第5章 特殊平行四边形能力提升自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，融合折叠、旋转等动态问题，通过矩形台球反弹（第4题）、正方形旋转最值（第10题）等设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|矩形对角线性质（第1题）、菱形判定（第6题）|基础概念辨析与简单应用| |填空题|4/12|正方形中点计算（第11题）、矩形动点垂线和（第13题）|几何计算与空间观念| |解答题|7/58|折叠证明等边三角形（17题）、旋转探究四边形形状（18题）|动态几何与逻辑推理，结合实践操作（20题）|

第5章 特殊平行四边形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出边长． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形对角线互相垂直平分，可得两条对角线一半的长度分别为和， 边长为直角三角形的斜边，由勾股定理得边长为． 3．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 4．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 6．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 7．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】设矩形中，，，，分别为，，，各边中点，连接，，由三角形中位线定理可得，，，，由矩形对角线相等得，即可得，由四条边都相等的四边形可得四边形是菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，设矩形中，，，，分别为，，，各边中点，连接，， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形． 8．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 9．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，则有，由题意得：，由折叠的性质可知：，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则有，由题意得：， 由折叠的性质可知：， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴正方形的边长为． 10．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点P，证明得，，进而得，再求出，在中，由勾股定理得，然后证明是的中位线，再根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，并延长交于点P，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 13．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 14．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据正方形的面积求出边长，，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长． 【详解】解：∵为正方形， ， ∴， ∵为正方形，， ∴，， ∴中，， ∵为正方形， ∴． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 16．（8分）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 根据正方形的性质得到，，进而易得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 17．（8分）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． (1)求证：是等边三角形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据折叠的性质，得出垂直平分，再根据垂直平分得到，再根据折叠的性质，，，从而可得，于是可得出是等边三角形； （2）先根据等边三角形的性质得到，，从而可得，再根据矩形，结合折叠的性质，得到，从而可得，再利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵长方形纸片沿对折， 垂直平分， ． 沿折叠， ，，， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ． ∵四边形是矩形， ， 由折叠知， ， 由勾股定理得， ， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形与折叠问题，等边三角形的性质，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 18．（8分）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）先证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）过点D作于H，结合正方形性质证明 ，得出，根据即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴ （）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ． 20．（8分）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解； ②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； ②由折叠可得：，，，， ∴， 又， 菱形边长， ∴， 设边上的高为， 则有， ∴， ∴菱形的边上的高为； （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； （4）证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又 平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 4．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 7．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 10．如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 12．如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 13．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 14．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 16．（8分）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接，．求证：． 17．（8分）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． (1)求证：是等边三角形； (2)求的长． 18．（8分）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 19．（8分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 20．（8分）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $