第五章 第23课时 万有引力定律及应用 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦万有引力与宇宙航行专题，按开普勒定律、万有引力定律、天体质量密度计算的逻辑梳理考点，通过考情分析、方法提炼、真题精讲和分层训练，帮助学生构建知识网络，突破卫星运动参量分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以情境化教学和科学思维培养为特色，结合“嫦娥六号”“祝融号”等实例引导建立天体运动模型，通过推导重力加速度公式提升科学推理能力。设置三级练习配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏和提升学生应考能力提供有力支持。

第五章 万有引力与宇宙航行 考 情 分 析 试题情境 生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较 学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型 第23课时　万有引力定律及应用 目标要求　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。 考点一　开普勒定律 开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。 1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。 (1)v1与v2大小什么关系？ (2)试证明=。 答案　(1)v1>v2 (2)证明：由开普勒第二定律可得Δl1·r1=Δl2·r2，则有v1Δt·r1=v2Δt·r2， 可得=。 2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。 答案　由=mr得：=，即k=。 例1　(2026·江苏苏州市四校联考)如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，bd为其轨道长轴，半长轴为r，周期为T，图示中S1、S2两个面积大小相等。则(　　) A.卫星从a到b的过程中加速度逐渐减小 B.卫星从a到b的速率逐渐增大 C.卫星从a到b的运行时间大于从c到d的运行时间 D.椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 答案　B 解析　卫星从a到b的过程中，卫星距离行星越来越近，可知引力逐渐增加，则加速度逐渐增加，A错误；卫星从a到b引力做正功，则速率逐渐增大，B正确；因S1、S2两个面积大小相等，根据开普勒第二定律可知，卫星从a到b的运行时间等于从c到d的运行时间，C错误；椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与行星的质量有关，与卫星的质量无关，D错误。 考点二　万有引力定律 1.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg=G，得g=。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。 例2　(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1 答案　B 解析　悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F=G，可得=G∶G=×2=，故选B。 例3　(2024·江苏徐州市联考)某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在“极点”处：mg2=； 在其表面“赤道”处：-mg1=m()2R， 联立解得：R=，故选C。 　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转所需的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上： G=mg1+mω2R。 (2)在两极上：G=mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。 [变式]　中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球(视为质量分布均匀的球体)具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕AB轴自转，半径为R，A、B所在的位置为“南、北两极”，C、D所在的位置为“赤道”平面内，OM连线与“赤道”平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.该星球的自转角速度大小为 B.该星球的自转周期为2π C.该星球M位置的自转向心加速度大小为 D.该星球D位置的自转向心加速度大小为g 答案　C 解析　在A处，根据万有引力等于重力有G=mg，在D处根据牛顿第二定律有G=m·g+mω2R，联立可得该星球的自转角速度大小为ω=，A错误；该星球的自转周期为T==4π，B错误；由于OM与“赤道”平面夹角为60°，根据a=ω2r可知M处的自转向心加速度大小为aM=ω2Rcos 60°=g，C正确；该星球D位置的自转向心加速度大小为aD=ω2R=g，D错误。 例4　已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　) A. B.()2 C. D. 答案　C 解析　设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G=mg，由于地球的质量M=ρV=ρ·πR3，联立解得g=πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R-d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=πGρ(R-d)，联立可得g1=g，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2=，解得加速度g2==g，所以=，故C正确。 　万有引力的“两个推论” 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=G。 考点三　天体质量、密度的计算 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例5　(2025·江苏南通市检测)“嫦娥六号”在月球取土后，在距离月球表面高度为h的圆轨道上“环月等待”，做匀速圆周运动，运行周期为T。已知月球的半径为R，引力常量为G。求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度g。 答案　(1)　(2) 解析　(1)“嫦娥六号”在距离月球表面高度为h的圆轨道上绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得=m(R+h) 解得月球的质量为M=。 (2)在月球表面有=m'g 解得月球表面的重力加速度为 g==。 例6　(2024·江苏扬州市检测)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求： (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h=g月t2 月球表面的自由落体加速度大小g月= (2)不考虑月球自转的影响，有G=mg月， 得月球的质量M= (3)月球的密度ρ===。 课时精练 [分值：55分] 　[1~5题，每题4分] 1.(2025·江苏扬州市一模)地球的三颗不同人造卫星分别沿椭圆轨道1、2、3运行，如图所示，已知三条轨道的半长轴均相等，其周期分别为T1、T2、T3，机械能分别为E1、E2、E3，则下列说法正确的是(　　) A.T1=T2=T3 B.T1>T2>T3 C.E1=E2=E3 D.E1>E2>E3 答案　A 解析　由开普勒第三定律=k知，三条轨道的半长轴均相等，故周期相等，故A正确，B错误；三颗不同人造卫星的质量关系未知，故机械能无法比较，故C、D错误。 2.(2025·江苏扬州市检测)下列关于万有引力定律和开普勒定律的说法中正确的是(　　) A.无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等 B.在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力将增大 C.由开普勒第三定律得=k，k为中心天体的质量 D.火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等 答案　A 解析　根据牛顿第三定律可知，无论m1和m2是否相等，它们之间的万有引力大小都相等，故A正确；根据万有引力表达式F=，在m1和m2之间放入第三个物体m3，则m1和m2间的万有引力不变，故B错误；由开普勒第三定律得=k，k为与中心天体质量有关的值，但不是中心天体的质量，故C错误；根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，火星与地球不是同一行星，则火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 3.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 答案　A 解析　根据万有引力公式F=G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。 4.(2025·江苏南京市中华中学模拟)如图所示，若椭圆轨道甲、近地轨道乙相切于P点且在同一平面内，已知地球的半径为R，甲的远地点Q到地心的距离为4R，地球表面的重力加速度为g，下列关于卫星的说法正确的是(　　) A.卫星在甲轨道P、Q两点的线速度大小之比为4∶1 B.卫星在Q点的加速度大小为 C.卫星在甲轨道运行1圈的时间可使之在乙轨道运行4圈 D.卫星沿甲、乙轨道分别经过P点的加速度不相同 答案　A 解析　根据开普勒第二定律，有vPR=vQ×4R，解得vP∶vQ=4∶1，故A正确；卫星在甲轨道P点有=ma=mg，在Q点有=ma'，联立解得a'=g，故B错误；根据开普勒第三定律有=，解得T甲=T乙≈3.95T乙，卫星在甲轨道运行1圈的时间内，在乙轨道还没有运行4圈，故C错误；对于卫星在P点有=ma，解得a=，卫星沿甲、乙轨道分别经过P点的加速度相同，故D错误。 5.(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍 答案　B 解析　设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1，G=m2r2，联立得=()3·()2，由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。 6.(8分)(2025·江苏连云港市一模)2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F。已知月球半径为r，引力常量为G。求： (1)(4分)月球表面的重力加速度g； (2)(4分)月球的质量M。 答案　(1)　(2) 解析　(1)月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F，则有F=mg，解得g=。 (2)在月球表面有G=mg 结合上述解得M=。 　[7~9题，每题4分] 7.2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。该行星的体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在该行星表面与地球表面做平抛运动，若水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为(　　) A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4 答案　C 解析　根据万有引力提供向心力，得G=mg，可得星体表面的重力加速度g=，该行星和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则该行星表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h=gt2，可得物体在该行星表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x=v0t，可得物体第一次落地时水平距离之比为1∶2。故选C。 8.(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A. B. C. D.(1+k)3 答案　D 解析　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力G=m·(k+1)R，月球的体积V=πR3，月球的平均密度ρ=，联立可得ρ=(1+k)3，故选D。 9.质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　) A.G B.mR C.G-mR D.G+mR 答案　C 解析　对物块，由牛顿第二定律有-FN=mR，解得物块受到的支持力FN=-mR，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力大小F为-mR，故选C。 10.(11分)(2025·江苏南通市检测)2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射。如图所示，飞船由火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船在运行多圈后变轨进入预定圆轨道。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，引力常量为G。 (1)(5分)求地球的平均密度ρ； (2)(6分)若飞船在椭圆轨道上的运行周期为T1，在圆轨道上的运行周期为T2，Q距地面的高度为h，求近地点P距地面的高度hP。 答案　(1)　(2)2(R+h)-(h+2R) 解析　(1)由地球表面物体所受万有引力等于其重力知=mg 地球平均密度ρ= 解得ρ= (2)根据开普勒第三定律，得 = 解得hP=2(R+h)-(h+2R)。 　[4分] 11.(2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　) A.2n B. C. D. 答案　C 解析　设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A=mg，k·A=mg'，可得g=，g'=，可得=2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有G=mg，G=mg'，联立可得=，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $