专题01 矩形的性质和判定（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

**基本信息** 该专项通过八大题型系统覆盖矩形性质与判定，从基础计算到动态综合，强化几何直观与推理能力，构建完整知识应用逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求角度|5题|结合对角线性质与折叠、作图|矩形内角性质→对角线相等且平分→角度转化推理| |性质求线段长|5题|含中点、垂直平分线及动点|矩形对边相等→勾股定理→方程思想解决线段关系| |性质求面积|5题|涉及中点、折叠及比例计算|面积公式→转化思想（阴影面积=整体-部分）| |折叠问题|5题|图形翻折后对应关系分析|折叠性质→全等转化→方程求解未知量| |判定条件|4题|补充条件使平行四边形为矩形|平行四边形判定→矩形特殊条件（直角/对角线相等）| |性质与判定综合|5题|证明与计算结合|性质应用→判定定理→逻辑推理链条构建| |最小值问题|5题|动点背景下线段和/差最值|轴对称性质→垂线段最短→几何模型应用| |动点问题|4题|多动点运动状态分析|运动过程→等量关系→方程求解时间参数|

专题01 矩形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................2 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................4 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................5 【题型5 添一条件使四边形是矩形】...................................................................................6 【题型6 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................7 【题型7 矩形中最小值问题】..............................................................................................8 【题型8 矩形中动点问题】..................................................................................................10 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 8．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 13．已知：如图，在矩形中，E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 14．在矩形中，对角线、交于点，，垂足为，，且，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 15．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【题型4 矩形与折叠问题】 16．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 18．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 19．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则长为（   ） A． B．4 C．2 D．8 20．将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 21．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 23．在中，对角线相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 24．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【题型6 矩形的性质与判定综合】 25．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 26．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 27．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 28．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的平分线，当，时，求的面积． 29．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【题型7 矩形中最小值问题】 30．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 31．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 32．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 33．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 34．如图，矩形的对角线，点是对角线上一动点，则的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【题型8 矩形中动点问题】 35．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 36．如图，在矩形中，，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形为矩形时，t的值为________． 37．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 38．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为矩形？ ③若为何值时，？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为何值时， 三角形为直角三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 矩形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................4 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................8 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................12 【题型5 添一条件使四边形是矩形】...................................................................................17 【题型6 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................19 【题型7 矩形中最小值问题】..............................................................................................25 【题型8 矩形中动点问题】..................................................................................................30 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由已知结合三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形内角和定理的应用，先块含角的直角三角板，求出，，先求出，再求出，最后求出． 【详解】解：∵一块含角的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，结合可判定为等边三角形，从而求出的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ 在中， 7．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 8．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，利用平行线+中点模型构造全等三角形，可得，从而可得，，再利用勾股定理在求出即可解题． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 9．如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题． 【详解】解： 垂直平分， ， 设， 在矩形中，，， ， ， 解得：， ． 10．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形空地的长为，宽为 ，根据面积求出的值；根据四角正方形面积求出其边长；最后利用矩形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：设矩形空地的长为，宽为 ， 矩形空地面积为， ， 解得：或（舍去）， 矩形空地的长为，宽为， 四角正方形面积均为 ， 正方形边长为， 由图可知，阴影部分为矩形，其长为、宽为， 阴影部分面积为． 12．如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过矩形性质以及已知条件判断四边形为矩形．利用得到，进而求出面积，通过面积求出线段长度. 【详解】解：连接，如图． ，四边形为矩形， ，， 四边形为矩形． ， ． ， ，， ，，即，8， 解得，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握矩形的判定以及利用面积关系得到线段长度的． 13．已知：如图，在矩形中，E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质．由题意可得四个小直角三角形的面积相等，阴影部分的面积即为矩形面积减去四个小直角三角形的面积． 【详解】解： ，， ， 由于E、F、G、H分别为边、、、的中点， ， ， ． 故选：C． 14．在矩形中，对角线、交于点，，垂足为，，且，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形的性质以及，结合勾股定理列方程求出长，再利用矩形对角线的性质求出面积． 【详解】解：设 ∵ ∴ ∴ 在矩形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质以及勾股定理，利用矩形的性质以及勾股定理列方程是解决本题的关键． 15．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠AFE=∠FEC 由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE ∴∠AFE=∠AEF ∴AE=AF 设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm 在Rt△ABE中，由勾股定理得： 解得： ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求得AE的长是解题的关键． 【题型4 矩形与折叠问题】 16．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 17．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 18．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 【答案】D 【分析】设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积即可求解． 【详解】解：设，则， 将矩形沿折叠， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 解得，，即， ． 19．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则长为（   ） A． B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】由折叠可得到，得出，在中依据勾股定理进行计算，即可求出长，即得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为， ∴，， 将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为， ，， ，， ， 在和中， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得 ， 即在矩形中，． 20．将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 21．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 22．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角线互相平分的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 若添加条件， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 对于A，可判定四边形为菱形； 对于B，可判定四边形为菱形； 对于C，是平行四边形固有的性质，无法判定为矩形． 23．在中，对角线相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，为矩形， 此时的长度为3． 故选：B． 24．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 【题型6 矩形的性质与判定综合】 25．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】过点作于点E，先证明四边形是矩形，再由等腰三角形三线合一求解即可； （2）根据梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：过点作于点E，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积． 26．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 27．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 28．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的平分线，当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）先由勾股定理求出的长度，即为该三角形的高，再结合角平分线与平行的性质得到，由等角对等边即可求解的长度，由此可解的长度，即为该三角形的底，由此求解三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，且， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵是的平分线， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明： ， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 【题型7 矩形中最小值问题】 30．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 31．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 32．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】连接，证明，延长到点，使得，连接交于点F，连接，结合垂直平分线的性质，推出，进而得出，则当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 延长到点，使得，连接交于点F，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵， ∴． 33．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．连接，可知当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求． 【详解】解：如图，连接，可知当点落在上时，取得最小值． 根据折叠的性质， ， ， 是边的中点，， ， ∴ ，， ， ． 的最小值是， 故选：C． 34．如图，矩形的对角线，点是对角线上一动点，则的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段最短问题以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决本题的关键．连接交于点O，当点P与点O重合时，的值最小，且等于，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点O， 四边形是矩形， ， 点是对角线上一动点， ∴ 当点P与点O重合时，的值最小，且等于， 的最小值是10， 故选：C 【题型8 矩形中动点问题】 35．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据速度时间路程，得到线段长，结合等腰三角形三线合一构造辅助线，计算出、的长，根据矩形的判定和性质得到线段，根据等量关系列方程求解． 【详解】解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查矩形性质和判定、等腰三角形三线合一、动点问题中速度、时间和路程的关系，解决本题的关键是利用速度×时间=路程来表示线段长，根据线段相等建立等量关系，列方程求解． 36．如图，在矩形中，，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形为矩形时，t的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的判定和动点问题，解题关键是利用运动速度和时间表示出线段长，根据矩形的判定列出方程即可求解． 【详解】解：当时，四边形为平行四边形， 因为， 所以四边形为矩形， 点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．设运动时间为t秒， 则，， ， 解得，， 故答案为：2． 37．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 【答案】时，四边形是矩形 【分析】首先表示出，，然后根据矩形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得：． 即当时，四边形是矩形． 38．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为矩形？ ③若为何值时，？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为何值时， 三角形为直角三角形？ 【答案】(1)①，；②；③秒或秒 (2)当为或时，三角形为直角三角形 【分析】此题考查了矩形的性质和判定、勾股定理及其逆定理、一元一次方程等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）①根据点的运动速度和时间即可得到答案；②根据矩形性质进行解答即可；③按照t的取值范围分情况进行解答即可； （2）分情况利用勾股定理及其逆定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得，， ∵，则， 故答案为：，． ②∵，， ∴， 如图： 当四边形为矩形， 此时，即，解得：， 故当秒时，四边形为矩形 ③如图： ∵C、 D两点其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动 ∴ 当时，即在点P的右边时，要使，则四边形为平行四边形， 此时，即， 解得：， 故当秒时，四边形为平行四边形，即． 当时,当在点P的左边时，过点B作于点E， ∵, ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴,解得， 综上所述：当秒或时，． （2）解：∵点先运动秒后停止运动，此时点从点出发， 即当时，，点与点重合，此时； 当时， 如图： ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴， ∴， 即，解得：； 当时， 如图：过点作交于， ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴，， 故， 在中，， 在中，， 在中，，即， 解得：； 综上所述：当为或时，三角形为直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $