专题03 正方形的性质和判定（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

**基本信息** 以六大题型系统覆盖正方形性质与判定，从基础计算到综合应用，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求角度|4题（含等边三角形结合）|利用边、角、对角线性质计算|性质直接应用，衔接特殊三角形| |性质求线段长|4题（含赵爽弦图）|勾股定理与面积公式综合|性质与代数计算结合| |正方形与折叠|4题（含坐标折叠）|折叠变换中性质不变性运用|图形变换与性质迁移| |添条件判正方形|4题（菱形、平行四边形背景）|判定定理条件补充|性质逆用，强化判定逻辑| |最小值问题|3题（含将军饮马模型）|对称性与路径最短应用|性质与几何模型结合| |性质与判定综合|6题（含证明与计算）|全等、推理与计算综合|性质判定融合，提升综合思维|

专题03 正方形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】................................................................................2 【题型3 正方形与折叠】......................................................................................................3 【题型4 添一条件使四边形是正方形】...............................................................................4 【题型5 正方形中最小值问题】..........................................................................................4 【题型6 正方形的性质与判定综合】...................................................................................5 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 5．若正方形的边长为3，则它的对角线长为（   ） A． B． C． D． 6．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是（   ） A．2 B． C． D． 7．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连结，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 8．如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．6 【题型3 正方形与折叠】 9．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在中点E处，点A落在F处，折痕为，则线段的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为________；点E的坐标为________． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 13．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 14．如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 15．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 16．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【题型5 正方形中最小值问题】 17．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 18．如图，是面积为6的正方形的对角线，点E在正方形内，连接、、是等边三角形，在对角线上有一点P，连接、，则的最小值为______． 19．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 20．如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 22．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 23．如图，四边形是正方形，G是上任意一点，于点E，，且交于点F． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 24．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，F是边的中点，则的长为______． 25．综合与实践：图形拼接 【操作发现】 如图，在三角形（）中，，于点． 第一步：将一张与其全等的纸片，沿剪开； 第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和拼在一起．如图所示，这两个三角形分别记为和； 第三步：分别延长和相交于点． 【拓广探索】 (1)求证：四边形是正方形； (2)如图，连接分别交，于点，．将绕点逆时针旋转，使与重合，得到． ①求证：； ②试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形的性质和判定（六大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 根据正方形的性质求线段长】................................................................................4 【题型3 正方形与折叠】......................................................................................................6 【题型4 添一条件使四边形是正方形】...............................................................................10 【题型5 正方形中最小值问题】..........................................................................................13 【题型6 正方形的性质与判定综合】...................................................................................16 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 2．如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到是等边三角形，求出，然后结合正方形得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图得，， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先证明为等腰三角形，等边对等角求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵在正方形的内部， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 5．若正方形的边长为3，则它的对角线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的四边相等，每个角都是直角以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴它的对角线长为． 6．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，结合图形即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10，， ∴， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形的边长为：， 故选：A． 7．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连结，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据题意得到，，，设，则，在，中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，，，是四个全等的三角形， ∴设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 在中，， 故选：D ． 8．如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 则正方形的边长为， 故选：C． 【题型3 正方形与折叠】 9．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在中点E处，点A落在F处，折痕为，则线段的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由折叠的性质及勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得． ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质及勾股定理等知识，由勾股定理建立方程是解题的关键． 10．如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是正方形，是对角线，可求出的度数，根据折叠可知是角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵沿折叠后落在上，沿折叠后落在上， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的折叠，掌握正方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质是解题的关键． 11．如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案． 【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示， ∵正方形面积为2， ∴ ， 由折叠的性质：， ∴图中阴影部分的周长为： ． 故选:D． 【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为________；点E的坐标为________． 【答案】 5 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 13．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 14．如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，解题的关键是掌握对角线相等的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．据此逐个判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． A.∵四边形是菱形，∴，故A选项不能判定菱形成为正方形； B.∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴B选项能判定菱形成为正方形； C.由得，故C选项不能判定菱形成为正方形； D.由四边形是菱形，得，故D选项不能判定菱形成为正方形； 故选：B． 【点睛】 15．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 16．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 【题型5 正方形中最小值问题】 17．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于对称，可得，由三角形三边关系可得，求出长是最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∵， ∴， 即长是最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 18．如图，是面积为6的正方形的对角线，点E在正方形内，连接、、是等边三角形，在对角线上有一点P，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用正方形的对称性，将转化为，则的最小值转化为的最小值，即线段的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形的对角线是对称轴， 点关于的对称点是， ∴． ， ∵两点之间线段最短，　 ∴当P在与的交点时，最小，最小值为的长度， ∵正方形的面积为6， ∴正方形的边长为， ∵是等边三角形， ， ∴的最小值为． 19．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键． 根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧， ∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 20．如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，利用即可证明； （2）根据正方形的性质结合角平分线的定义可得 ，由（1）知，得到 ，进而求出 ；证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中，， ； （2）解：平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， ， ， ； 在和中，， ， ， ， ，． 21．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 22．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，根据正方形的性质，结合中点的定义得到，进而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到，从而，得证结论； （2）先根据中点的定义得到，再根据勾股定理在中求出，再在中求出即可． 【详解】（1）证明：取的中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F是的中点，点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． （2）解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 23．如图，四边形是正方形，G是上任意一点，于点E，，且交于点F． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明可得，即可得结论； （2）由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 24．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，F是边的中点，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点分别作，垂足为点，证明即可； （2）连接，分别对和运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：过点分别作，垂足为点， 则， ∵四边形是正方形， ∴，平分 ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ 即，解得（舍负）． 25．综合与实践：图形拼接 【操作发现】 如图，在三角形（）中，，于点． 第一步：将一张与其全等的纸片，沿剪开； 第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和拼在一起．如图所示，这两个三角形分别记为和； 第三步：分别延长和相交于点． 【拓广探索】 (1)求证：四边形是正方形； (2)如图，连接分别交，于点，．将绕点逆时针旋转，使与重合，得到． ①求证：； ②试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析； ②，理由见解析． 【分析】（1）结合题意推得，，即可证四边形是正方形； （2）①由旋转性质可得，结合等边对等角得，综合可得，即可得证； ②连接，由推得，再利用边角边证明，得到，再结合勾股定理得，综合可得． 【详解】（1）证：依题意得：，，，， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）①证：由旋转性质可得， ， 正方形中，，， ， ， ； ②，理由如下： 连接， ， ，， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的判定、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $