕地球做椭圆运动，其中AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，O为地心，AO、OC和椭圆CA段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从A点运动到C点和从C点运动到B点所用时间之比为（　　） A． B． C． D． 6. （2026·山东青岛·一模）2025年，捷龙三号遥八运载火箭在山东近海海域将吉利星座06组卫星送入约600km高度的圆轨道。已知地球半径约为6400km，地球静止轨道半径约为42000km，则卫星一天绕地球运动的圈数约为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 7. （2026·江苏徐州·二模）2025年10月31日，我国发射了神舟二十一号载人飞船，将三名宇航员成功送入了在轨道Ⅱ上运行的天宫空间站。如图所示，飞船发射后先进入椭圆轨道Ⅰ，是椭圆轨道的近地点，是椭圆轨道的远地点，飞船在椭圆轨道、Q点时线速度大小为、。下列关系正确的是（　　） A．v1＜v2 B．v1=v2 C．v1>v2 D．无法确定 8. （2026·贵州六盘水·二模）前人经长期观察，发现金星离太阳的最大角距离（金星、地球、太阳连线之间最大角度）约为46°，已知，，设地球、金星绕太阳运动的周期分别为、，则最接近（    ） A．0.329 B．0.373 C．2.68 D．3.04 9. （2026·河北·一模）太阳系中最小的矮行星—谷神星于2025年10月8日冲日，迎来观测良机。谷神星冲日是指谷神星、地球与太阳近似排成一条直线，地球位于两者之间。已知相邻两次谷神星冲日的时间间隔约为1.27年，两行星公转方向相同，则谷神星与地球公转半径的比值约为（　　） A． B．5 C． D． 10. （2026·广西柳州·三模）如图所示，P、Q 为质量相等的两个质点，分别位于地球表面上的不同纬度上，把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 B．P、Q做圆周运动所需的向心力大小相等 C．P、Q做圆周运动的向心加速度大小相等 D．P所受地球引力大于Q所受地球引力 11. （2026·浙江温州·二模）如图甲所示，某飞行器绕地球变轨过程中的两椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ相切于P点，AB是椭圆轨道Ⅰ的短轴。图乙为该飞行器在两轨道上受到地球引力大小随时间的变化规律。则（　　） A．飞行器在时刻经过轨道Ⅰ的近地点 B．飞行器沿轨道Ⅰ上从A点经P点运行至B点的时间为 C．飞行器沿轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期之比为 D．时间内，飞行器与地球连线在任意相等时间内扫过的面积相等 12. （2026·陕西商洛·三模）（多选）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆轨道，将地球绕日一年转的分为24份，每为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。地球公转位置与节气的对照图如图所示。下列说法正确的是（　　） A．夏至时地球的机械能比冬至时地球的机械能大 B．太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力大小始终相等 C．地球绕太阳公转的每一天中，夏至这一天地球与太阳的连线扫过的面积最大 D．太阳系内行星轨道的半长轴a与周期T均满足关系式（k为常量） 13. （2026·青海西宁·一模）开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．地球从冬至到春分的运行过程中，太阳对地球的引力越来越大 B．地球从夏至到秋分的运行过程中，运行时间等于从秋分到冬至的运行时间 C．地球在夏至的运行速率大于在秋分的运行速率 D．行星的轨道与圆十分接近，我们也可按圆轨道处理。若用代表轨道半径，代表公转周期，，则与、均无关 14. （2026·辽宁·二模）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，若仅考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知，下列说法错误的是（    ） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 15. （25-26高三上·山东青岛·期末）我国计划2030年前实现载人登月科学探索。探月卫星A、B绕月球运动的轨道均为椭圆，月球位于椭圆的一个焦点上，两卫星分别与月球间引力F的大小随时间t的变化规律如图所示。已知，则A、B的质量之比为（　　） A． B． C． D． 16. （2026·四川遂宁·一模）在物理学的发展过程中，科学家们总结出了许多物理学研究方法，取得了很多成就。下列叙述正确的是（　　） A．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫作理想模型法 B．根据加速度定义式，当非常小时，就可以表示物体在该时刻的瞬时加速度，应用了微元法 C．伽利略肯定了亚里士多德“重物比轻物下落快”的观点 D．牛顿发现了万有引力定律，并通过扭秤实验测出了引力常量的数值 17. （25-26高三·全国·二轮复习）若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是（　 ） A．g1＝ B．g2＝ C．g1＝ D．g1＝ 18. （2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C．3.7×10⁻⁴ D． 19. （2025·四川绵阳·模拟预测）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，地球的公转周期为。根据以上信息可以得到哈雷彗星（    ） A．质量 B．公转周期 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 20. 哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴为，周期为；鹊桥二号绕月球运行的椭圆轨道半长轴为，周期为，则太阳和月球的质量之比为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $