专题08正方形易错必刷题型专项训练(17大题型共计51道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦正方形判定与性质，通过17类易错题型系统梳理判定步骤、性质应用及综合问题，提炼解题技巧，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定类|2题型|先证基础图形再判定，避免条件遗漏|从平行四边形、矩形、菱形过渡到正方形的判定逻辑| |性质应用类|3题型|利用边角对角线关系计算角度、线段、面积|性质与计算结合，培养空间观念| |特殊问题类|2题型|折叠找全等，重叠面积用转化|特殊情境下性质的灵活应用| |性质与判定综合类|5题型|判定与性质衔接，规范推理步骤|判定与性质的综合运用，提升推理能力| |综合应用类|5题型|动点分类讨论，旋转用全等，最值用模型|与动点、旋转等结合，培养综合解题能力|

专题08正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.证明四边形是正方形 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.由正方形的性质求角度 题型04.由正方形的性质求线段长 题型05.由正方形的性质求面积 题型06.正方形折叠问题 题型07.求正方形重叠部分面积 题型08.由正方形性质证明 题型09.由正方形性质与判定求角度 题型10.由正方形性质与判定求线段长 题型11.由正方形性质与判定求面积 题型12.由正方形性质与判定证明 题型13.正方形与动点问题 题型14.正方形与最值问题 题型15.正方形与旋转综合 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形与中位线综合 易错必刷题型01.证明四边形是正方形 题型特征：结合平行四边形、矩形、菱形条件，完整推导证明正方形，解答题高频考点 易错点：①证明顺序混乱，未先证基础图形直接判定正方形 ②遗漏邻边相等或直角核心条件 1．下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理．解题的关键熟练掌握判定定理． 2．如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动， ∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF， ∴四边形是菱形； ∵是边长为4cm的等边三角形， ∴OD=OB=2； 运动后，OE=OF=， 当OB=OE时，四边形为正方形，即，即． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质与判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 3．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 易错必刷题型02.添条件使四边形是正方形 题型特征：已知平行四边形、矩形、菱形，补充单一条件判定正方形，选择填空题常考 易错点：①添加重复无效条件 ②混淆不同图形对应的判定条件 4．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 5．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 6．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 (3)，详见解析 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线+平行线模型容易证明，根据等角对等边可得，同理可得，由此即可得出； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴. （2）解：当点O在边上运动到边中点时，四边形是矩形，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形， 故答案为：边中点． （3）解：当的，且O在中点时，四边形是正方形，理由如下， 由（2）得，四边形是矩形， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 易错必刷题型03.由正方形的性质求角度 题型特征：利用正方形边角、对角线平分角特性，计算相关角度数值 易错点：①忽略对角线平分内角为45° ②角度推导逻辑不清，计算出错 7．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在正方形中，平分， ． ， ． 又， ． 8．如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 【答案】/70度 【分析】根据正方形性质和已知得，求出 ，由三角形外角的性质得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴ ∴． 9．如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，旋转角为，则，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，，再求出，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点顺时针旋转至处， ∴，旋转角为， ∴， ∴， ∵点三点在同一直线上， ∴． （2）解：由（1）已得：，，，， ∴，，， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 易错必刷题型04.由正方形的性质求线段长 题型特征：依据边长、对角线、线段等量关系，求解线段长度 易错点：①记错边长与对角线数量关系 ②误判图形中等量线段 10．如图，已知正方形的边长为2，对角线与相交于点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质及勾股定理，熟知正方形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 在中用勾股定理计算出对角线的长，再借助“正方形的对角线互相垂直且平分”求出的长． 【详解】解：是正方形， ， 在中，， ， 由于正方形的对角线互相垂直且平分， ． 故选：B． 11．如图，E、F为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出中的长和中的长，即可得，，进而证明，得到，，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得，，即可证明，得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ​∴， ∴，，， ∴， ，， 在中，． 12．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）先由勾股定理求解，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴． 易错必刷题型05.由正方形的性质求面积 题型特征：运用边长、对角线两种公式，计算正方形整体或局部面积 易错点：①混用面积计算公式 ②分割图形后面积拆分计算失误 13．如图1，将正方形 沿线段剪开，再把得到的四个四边形按如图所示的方式拼接成一个四边形．若图中正方形的边长为，，则图中正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的性质可得，即可得图中正方形的边长为，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，， ∴， ∴图中正方形的边长为， ∴图中正方形的面积为， 故选：． 14．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】7 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 15．如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为． (1)当时，______； (2)当点在边上运动时，______； (3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)32 (2)128 (3)存在， 的值为10或38 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． （1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）分两种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ； 故答案为：32； （2）解：点在边上运动， ； 故答案为：128； （3）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等． 如图4，当点在上时，， ， ， ． 如图5，当点在上时，， ， ． 综上所述，或38时，使得与全等． 易错必刷题型06.正方形折叠问题 题型特征：以正方形为载体沿直线折叠，求解角度、线段、面积相关问题 易错点：①无法找准折叠前后相等边角 ②不会结合勾股定理列式计算 16．如图，已知正方形的边长为2，将正方形沿直线＋折叠，则图形中阴影部分的周长为（　　）    A．8 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论． 【详解】解：如图：    由翻折变换的性质可知，，， 阴影部分的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查的是折叠变换的性质，即折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17．如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，是边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰落在边上，连接交折痕于点H，若，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由折叠的性质可得，则可证明，得到，导角证明，则，据此利用勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； 18．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 易错必刷题型07.求正方形重叠部分面积 题型特征：两个正方形交错重叠，求解重叠区域面积大小 易错点：①不会利用全等转化面积 ②误用整体减空白的计算思路 19．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 20．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 21．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 易错必刷题型08.由正方形性质证明 题型特征：直接运用正方形基础性质，证明线段相等、角度相等 易错点：①性质套用生硬，缺少推理步骤 ②错用菱形、矩形性质替代正方形性质 22．如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为(    ) A． B．° C．° D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得，，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 23．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    【答案】 【分析】延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明，从而得出，设，，利用勾股定理和完全平方公式建立关于的方程组，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，   四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ． 24．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F． (1)求证：； (2)当点E是的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）延长，交于点H，证明，可得，再由直角三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长，交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型09.由正方形性质与判定求角度 题型特征：先判定正方形，再结合性质推导计算角度 易错点：①判定步骤缺失直接用性质 ②复杂图形中角度关系梳理混乱 25．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 26．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 27．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 易错必刷题型10.由正方形性质与判定求线段长 题型特征：先判定正方形，再求解各类线段长度 易错点：①判定依据不充分 ②线段之间等量关系判断错误 28．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 29．如图，是等腰直角三角形，，是的中点，连接并延长至，使得，连接和．以点为圆心，的长为半径画弧交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，连接若，_________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 30．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 易错必刷题型11.由正方形性质与判定求面积 题型特征：判定图形为正方形后，计算整体或局部面积 易错点：①判定失误导致公式用错 ②不规则面积拆分方法错误 31．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 32．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 33．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 易错必刷题型12.由正方形性质与判定证明 题型特征：综合判定与性质，完成几何证明类题型 易错点：①判定与性质衔接逻辑断裂 ②全等证明条件搜集不全 34．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 35．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 36．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 易错必刷题型13.正方形与动点问题 题型特征：正方形边上存在运动点，探究线段、角度、图形变化 易错点：①未分类讨论动点位置 ②忽略运动范围限制条件 37．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有___． 【答案】①②③④ 【分析】①先证得四边形是矩形，再证得是正方形； ②由，可知，由，可知，从而有； ③由，，即可得， ④，当时，最小，即最小，由的面积可得的最小值为． 【详解】解：①∵正方形的边长为1，是对角线上一动点， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ②如下图，四边形是矩形，连接，， 在与中， , ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴，故④正确． 38．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质设，并用勾股定理求出的值，再根据，是正方形的边的三等分点，求出的值，然后在上取一点，且，连接、，连接，且与交于点，当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合，再过点分别作交于点，交于点，接着运用等面积法求出的值，结合勾股定理求出的值，最后求出的值，进行比较即可． 【详解】∵正方形，为对角线， ∴，，， ∴与关于对称， 设 ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵，是正方形的边的三等分点， ∴，， 在上取一点，且，连接、、，连接，且与交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合， 如图，过点分别作交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∵， 又∵ ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴， ∴． 39．在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图①，正方形中，E是上一动点，过点E作，交正方形的外角的平分线于点F．求证：，小明的证明思路如下： 如图，在上截取，连接． 则易得，，________， ∴，∴． (1)补全小明的证明思路，横线处应填________； (2)如图②，过点F作，交的延长线于点G，以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等角的余角相等可得结论； （2）在上截取，连接．则，证明可得； （3）证明是等腰直角三角形得，再根据全等三角形的性质得到，进而可得，利用勾股定理求得，利用等腰直角三角形得到，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故横线处应填； （2）证明：在上截取，连接， 则， ∴， ∵正方形，平分正方形的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 易错必刷题型14.正方形与最值问题 题型特征：依托正方形结构，求解线段最短、长度最值类题型 易错点：①不会运用将军饮马模型 ②找不准最值对应临界位置 40．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由正方形可得，，再可得四边形是矩形，则的最小值即为的最小值，当时，最短，利用等面积法求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为8， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵P是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 41．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】连接、，根据对称性可得，当、、在一条直线上时，最小，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 四边形是正方形， 、关于对称， ， ， 当、、在一条直线上时，最小． 在中，， ． 42．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 易错必刷题型15.正方形与旋转综合 题型特征：正方形绕顶点旋转，结合全等求解边角与面积 易错点：①分不清旋转对应边角 ②不会利用90°旋转特殊性质 43．如图，为正方形的对角线，将绕点C旋转，与的延长线交于点E，连接，则______． 【答案】 【分析】先由正方形性质得到，再由旋转可得，结合等边对等角得到，最后根据求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴． 44．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 45．如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【详解】（1）解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图（），把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 易错必刷题型16.正方形与坐标系综合 题型特征：平面直角坐标系内给出正方形，求坐标、边长、面积 易错点：①坐标正负符号判断错误 ②边长与横纵坐标距离混淆 46．如图，正方形，点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造“一线三直角”模型，证明 ，利用对应边相等求出点相对于点的水平和竖直距离，进而求得点的坐标． 【详解】解：如图所示：过点作轴于，过点作 轴于，过点作 于 则， ∴ 四边形是正方形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 点的坐标是 ， ，． ，． 点在点的右侧， 点的横坐标为． 点在点的下方， 点的纵坐标为． ． 47．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据正方形性质证明为等腰直角三角形，得到，再利用角平分线的性质及全等三角形证明，从而求出的长，即可得到点的坐标 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 48．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为边在第一象限内作正方形．若点为轴上一动点，求当的长最小时点的坐标． 【答案】 【分析】先求直线与坐标轴交点坐标，作垂线构造直角三角形，利用正方形性质证全等，求出D、C．作D关于x轴对称点，连接，求直线解析式，令，算出值，即得点坐标． 【详解】解： 直线 交轴于点，交轴于点 当时，， ∴ 当时，， 解得， ∴ 过点作轴于点，过点作轴于点． 四边形是正方形 ， 又 在和中 ， 同理可证 ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为所求点． 设直线解析式为， 把，代入得： 解得 直线解析式为 令，则， 解得 ． 易错必刷题型17.正方形与中位线综合 题型特征：正方形内取中点连线，运用中位线定理解题 易错点：①误判中位线适用条件 ②记错中位线长度比例关系 49．如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，连接，由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，证明为的中位线，得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．正方形，正方形如图放置，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，    ∵四边形、是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即Q是的中点， 又∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴的最大值为． 51．如图，在正方形中，，为边上的两个点，点为线段的中点，点关于的对称点为，的延长线交于点．设． (1)若，求的度数； (2)请用表示，并说明理由； (3)若，请探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质得到垂直平分，结合中点条件推出，进而得到，再利用直角三角形两锐角互余求出的度数． （2）连接，由轴对称和正方形的性质证得，得到等腰，再通过角度关系推导与的关系． （3）令交于点，取的中点，的中点，连接，，，过点作，垂足为，利用中点性质、垂线段最短证明，再证和，结合线段等量关系推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：令交于O， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分． ∴，． ∵为的中点， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵点关于的对称点为， ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 由（1）得， ∴， ∵, ∴， 由轴对称性质得， ∴． ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 令交于点，取的中点，的中点，连接，，，过点作，垂足为． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点与点重合． ∵， ∴． ∴, ∵, ∴即， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵，，． ∴． ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵，，， ∵， ∴． ∵， ∵，． ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.证明四边形是正方形 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.由正方形的性质求角度 题型04.由正方形的性质求线段长 题型05.由正方形的性质求面积 题型06.正方形折叠问题 题型07.求正方形重叠部分面积 题型08.由正方形性质证明 题型09.由正方形性质与判定求角度 题型10.由正方形性质与判定求线段长 题型11.由正方形性质与判定求面积 题型12.由正方形性质与判定证明 题型13.正方形与动点问题 题型14.正方形与最值问题 题型15.正方形与旋转综合 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形与中位线综合 易错必刷题型01.证明四边形是正方形 题型特征：结合平行四边形、矩形、菱形条件，完整推导证明正方形，解答题高频考点 易错点：①证明顺序混乱，未先证基础图形直接判定正方形 ②遗漏邻边相等或直角核心条件 1．下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 3．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 易错必刷题型02.添条件使四边形是正方形 题型特征：已知平行四边形、矩形、菱形，补充单一条件判定正方形，选择填空题常考 易错点：①添加重复无效条件 ②混淆不同图形对应的判定条件 4．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 6．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到________时，四边形是矩形． (3)进行怎样的变化才能使边上存在点O，使矩形是正方形？为什么？ 易错必刷题型03.由正方形的性质求角度 题型特征：利用正方形边角、对角线平分角特性，计算相关角度数值 易错点：①忽略对角线平分内角为45° ②角度推导逻辑不清，计算出错 7．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 9．如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 易错必刷题型04.由正方形的性质求线段长 题型特征：依据边长、对角线、线段等量关系，求解线段长度 易错点：①记错边长与对角线数量关系 ②误判图形中等量线段 10．如图，已知正方形的边长为2，对角线与相交于点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 11．如图，E、F为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 12．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 易错必刷题型05.由正方形的性质求面积 题型特征：运用边长、对角线两种公式，计算正方形整体或局部面积 易错点：①混用面积计算公式 ②分割图形后面积拆分计算失误 13．如图1，将正方形 沿线段剪开，再把得到的四个四边形按如图所示的方式拼接成一个四边形．若图中正方形的边长为，，则图中正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 14．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 15．如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为． (1)当时，______； (2)当点在边上运动时，______； (3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型06.正方形折叠问题 题型特征：以正方形为载体沿直线折叠，求解角度、线段、面积相关问题 易错点：①无法找准折叠前后相等边角 ②不会结合勾股定理列式计算 16．如图，已知正方形的边长为2，将正方形沿直线＋折叠，则图形中阴影部分的周长为（　　）    A．8 B．4 C．8 D．6 17．如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，是边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰落在边上，连接交折痕于点H，若，则的值为______． 18．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 易错必刷题型07.求正方形重叠部分面积 题型特征：两个正方形交错重叠，求解重叠区域面积大小 易错点：①不会利用全等转化面积 ②误用整体减空白的计算思路 19．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 20．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 21．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 易错必刷题型08.由正方形性质证明 题型特征：直接运用正方形基础性质，证明线段相等、角度相等 易错点：①性质套用生硬，缺少推理步骤 ②错用菱形、矩形性质替代正方形性质 22．如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为(    ) A． B．° C．° D． 23．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    24．如图，在正方形中，点G，E 分别在上，，相交于点F． (1)求证：； (2)当点E是的中点时，求证：． 易错必刷题型09.由正方形性质与判定求角度 题型特征：先判定正方形，再结合性质推导计算角度 易错点：①判定步骤缺失直接用性质 ②复杂图形中角度关系梳理混乱 25．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 26．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 27．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 易错必刷题型10.由正方形性质与判定求线段长 题型特征：先判定正方形，再求解各类线段长度 易错点：①判定依据不充分 ②线段之间等量关系判断错误 28．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，是等腰直角三角形，，是的中点，连接并延长至，使得，连接和．以点为圆心，的长为半径画弧交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，连接若，_________． 30．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 易错必刷题型11.由正方形性质与判定求面积 题型特征：判定图形为正方形后，计算整体或局部面积 易错点：①判定失误导致公式用错 ②不规则面积拆分方法错误 31．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    32．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 易错必刷题型12.由正方形性质与判定证明 题型特征：综合判定与性质，完成几何证明类题型 易错点：①判定与性质衔接逻辑断裂 ②全等证明条件搜集不全 34．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 35．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 36．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 易错必刷题型13.正方形与动点问题 题型特征：正方形边上存在运动点，探究线段、角度、图形变化 易错点：①未分类讨论动点位置 ②忽略运动范围限制条件 37．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有___． 38．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ）． A． B． C． D． 39．在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图①，正方形中，E是上一动点，过点E作，交正方形的外角的平分线于点F．求证：，小明的证明思路如下： 如图，在上截取，连接． 则易得，，________， ∴，∴． (1)补全小明的证明思路，横线处应填________； (2)如图②，过点F作，交的延长线于点G，以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求线段的长． 易错必刷题型14.正方形与最值问题 题型特征：依托正方形结构，求解线段最短、长度最值类题型 易错点：①不会运用将军饮马模型 ②找不准最值对应临界位置 40．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 41．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 42．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 易错必刷题型15.正方形与旋转综合 题型特征：正方形绕顶点旋转，结合全等求解边角与面积 易错点：①分不清旋转对应边角 ②不会利用90°旋转特殊性质 43．如图，为正方形的对角线，将绕点C旋转，与的延长线交于点E，连接，则______． 44．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 45．如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 易错必刷题型16.正方形与坐标系综合 题型特征：平面直角坐标系内给出正方形，求坐标、边长、面积 易错点：①坐标正负符号判断错误 ②边长与横纵坐标距离混淆 46．如图，正方形，点的坐标为，则点的坐标为_____． 47．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 48．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为边在第一象限内作正方形．若点为轴上一动点，求当的长最小时点的坐标． 易错必刷题型17.正方形与中位线综合 题型特征：正方形内取中点连线，运用中位线定理解题 易错点：①误判中位线适用条件 ②记错中位线长度比例关系 49．如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 50．正方形，正方形如图放置，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 51．如图，在正方形中，，为边上的两个点，点为线段的中点，点关于的对称点为，的延长线交于点．设． (1)若，求的度数； (2)请用表示，并说明理由； (3)若，请探究与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $