精品解析：辽西重点高中2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二期中考试 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】甲、乙各有4种报名选择，根据分步计数原理，总方法数为两者选择数的乘积。 【详解】甲有4种报名选择，乙也有4种报名选择，根据分步计数原理(乘法原理)，总方法数为种. 故选：D. 2. 若展开式中的常数项为90，则常数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，所以. 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 5. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 6. 已知数列是等差数列，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】应用等差数列下标和性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】数列是等差数列，且，， 所以， 则. 7. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】分别假设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为，根据题意列出，，，，求解. 【详解】设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为， 由题意可得，，，， 从而　①， 　②， ③， 由①②③可解得，，所以. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分别令、、代入原式求出​、所有系数和、奇次项系数和，再对原式两边求导后令得到，逐一验证各选项. 【详解】对于A： 令 ，代入原式左边得：，因此 ，A错误； 对于B： 令 ，代入原式左边得：， 因此 ，B正确； 对于C： 设 ​，​， 由得： （1）；  令 ，代入左边得：，即： （2）； （1）（2）得 ，即 ，C正确； 对于D： 对原式两边关于求导， 左边导数为： ， 右边导数为：， 令 ，代入左边导数得： ，  即 ，D正确. 10. 已知，下列说法不正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；令即可求出函数的单调增区间，即可判断B；求出函数的减区间，再根据极大值的定义即可判断C；作出函数的大致图象，结合函数图象即可判断D. 【详解】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 11. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于B，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于D，结合AB得到，，进而求解判断即可；对于C，利用分组求和求解判断即可.. 【详解】对于A，由， 则， 因为，所以，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 对于B，由， 则， 又，，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于D，由A知，，由B知，， 联立，则，故D错误； 对于C， ，故C正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一步转移建立递推方程，再研究相邻两项差，将问题转化为等比数列求和，最后代入所求式子化简即可. 【详解】当时，由一步转移得，整理得. 设，则，所以. 又，所以，即，得. 于是，且. 又，所以. 13. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 【答案】1590 【解析】 【分析】首先明确n个月后的本息和组成一个等比数列，进而可得其通项公式，减去本金即可得答案. 【详解】因为每个月以月收益率的复利计算收益， 所以n个月后的本息和组成一个等比数列，公比为， 所以的通项公式为. 所以10个月后能获得的收益为 元. 14. 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项的二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 【答案】（1）28 （2）16 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式可求第3项的二项式系数； （2）由展开式的通项公式可求第8项的系数. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的二项式系数为． 【小问2详解】 二项展开式第8项为， 故二项展开式第8项的系数为16． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数即可求出切线方程； （2）根据导数分类讨论的取值范围，得到函数的单调性即可求解；或者分离参数，利用函数的单调性得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，得， ，则 ， 所以切线方程为：，即 ； 【小问2详解】 解法一：， 当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增， 成立，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，所以 成立，符合题意； 当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在区间上有 ，不符合题意， 综上所述，的取值范围是． 解法二：当时，恒成立，等价于“当时， 恒成立”， 即在上恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以恒成立， 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以，所以， 综上所述，的取值范围是. 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 【答案】（1），亿元 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先计算样本中心点，再用公式求出回归系数、截距，得到线性回归方程后代入预测票房； （2）先算出同时看过两部电影的人数，确定的所有可能取值，再用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列后按定义求数学期望. 【小问1详解】 因为，， ， 所以， ， 所以线性回归方程为. 当时，亿元，因此预测第七日的票房收入为1.6亿元. 【小问2详解】 由题意可知，6人中同时看过两部电影的只有 人， 所以的可能取值为，，，则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 18. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）是定值，定值为3. 【解析】 【分析】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或，即每轮的奇偶性改变一次，实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始，设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，，则或，从而得到 或，得到证明. （2）列出或，解得的值，求出． （3）列出方程组，通过计算得到，由得到，从而得到，从而得到结论. 【小问1详解】 初始诱变强度等级，每轮筛选变化或， 即每轮的奇偶性改变一次， 实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始， 设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． 【小问2详解】 由或，解得或， 所以 ． 【小问3详解】 当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． （1）求，的值． （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】（1）， （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，，利用给定的定义即可求出，； （2）①按，分段讨论的取值，即可求出；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证． 【小问1详解】 由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以． 【小问2详解】 ①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而， 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以． ②由，得，则为递增数列，且， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二期中考试 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 2. 若展开式中的常数项为90，则常数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 5. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 6. 已知数列是等差数列，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（ ） A. 56 B. 65 C. 72 D. 84 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列说法不正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 13. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 14. 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项的二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 1 2 3 4 5 6 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过．现从这6人中随机抽取3人，记为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，公式： 18. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． （1）求，的值． （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $