内蒙古2025-2026学年第二学期人教版八年级期末教学质量阶段测试卷

**基本信息** 立足呼和浩特地域情境，原创试题占比高，融合五育并举、乳业经济等现实素材，突出数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|二次根式、加权平均数、勾股定理、菱形性质、函数图像、矩形折叠|第2题以“五育并举”评分考统计，第3题花圃捷径问题考几何直观| |填空题|4/20|方差、方位角、平行四边形判定、中点问题|第8题港口轮船航行考空间观念与勾股定理应用| |解答题|4/50|代数计算、矩形证明、函数利润、几何综合探究|第13题乳业酸奶销售考函数模型与数据分析，第14题从课本再现到拓展应用，考推理能力与创新意识|

2025-2026学年第二学期初二年级期末教学质量调研 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.二次根式vx-2有意义的条件是( A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2 2.某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为 核心标准，依据3：3：2：1：1的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行 量化评分，综合评定学生的最终成绩.小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则 小鱼同学期末评优的最终得分是( 德10 A.9.1 B.9.2 C.9.3 体10 D.9.4 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出 了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为( A.2m A “路 B.3m 5m C.3.5m B 12m D.4m 第1页，共6页 4.如图，菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，若AC=6, 菱形ABCD的面积为24，则OE长为( A.3.5 B.3 B C.2.5 D.2 5.下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电， 电池剩余电量y与使用时间x: ②用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架， 矩形面积y与一边长x: ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与燃烧时间x. 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ y 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=16,点E是边BC上一点，先将△ABE沿 AE折叠，使得点B落在点B处，EB'与AD交于点F;再折叠矩形纸片ABCD,使得点C 与点B'重合，点D落在点D'处，折痕为EG,则△FGE的面积是( A.10 B.8 C.12 D.16W3 3 D B G D F B E 第2页，共6页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.小字在计算某组样本的方差时，列式为：s2=4[(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(4 6)],则该组样本的样本容量是 ,平均数是 8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行 12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.已知“远航” 号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行. R P ”东 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于 点E,DF LAC于点F,且BE=DF,则下列结论： ①BE/DF; ②四边形ABCD是平行四边形： ③当点E是AO的中点，且∠ABE=30时，四边形ABCD是矩形. 其中正确的是 10.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=12,点G是边AB上的一点，点P是BC边上 的一个动点，连接DG,GP,点E,F分别是GD,GP的中点，在点P的运动过程中， EF的最大长度为 第3页，共6页 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.(本小题12分)计算： (1)2W5+V20-V45. (2)1-√31+(-1)2024-√6÷√2. 12.(本小题12分) 如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AE 1 BC于点E,延长BC至 点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)若BC=CD,BF=16,DF=8,求口ABCD的面积. B 第4页，共6页 13.(本小题12分) “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌其 中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料 解决问题， 内容 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进 货总金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销， 甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐， 材 y(元) 料 1500 500- 皮字老酸 0 50 150 x(罐) 材 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不 料 低于150罐，且不高于400罐， 任 务 (1)根据图象求出y与x的函数关系式. 任 (2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利 务 润为w元，求出w(单位：元)与乙种品牌酸奶的进货量x(单位：罐)之间的函数 关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案。 第5页，共6页 14.(本小题14分) 【课本再现】 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点0，点0又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为两个正方形的重叠部分，正方形A1B1C1O 可绕点0转动. 【问题发现】 (1)①线段AE,BF之间的数量关系是： ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形A1B1C10的一个顶点0是矩形ABCD对角线AC的中点，A10与边 AB相交于点E,延长AO交CD于点M,C1O与边CB相交于点F,连接EF矩形 A1B1C1O可绕点O转动，猜想AE,CF,EF之间的数量关系，并进行证明. 【类比迁移】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∠EDF=90°，点D在边AB 的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F.∠EDF可绕点D转 动，当AE=4时，请直接写出△CEF的面积. D D B B C 图1 图2 图3 备用图 第6页，共6页 内蒙古2025-2026学年第二学期初二年级期末教学质量调研 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）二次根式有意义的条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意得，， 解得． 故选：． 根据被开方数大于等于列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2.（原创）呼和浩特某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据：：：：的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则小明同学期末评优的最终得分是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由图可知德、智、体、美、劳的得分分别为、、、、，权重分别为、、、、， 总权重为， 根据加权平均数公式，最终得分 ， 故选：． 先明确各维度的权重，再获取每个维度的得分，最后根据加权平均数公式计算最终得分． 本题主要考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数公式若个数，，，的权数分别是，，，，那么 是解题的关键． 3.（原创）如图，呼和浩特学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：． 利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键． 4.如图，菱形的两条对角线，相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：四边形是菱形，，菱形的面积为， ， 解得：， ，，， 又点是中点， 是的中位线， 在中，， 则． 故选：． 根据菱形的性质可得，，从而可判断是的中位线，在中求出，继而可得出的长度． 本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键． 5.下面的三个问题中都有两个变量： 新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； 用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； 点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量随使用时间的增加而减小，符合题意；  用固定长度的新型导热线性材料围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，不符合题意；  点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与随燃烧时间的增加而减小，符合题意；  故选：． 根据电池剩余电量随使用时间的增加而减小判断即可；  根据矩形的面积公式判断即可；  根据蜡烛的剩余高度与随燃烧时间的增加而减小判断即可． 本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键． 6.如图，在矩形纸片中，，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，，， ，，，，，，，， ， 、、在同一直线上， ， 设，则， ，即， ，即， ，， ，， ， ， 则的面积是， 故选：． 由矩形的性质可得，，，，由折叠的性质可得，，，，，，，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.（原创）小张在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是    ，平均数是      ．  【解析】解：、、、，每个数据点对应一个样本， 样本容量为， 方差公式中的每个数据点均减去同一个数即平均数， 根据公式，每个数据点被减去的数为， 平均数． 故答案为：，． 通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 本题考查了样本容量和平均数，熟练掌握以上知识点是关键． 8.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里它们离开港口一个半小时后分别位于点，处，且相距海里已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿      方向航行． 【答案】西北方向  【解析】解：由题知，海里，海里，海里，， ，， ， ， ． 故答案为：西北方向． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 9.如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：；四边形是平行四边形；当点是的中点，且时，四边形是矩形其中正确的是      ． 【答案】  【解析】， ， ， 于点，于点， ， ， 故正确． ， ≌， ， 四边形是平行四边形； 故正确． 由题意可得：是的垂直平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形．故正确． 故答案为：． 根据平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质逐一分析判断，即可解答． 本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10.如图，矩形中，，，点是边上的一点，点是边上的一个动点，连接，，点，分别是，的中点，在点的运动过程中，的最大长度为        ． 【答案】  【解析】解：连接，，如图所示： 点，分别是，的中点， ， 当最大时，最大， 当点在点处时，最大，即的长度， 四边形为矩形， ， ， 的最大长度为， 故答案为：． 连接，，根据三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点在点处时，最大，即的长度，根据勾股定理求出即可得出答案． 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 3、 解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分计算： ． ． 解：  ...........................................................4分 ..........................................................6分    ..........................................................4分   ..........................................................6分 先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．  先化简绝对值，乘方，再算二次根式的除法，然后计算加减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 12.本小题分 如图，在▱中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，，求▱的面积． 【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， ...................................................2分 ， ，即， ， 四边形是平行四边形...................................................4分 ， ， 平行四边形是矩形...................................................6分 解：，， ， ， ...................................................8分 ， ...................................................10分 ， ...................................................12分 由平行四边形的性质可得，，由得，即得，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证； 利用矩形和勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 13.本小题分 “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为元罐；乙种酸奶的进货总金额单位：元与进货量单位：罐之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为元罐和元罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共罐，其中乙种品牌的销售量不低于罐，且不高于罐． 任务一 根据图象求出与的函数关系式． 任务二 若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出单位：元与乙种品牌酸奶的进货量单位：罐之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【解析】解：设与的函数表达式为， 把代入解析式...................................................3分 得， ...................................................4分 设乙品牌酸奶的进货量罐， 由题意可得：， 由得， 则， ...................................................6分 ， 随的增大而增大...................................................8分 ， 当时，最大， 最大值为元...................................................10分 罐， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时， 获得的利润最大...................................................12分 设与的函数表达式为，代入即可求解； 设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 14.本小题分 【课本再现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 线段，之间的数量关系是______； 在的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是______． 【拓展应用】 如图，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 如图，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：...................................................2分 解：≌， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：...................................................4分 证明：；...................................................5分 理由如下： 连接，如图： 为矩形中心， ， 延长交于， ， ， 又， ≌， ，，...................................................6分 又四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 在中，由勾股定理得：， ；...................................................8分 解：设， 当在线段上时，如图， ， ， 在中，， ， ，...................................................9分 又由易知， ， ， 解得，即， ；...................................................10分 当点在延长线上时， 同理可证， ，...................................................11分 又在中， ， ，...................................................12分 解得，即，...................................................13分 ； 故的面积为或．...................................................14分 根据题型先证明≌，进而即可得出线段，之间的数量关系； 根据≌，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； 猜想：，连接，延长交于，证明≌，再利用勾股定理证明即可； 设，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初二年级期末教学质量调研 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）二次根式有意义的条件是(    ) A. B. C. D. 2.（原创）呼和浩特某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据：：：：的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则小明同学期末评优的最终得分是(    ) A. B. C. D. 3.（原创）如图，呼和浩特某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，菱形的两条对角线，相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为(    ) A. B. C. D. 5.下面的三个问题中都有两个变量： 新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电， 电池剩余电量与使用时间； 用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架， 矩形面积与一边长； 点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在矩形纸片中，，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.（原创）小张在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是    ，平均数是      ．  8.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里它们离开港口一个半小时后分别位于点，处，且相距海里已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿      方向航行． 9.如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论： ； 四边形是平行四边形； 当点是的中点，且时，四边形是矩形 其中正确的是      ． 10.如图，矩形中，，，点是边上的一点，点是边上的一个动点，连接，，点，分别是，的中点，在点的运动过程中，的最大长度为        ． 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分计算： ． ． 12.本小题分 如图，在▱中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，，求▱的面积． 13.本小题分 “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 呼和浩特某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为元罐；乙种酸奶的进货总金额单位：元与进货量单位：罐之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为元罐和元罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共罐，其中乙种品牌的销售量不低于罐，且不高于罐． 任务一 根据图象求出与的函数关系式． 任务二 若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出单位：元与乙种品牌酸奶的进货量单位：罐之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 14.本小题分 【课本再现】 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 线段，之间的数量关系是______； 在的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是______． 【拓展应用】 如图，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 如图，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期初二年级教学质量调研 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.二次根式Vx-2有意义的条件是( A.X>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2 【答案】C 【解析】解：由题意得，x-2≥0， 解得x≥2. 故选：C 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解。 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数， 2.某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为 核心标准，依据3：3：2：1：1的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行 量化评分，综合评定学生的最终成绩.小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则 小鱼同学期末评优的最终得分是( 德10 A.9.1 B.9.2 C.9.3 D.9.4 体10 第1页，共17页 【答案】D 【解析】解：由图可知德、智、体、美、劳的得分分别为10、9、10、9、8，权重分别 为3、3、2、1、1， 总权重为3+3+2+1+1=10， 根据加权平均数公式，最终得分=10x3+9x3+10x2+9x1+8x1 10 -30+27+20+9+8 10 =若=94， 故选：D. 先明确各维度的权重，再获取每个维度的得分，最后根据加权平均数公式计算最终得 分 本题主要考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数公式（若个数x1,2,,的 权数分别是w1,w2,,w,那么=1w+2w2士+)是解题的关键。 w1十w2+…+wn 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出 了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草他们少走的路长为( A.2m B.3m “路” C.3.5m D.4m B 12m 【答案】D 【解析】解：∠ACB=90°，AC=5m,BC=12m, AB=√AC2+BC2=V52+122=13(m), 少走的路长为AC+BC-AB=5+12-13=4(m), 故选：D 利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC一AB,计算即可. 本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC-AB是解本题的关键. 第2页，共17页 4.如图，菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，若AC=6, 菱形ABCD的面积为24，则OE长为( A.3.5 B.3 C.2.5 D.2 【答案】C 【解析】解：：四边形ABCD是菱形，AC=6,菱形ABCD的面积为24， S菱形A8m-AC:BD=X6DB=24, 解得：BD=8, ÷A0=0C=3,0B=0D=4,A01B0, 又：点E是AB中点， ·OE是△DAB的中位线， 在Rt△A0B中，AB=√32+4=5， 则0E=AD=AB=2.5. 故选：C 根据菱形的性质可得OB=OD,AO L BO,从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△ AOB中求出AB,继而可得出OE的长度， 本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂 直且平分的性质是解题关键。 第3页，共17页 5.下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量y与使用时间 X; ②用固定长度的新型导热线性材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积y与一边 长x: ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与燃烧时间x. 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【解析】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电 量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用固定长度的新型导热线性材料围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次 函数，不符合题意： ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题 意： 故选：C ①根据电池剩余电量y随使用时间×的增加而减小判断即可： ②根据矩形的面积公式判断即可： ③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间×的增加而减小判断即可. 本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键 第4页，共17页 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=16,点E是边BC上一点，先将△ABE沿 AE折叠，使得点B落在点B处，EB与AD交于点F;再折叠矩形纸片ABCD,使得点C 与点B重合，点D落在点D处，折痕为EG,则△FGE的面积是( A.10 B.8 C.12 D.16W3 3 D G 0 B 【答案】A 【解析】解：AB=CD=4,AD=BC=16,∠B=∠C=∠D=90°，AD/BC, AB=AB=4,BD'=CD=4,∠AB'E=∠B=90°，∠DB'E=∠C=90°，∠D= ∠D=90°，DG=D'G,∠B'EA=∠BEA,∠CEG=∠BEG, ∴∠ABE+∠DBE=180°， ·A、B、D在同一直线上， .AD'=AB'B'D'=8, 设AG=x,则D/G=DG=16-x, AD'2+D'G=AG2,即82+(16-x)2=x2, .x=10,即AG=10, :∠BEA=∠FAE,LCEG=∠FGE, ÷∠FEA=∠FAE,∠FEG=LFGE, .AF=EF=FG, FG=AG=5, 则△FGE的面积是=FG×AB=×5×4=10, 故选：A 第5页，共17页 由矩形的性质可得AB=CD=4,AD=BC=16,∠B=∠C=∠D=90°，AD/BC,由折 叠的性质可得AB'=AB=4, B'D'=CD=4,∠AB'E=∠B=90°，∠DBE=∠C=90°，∠D'=∠D=90°，DG=D'G, ∠B'EA=∠BEA,∠CEG=∠BEG,证明A、B'、D'在同一直线上，得出AD'=AB'+ B'D'=8,设AG=x,则D'G=DG=16-x,由勾股定理可得AG=10,证明AF= EF=FG,即可得解， 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上 知识点是解题的关键 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.小宇在计算某组样本的方差时，列式为：s2=1[(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(4- 6)2],则该组样本的样本容量是 ，平均数是 【解析】解：(5-6)2、(7-6)2、(8-62、(4-6)2，每个数据点对应一个样本， …样本容量为4， :方差公式中的每个数据点均减去同一个数（即平均数）， 根据公式，每个数据点被减去的数为6， .平均数x=6. 故答案为：4,6. 通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均 数则是方差计算中统一减去的数值， 本题考查了样本容量和平均数，熟练掌握以上知识点是关键. 第6页，共17页 8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行 12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.已知“远航” 号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行. 北 R ”东 【答案】西北方向 【解析】解：由题知，PQ=16×1.5=24海里，PR=12×1.5=18海里，QR=30海 里，∠SPQ=45°， :PQ2+PR2=242+182=900,QR2=900, ..PQ2 +PR2 =QR2, ∴∠RPQ=90°， ÷∠SPR=∠RPQ-∠SPQ=90°-45°=45°. 故答案为：西北方向， 根据题意，得出△PRQ的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形， 再求解即可. 本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理 发现直角三角形进行解答 第7页，共17页 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于 点E,DF LAC于点F,且BE=DF,则下列结论：①BE//DF;②四边形ABCD是平行 四边形；③当点E是A0的中点，且LABE=30时，四边形ABCD是矩形.其中正确的 是 D E F 【答案】①②③ 【解析】：LABD=∠CDB, ÷.AB/CD, ÷∠BAE=∠CDF, :BE L AC于点E,DF⊥AC于点F, ÷∠AEB=∠CFD=∠BE0=∠DF0=90°， .BE//DF, 故①正确. .BE=DF, △ABE≌△CDF(AAS), .AB=CD, :四边形ABCD是平行四边形： 故②正确. :由题意可得：BE是A0的垂直平分线， .AB=BO, ·.∠AB0=2∠ABE=60°， A0=B0, 四边形ABCD是平行四边形， ·AC=2AO,BD=2B0, 第8页，共17页 ·AC=BD, .四边形ABCD是矩形.故③正确， 故答案为：①②③. 根据平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质逐一分析判断，即可解答 本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边 三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键 10.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=12,点G是边AB上的一点，点P是BC边上 的一个动点，连接DG,GP,点E,F分别是GD,GP的中点，在点P的运动过程中， EF的最大长度为 【答案】6.5 【解析】解：连接BD,DP,如图所示： 点E,F分别是GD,GP的中点， 4.EF=DP, 当DP最大时，EF最大， 当点P在点B处时，DP最大，即DB的长度， :四边形ABCD为矩形， ÷∠DAB=90°， ·BD=VAD2+AB2=√52+122=13， ·EF的最大长度为×13=6.5， 故答案为：6.5. 第9页，共17页 连接BD,DP,根据三角形中位线性质得出EF=二DP,从而得出当DP最大时，EF最 大，根据点P在点B处时，DP最大，即DB的长度，根据勾股定理求出DB即可得出答 案 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三 角形中位线定理。 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.(本小题12分)计算： (1)2√5+V20-V√45. (2)11-V31+(-1)2024-V6÷√2. 解：(1)2√5+√20-√45 =2W5+2W5-3V5. …4分 =√5 6分 (2)1-√31+(-1)2024-√6÷√2 =√3-1+1-√6÷√2 4分 =√3-1+1-√3 =06分 (1)先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. (2)先化简绝对值，乘方，再算二次根式的除法，然后计算加减法即可. 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 第10页，共17页 12.(本小题12分) 如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AE 1 BC于点E,延长BC至 点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形： (2)若BC=CD,BF=16,DF=8,求口ABCD的面积. 【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ·AD/BC,AD=BC, ÷AD//EF.… …2分 CF=BE, ÷CF+EC=BE+EC,即EF=BC, .EF AD, 一四边形AEFD是平行四边形4分 AE L BC, ∠AEF=90°， 一平行四边形AEFD是矩形6分 (2)解：AE=DF=8,∠F=90°， DF2 +CF2 CD2, BC CD CF=BF-BC=16-CD.8分 82+(16-CD)2=CD2, 六CD=10…10分 ÷BC=CD=10, S□ABcD=BC·AE=10×8=80… 12分 (1)由平行四边形的性质可得AD//BC,AD=BC,由CF=BE得EF=BC,即得EF= AD,即可得四边形AEFD是平行四边形，再根据AE⊥BC即可求证： (2)利用矩形和勾股定理可得BC=CD=10,再根据平行四边形的面积公式计算即可求 解. 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题 的关键. 第11页，共17页 13.(本小题12分) “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌其 中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料 解决问题。 内容 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进 货总金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销， 甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐. y(元) 材 1500 料 500 奶皮子老酸奶 50 150 x(罐) 材 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不 料 低于150罐，且不高于400罐， 任 务 (1)根据图象求出y与x的函数关系式 任 (2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利 务 润为w元，求出w(单位：元)与乙种品牌酸奶的进货量x(单位：罐)之间的函数 关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案. 【解析】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx(k≠0)， 把(50,500)代入解析式y=x(k≠0). 3分 得k=10, y=10X4分 第12页，共17页 (2)设乙品牌酸奶的进货量x罐， 由题意可得：150≤x≤400， 由(1)得y=10x, 则w=(12-8)(800-x)+(15-10)x, =X十32006分 k=1>0, 。W随X的增大而增大8分 :150≤x≤400， 当x=400时，w最大， 最大值为400十3200=3600元10分 800-400=400(罐)， 即甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时， 获得的利润最大12分 (1)设y与x的函数表达式为y=kxk≠0)，代入(50,500)即可求解： (2)设乙品牌酸奶的进货量x罐，则甲品牌酸奶的进货量(800-x)罐，用含x的式子表示 利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可. 本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键. 14.(本小题14分) 【课本再现】 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点0又是正方形A1B1C10的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为两个正方形的重叠部分，正方形A1B1C1O 可绕点0转动. 【问题发现】 (1)①线段AE,BF之间的数量关系是； ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形A1B1C10的一个顶点0是矩形ABCD对角线AC的中点，A10与边 AB相交于点E,延长AO交CD于点M,C,O与边CB相交于点F,连接EF矩形 A1BC1O可绕点O转动，猜想AE,CF,EF之间的数量关系，并进行证明. 第13页，共17页 【类比迁移】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6,BC=8,∠EDF=90°，点D在边AB 的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,E∠EDF可绕点D转 动，当AE=4时，请直接写出△CEF的面积. A B B C 图1 图2 图3 备用图 【解析】(1)①解：四边形ABCD是正方形， ·AC⊥BD,OA=OB, ·∠A0B=∠A10C1=90°， ∴∠AOE=∠BOF, 在△AEO和△BFO中， (LAOE=∠BOF OA=OB 1 ∠OAE=∠OBF ·△AEO≌△BFO(ASA), ·AE=BF, 故答案为：AE=B……2分 ②解：△AOE≌△B0F, .AE =BF, ∠EBF=90°， .EF2 BE2 +BF2, .AB=BC,AE=BF, .BE=CF, .EF2 AE2 CF2, 故答案为：EF2=AE2+CF2. 4分 第14页，共17页 (2)证明：AE2十CF2=EF2;5分 理由如下： 连接AC,如图： A y D 0 E B F C :0为矩形中心， ÷A0=C0, 延长EO交DC于E, AB//CD, ·∠BAC=∠ACE, 又：LA0E=∠COE', ÷△AOE≌△COE(ASA), ÷AE=CE,E0=E0,.6分 又~四边形A1B1C1O是矩形， ÷∠E0F=90°=∠F0E, ·FO垂直平分EE', .EF=E'F, 在Rt△FCE中，由勾股定理得：CE2+FC2=E'F2, 占AE2十CF2=EF2;8分 第15页，共17页 (3)解：设CF=x, ①当E在线段AC上时，如图3， E 0 FhC B E AE=4, CE=2, 在Rt△FCE中，∠C=90°， .CE2 +CF2 EF2, 22+x2=EF2, 9分 又由(2)易知EF2=AE2+BF2, EF2=42+BF2, .22+x2=42+(8-x)2, 解得x=只即CF- Saam=方×2×9=号 .10分 ②当点E在CA延长线上时， 同理可证EF2=AE2+BF2, EF2=42+(8+X)2,… u11分 又在Rt△FCE中， EF2=x2+(6+4)2, ÷x2+(6+4)2=42+(8十X)2,… .12分 解得x=吾即CF=吾 .13分 SACEF=号x2x-要 44 故△CEF的面积为兴或空 14分 第16页，共17页 (1)①根据题型先证明△AEO≌△BFO(ASA),进而即可得出线段AE,BF之间的数量关 系； ②根据△AOE≌△BOE,得出AE=BF,进而根据勾股定理得出EF2=BE2+BF2,根据 线段之间的数量关系，即可得出结论； (2)猜想：AE2+CF2=EF2,连接AC,延长EO交DC于E,证明△AOE ≌△COE(ASA),再利用勾股定理证明即可： (3)设CF=x,分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上 时，结合勾股定理，即可求解， 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形 全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线， 熟练掌握相关的判定和性质. 第17页，共17页命题双向细目表 内蒙古2025-2026学年第二学期初二年级数学期末教学质量调研 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 二次根式有意义的条件 选择题 5 0.95 基础题 2 加权平均数（五育并举情境） 选择题 5 0.9 基础题 3 勾股定理的应用 选择题 5 0.85 基础题 4 菱形的性质、直角三角形斜边中线定理 选择题 5 0.8 基础题 5 函数的概念与图象识别 选择题 5 0.75 中档题 6 矩形的折叠问题、勾股定理、三角形面积 选择题 5 0.6 中档题 7 方差的定义与计算、平均数 填空题 5 0.9 基础题 8 勾股定理的逆定理、方位角 填空题 5 0.75 中档题 9 平行线的判定、平行四边形与矩形的判定 填空题 5 0.65 中档题 10 矩形的性质、三角形中位线定理、最值问题 填空题 5 0.6 中档题 11 二次根式的混合运算、绝对值、有理数乘方 解答题 12 0.85 基础题 12 矩形的判定、平行四边形的性质与面积计算 解答题 12 0.75 中档题 13 一次函数的应用、二元一次方程（组）、一次函数最值 解答题 12 0.7 中档题 14 正方形/矩形的性质、全等三角形、勾股定理、动态问题 解答题 14 0.55 压轴题 合计 100 0.76 $