专题5.4 特殊平行四边形易错必刷题型专训（40题10个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形10个易错考点，以40道分层题型构建从性质理解到综合应用的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质及证明|4题|选择+填空+解答|矩形定义→性质（对角线、直角）→判定推理| |折叠问题|4题|选择+探究题|对称性→性质应用→方程思想| |添加条件判定|4题|选择+开放题|平行四边形→特殊四边形的条件递进| |综合问题|4题|动态+新定义|性质综合→跨模块知识整合|

专题5.4 特殊平行四边形易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 矩形性质理解及矩形的证明】 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 2．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 【答案】矩形 【分析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论． 【详解】解：平分， ， 同理，， ， ， 同理， ， ， ， ， 四边形是矩形． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）为了更好的培养学生的数学核心素养，47中张老师在数学小组中提出了这样的问题：两个全等的直角三角形纸片，如图1，分别表示为和，把这两个纸片进行适当的拼接，也可以在拼接后添加上一些恰当的线，能够得到哪些结论． (1)很多同学马上就想到将它们的斜边重合，让点A与点F重合，记作点A，点B与点D重合，记作点B，如图2，求证：四边形为矩形； (2)丽丽老师引导第27组同学进行了如图3的拼接，让点B与点F重合，记作点B，并提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； (3)玥玥老师引导第39组同学进行了如图4的拼接，让点B与点F重合，记作点B，并提出问题：如图4，当时，若，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，，即可求证； （2）证明，可得，根据题意得：，可得，即可求证； （3）过点E作于点H，交于点G，则，可得四边形为矩形，从而得到，，根据题意得：，可得，，再由勾股定理可得，再由，可得，从而得到，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：，， ∴，， ∴，即， ∴四边形为矩形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点H，交于点G，则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据题意得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷二 折叠问题】 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 2．（25-26八年级下·广西来宾·期中）如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 3．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)折痕的长为； (2)；关于的函数关系式为． 【分析】（）当点与点重合，此时与重合，连接，，由四边形是矩形，则，，，通过折叠性质可得，，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）如图，过作于点，作于点，连接，则，证明四边形是正方形，则，证明，所以，可证是等腰直角三角形，通过勾股定理得，然后求出，，从而可得； 如图，过作于点，作于点，连接，则，由折叠性质可知，同得是等腰直角三角形，，由四边形是正方形，得，通过勾股定理得，，所以，通过勾股定理可得，则，从而得，故关于的函数关系式为． 【详解】（1）解：当点与点重合，此时与重合， 如图，连接，，     ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （2）解：如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点为的中点时， ∴， ∴， ∴； 如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， 同得是等腰直角三角形，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为． 【易错必刷三 添一个条件是四边形是矩形、菱形、正方形】 1．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 3．（2025·八年级下 四川乐山）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 4．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【答案】（1）OE=OF，证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）点O运动到AC的中点，理由见解析；（4）∠ACB为直角，理由见解析 【分析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO． （2）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直． （3）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形． （4）由已知和（3）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形． 【详解】解：（1）OE=OF， 理由：∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）不可能． 如图所示，连接BF， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC， 但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形． （3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形； （4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB=90°， 则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（3）（4）的条件． 【易错必刷四 根据矩形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．（2023·八年级下 全国）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的动点，且满足．连接，过点A作的垂线，垂足为，交于点，若．    (1)写出(用表示)； (2)求证：； (3)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）利用“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和”求解即可； （2）过点E作交于N，连接，，与交于点O，通过等量代换得到，结合，得到四边形是矩形，从而推出，，，继而推出，，最后结合得证； （3）利用证明从而知道，，再证明是等腰直角三角形，，由此推出． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； （2）如图，过点E作交于N，连接，，与交于点O，    ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ （3），理由如下： ∵，， ∴ ∴，   ∴，即 又∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确作出合适的辅助线是解题的关键． 【易错必刷五 证明四边形是菱形】 1．（2026·八年级下 河南周口）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，亮亮同学把宽度相同的两把直尺（对边平行）交叉叠放在一起，重合的部分是四边形．转动其中一把直尺．下面说法错误的是（   ） A．在转动的过程中，四边形始终是菱形 B．在转动的过程中，四边形的面积不变 C．当转动至时，四边形的周长最小 D．在转动的过程中，四边形是轴对称图形 【答案】B 【分析】设直尺宽度为，由直尺两边互相平行，得到四边形是平行四边形，再根据得到，平行四边形是菱形，据此逐个判断即可． 【详解】解：设直尺宽度为， ∵直尺两边互相平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故A选项结论正确，不符合题意； 当转动至时，根据垂线段最短可得菱形边长最小值为，此时四边形的周长最小，故C选项结论正确，不符合题意； ∵菱形是轴对称图形， ∴D选项结论正确，不符合题意； 在转动的过程中，四边形的面积，长度会发生变化，则面积不是固定不变，故B选项结论错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，的平分线交于点，的平分线与的延长线交于点，与交于点，与交于点，且点为边的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）根据菱形的性质及勾股定理可得，再由全等三角形的判定与性质及勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ，， ∵为边的中点， ， 在中，， 在中， ， ∴， ∴， 在中，． 【易错必刷六 根据菱形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 【答案】216 【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，结合已知边长，利用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直，得出该平行四边形为菱形，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：平行四边形如图所示， 设，对角线，，两条对角线交于点 平行四边形的对角线互相平分， ，， ，， ， 由勾股定理的逆定理可得，，即， 平行四边形是菱形， 则菱形的面积． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【易错必刷七 证明四边形是正方形】 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）四个全等的直角三角形无缝拼接，不一定能拼成的图形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】结合四边形的判定，分析不同拼接情况即可得到结果． 【详解】解：A.如图所示， 一定可以拼成平行四边形； B. 如图所示， 一定可以拼成菱形； C. 如图所示， 一定可以拼成矩形； D.不一定能拼成正方形． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为___________． 【答案】4 【分析】过点作轴于，轴于，先判断出四边形为正方形，得出，，进而判断出，得出，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 4．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对称四边形”． (1)在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是___________；（写出一种即可） (2)如图，正方形中，对角线，交于点，为上一点，于点，交于点、点． ①证明：； ②当时，连接，判断四边形是“对称四边形”吗？并说明理由． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)①见解析；②四边形是“对称四边形”，理由见解析 【分析】（1）根据“对称四边形”的定义，结合正方形、平行四边形等性质可得答案； （2）①证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； ②连接，利用勾股定理计算可得，再根据等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，则，，进而证明可得结论． 【详解】（1）解：根据“对称四边形”的定义，在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是正方形、平行四边形、矩形、菱形等； （2）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②四边形是“对称四边形”． 理由：连接，如图， ∵，，， ∴，，即， ∵， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，，又， ∴， ∴四边形是“对称四边形”． 【易错必刷八 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在正方形中，连接，，平分交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，连接，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在腰长为8的等腰直角，且，是的中点，是边上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段长度的最小值为_____． 【答案】8 【分析】连接，证明，可得，故在过且垂直于的直线上运动，从而知当时，最小，再求出此时的长度即可． 【详解】解：连接，如图： ，，是的中点， ，，， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 在过且垂直于的直线上运动， 当时，最小，此时，重合，如图： ，， 四边形是正方形， ， 长度的最小值为8； 故答案为：8． 【点睛】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明在过且垂直于的直线上运动． 4．（23-24八年级下·四川泸州·月考）如图：在中，，，是斜边的中点，点、分别是边、上两个动点，且． (1)当、分别在、边上移动时，并保持，、是否相等？请证明你的结论． (2)当、分别在、上移动时，并保持，会随着变化吗？请证明你的结论． (3)时，求的长． 【答案】(1)相等 (2)不会 (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得是的平分线，作，，垂足分别为点、，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明四边形是正方形，然后根据等角的余角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得； （2）根据全等三角形的面积相等可得和的面积相等，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，是定值不变； （3）根据四边形的面积求出的长，再根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可得解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 连接，如图所示： ，是的中点， 是的平分线， 作，，垂足分别为点、，如图所示： 则，（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：不会变化． 证明如下： 根据（1）可得，则，即， 点是斜边边的中点， （不变）， 正方形的面积不变， 不会变化； （3）解：， （正方形的面积等于对角线乘积的一半），解得， （等腰直角三角形斜边等于直角边的倍）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，正方形的面积的求解，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【易错必刷九 利用平行四边形的对称性求阴影面积】 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C 【点睛】本题考查了平移的性质及四边形的周长、面积公式，正确掌握上述知识点是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 3．（23-24·八年级下 浙江温州）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 【答案】/ 【分析】如图，采用局部求解的方法，先求出正八边形的内角，再结合菱形的性质证明，进而证明，依次推出，，结合为正方形，可得，设，则，，由此可解． 【详解】解：如图， 正八边形的每个内角的度数为：， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， 由对称性易知四边形为正方形， ， 设，则，， ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【易错必刷十 四边形其他综合问题】 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形ABCD中，若，且对角线BD是的角平分线，则这个四边形ABCD就叫做“翼四边形”． (1)）如图1，已知四边形ABCD的对角线BD既是的角平分线，又是的角平分线，判断四边形ABCD是不是“翼四边形”吗？说明理由； (2)如图2，已知四边形ABCD中，，，．求证：四边形ABCD是“翼四边形”； (3)如图3，已知四边形ABCD是“翼四边形”，，，对角线BD是的角平分线，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质得，即可判断四边形是“翼四边形”； （2）过点作于，作交的延长线于，则四边形是矩形，证明，再根据全等三角形的性质得，可得矩形是正方形，根据正方形的性质可得是的角平分线，由，即可得四边形是“翼四边形”； （3）过点作交的延长线于，作于，证明，根据全等三角形的性质得，即可得． 【详解】（1）解：四边形是“翼四边形”，理由如下： 既是的角平分线，又是的角平分线， ，， ， ， ， 对角线是的角平分线， 四边形是“翼四边形”； （2）证明：过点作于，作交的延长线于， ． 四边形是矩形， ， ． ， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形， 是的角平分线， ， 四边形是“翼四边形”； （3）解：．理由如下： 过点作交的延长线于，作于， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形来解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 特殊平行四边形易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 矩形性质理解及矩形的证明】 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）为了更好的培养学生的数学核心素养，47中张老师在数学小组中提出了这样的问题：两个全等的直角三角形纸片，如图1，分别表示为和，把这两个纸片进行适当的拼接，也可以在拼接后添加上一些恰当的线，能够得到哪些结论． (1)很多同学马上就想到将它们的斜边重合，让点A与点F重合，记作点A，点B与点D重合，记作点B，如图2，求证：四边形为矩形； (2)丽丽老师引导第27组同学进行了如图3的拼接，让点B与点F重合，记作点B，并提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； (3)玥玥老师引导第39组同学进行了如图4的拼接，让点B与点F重合，记作点B，并提出问题：如图4，当时，若，连接，求的长． 【易错必刷二 折叠问题】 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西来宾·期中）如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【易错必刷三 添一个条件是四边形是矩形、菱形、正方形】 1．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 3．（2025·八年级下 四川乐山）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 4．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由； （3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【易错必刷四 根据矩形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 4．（2023·八年级下 全国）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的动点，且满足．连接，过点A作的垂线，垂足为，交于点，若．    (1)写出(用表示)； (2)求证：； (3)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【易错必刷五 证明四边形是菱形】 1．（2026·八年级下 河南周口）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，亮亮同学把宽度相同的两把直尺（对边平行）交叉叠放在一起，重合的部分是四边形．转动其中一把直尺．下面说法错误的是（   ） A．在转动的过程中，四边形始终是菱形 B．在转动的过程中，四边形的面积不变 C．当转动至时，四边形的周长最小 D．在转动的过程中，四边形是轴对称图形 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，的平分线交于点，的平分线与的延长线交于点，与交于点，与交于点，且点为边的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则的长为______． 【易错必刷六 根据菱形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【易错必刷七 证明四边形是正方形】 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）四个全等的直角三角形无缝拼接，不一定能拼成的图形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为___________． 4．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对称四边形”． (1)在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是___________；（写出一种即可） (2)如图，正方形中，对角线，交于点，为上一点，于点，交于点、点． ①证明：； ②当时，连接，判断四边形是“对称四边形”吗？并说明理由． 【易错必刷八 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在正方形中，连接，，平分交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在腰长为8的等腰直角，且，是的中点，是边上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段长度的最小值为_____． 4．（23-24八年级下·四川泸州·月考）如图：在中，，，是斜边的中点，点、分别是边、上两个动点，且． (1)当、分别在、边上移动时，并保持，、是否相等？请证明你的结论． (2)当、分别在、上移动时，并保持，会随着变化吗？请证明你的结论． (3)时，求的长． 【易错必刷九 利用平行四边形的对称性求阴影面积】 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 2．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·八年级下 浙江温州）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【易错必刷十 四边形其他综合问题】 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形ABCD中，若，且对角线BD是的角平分线，则这个四边形ABCD就叫做“翼四边形”． (1)）如图1，已知四边形ABCD的对角线BD既是的角平分线，又是的角平分线，判断四边形ABCD是不是“翼四边形”吗？说明理由； (2)如图2，已知四边形ABCD中，，，．求证：四边形ABCD是“翼四边形”； (3)如图3，已知四边形ABCD是“翼四边形”，，，对角线BD是的角平分线，判断与的数量关系，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $