精品解析：大连市王府高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

大连王府高级中学2024-2025学年下学期 第二学段考试高二数学试题 命题人：薛春才 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式可得周期，据此可得答案. 【详解】由递推公式可得：，，，则周期为3，因，则. 故选：C 3. 下列说法中，正确的个数是（ ） （1）两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1 （2）两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 （3）从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的概念，可知（1）正确；观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以（2）正确；根据独立性检验的解释，可得（3）正确. 【详解】对于（1），根据相关系数的概念，可知两个随机变量的线性相关程度越强， 相关系数的绝对值越接近于1，故（1）正确； 对于（2），两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以（2）正确； 对于（3），从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关， 是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以（3）正确. 故选：D. 4. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 5. 在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在1次试验中发生的概率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率公式求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 即事件在1次试验中发生的概率的取值范围是. 故选：D 6. 设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答. 【详解】依题意，令函数，则， 因，于是得时，时， 从而有在上单调递减，在上单调递增， 因此得：，而，即f(x)不恒为0， 所以恒成立. 故选：A 【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键. 7. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是 A. B. C. 1024是三角形数 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵，，，…，由此可归纳得，故A正确； 将前面的所有项累加可得，∴，故B正确； 令，此方程没有正整数解，故C错误； ，故D正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8. 已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，分、、、四种情况说明函数的单调性，结合函数的单调性，求出在上的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或，令，解得 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果. 【详解】对于，的导数为，故选项正确； 对于，的导数为，故选项错误； 对于，的导数为，故选项错误； 对于，的导数为，故选项正确， 故选：AD. 10. 在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. （m，） B. C. 是等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列通项性质判断A，根据等比数列求和化简判断B，根据对数运算及等差数列定义判断C，根据等比数列求和判断D. 【详解】，，两式相除可得，故A正确； 因为，由等比数列求和公式，可得，故B正确； 因为（常数），所以是等差数列，故C不正确； 对于D，，，…，，可看作是以为首项，（）为公比的等比数列， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，A，B相互独立，则 C. 若，，则的最小值可能为0.38 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系结合条件概率公式即可判断AD；根据独立事件的性质即可判断B；根据事件的和与积求解，即可判断C. 【详解】对于A，由，得，而，则，A正确； 对于B，若，，A，B相互独立，则，则，B正确； 对于C，由，得， 则的最小值不可能为0.38，C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于80分的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布曲线对称性可得答案. 【详解】因，则， 又，则. 则. 故答案为： 13. 若函数的导数为，且则_______________ 【答案】12 【解析】 【分析】求出导函数，令可求得． 【详解】由题意，∴，∴． 故答案为：－12． 【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数运算法则是解题关键． 14. 若数列满足，则称数列为项数列.若是15项数列，当且仅当时，，则数列的所有项的和为________. 【答案】0 【解析】 【分析】首先根据已知数列新定义得到，，再求数列的所有项的和即可. 【详解】因为是15项数列，当且仅当时，， 所以，， 令的所有项和为， 则 . 故答案为：0 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出，再利用求出； （2）采用裂项相消即可求和. 【小问1详解】 因，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 又满足上式，故， 则数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， 则 16. （1）求函数的值域； （2）求函数在点处的切线方程； （3）求函数的增区间. 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的值域； （2）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （3）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以函数的值域为， （2）因为，则，又， 所以，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （3）函数的定义域为，又， 令，即，即，解得，， 所以函数的单调递增区间为，（或，）. 17. 恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民家庭中年人均食物支出占年人均消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困．某调研小组通过调查得到了年人均消费总支出（万元）与恩格尔系数的五组数据如下表： 1 1.5 2 2.5 3 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 （1）请根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）若某居民家庭年人均消费总支出为2.6万元，估计该居民家庭恩格尔系数． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）0.304 【解析】 【分析】（1）利用表格和附注公式带入相应的数据求解即可表示出该回归直线； （2）在上一问的基础上，令，求出即可. 【小问1详解】 由题意可得， ． ， ， 则，，故． 【小问2详解】 当时，， 故估计该居民家庭恩格尔系数为0.304． 18. 已知函数，（且）. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，，使得在区间上的最小值为，最大值为0，若存在，试求出实数，，若不存在，说明理由. 【答案】（1）时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； 时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数； （2）存在；，. 【解析】 【分析】（1）利用导函数正负界点、，讨论、、情况下函数的单调性； （2）由（1）中单调性，结合已知区间，分类讨论、、时函数的最值，求参数，即可. 【小问1详解】 ， 由得或， 1、当，时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数； 2、当，时，在上为减函数； 3、当，时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； 综上有： 时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； 时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数； 【小问2详解】 由（1）知： 1、当时，函数在单调递增，无解； 2、当时，，函数在上单调递增，在单调递减，又，结合题设，则有，即； 令，则，有时单调递减， ∴时单调递减， ∵， ∴上无零点，方程组无解； 3、当时，在单调递减，，，解得，； 综上，有，. 19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 【答案】（1），， （2）证明：依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率求出. （2）按第次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得证. （3）利用（2）的结论，求出随机变量的分布列，再求出数学期望. 【小问1详解】 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【点睛】方法点睛，求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2024-2025学年下学期 第二学段考试高二数学试题 命题人：薛春才 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 下列说法中，正确的个数是（ ） （1）两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1 （2）两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 （3）从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在1次试验中发生的概率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是 A. B. C. 1024是三角形数 D. 8. 已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. （m，） B. C. 是等比数列 D. 11. 已知，为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，A，B相互独立，则 C. 若，，则的最小值可能为0.38 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于80分的概率是________. 13. 若函数的导数为，且则_______________ 14. 若数列满足，则称数列为项数列.若是15项数列，当且仅当时，，则数列的所有项的和为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. （1）求函数的值域； （2）求函数在点处的切线方程； （3）求函数的增区间. 17. 恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民家庭中年人均食物支出占年人均消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困．某调研小组通过调查得到了年人均消费总支出（万元）与恩格尔系数的五组数据如下表： 1 1.5 2 2.5 3 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 （1）请根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）若某居民家庭年人均消费总支出为2.6万元，估计该居民家庭恩格尔系数． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18. 已知函数，（且）. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，，使得在区间上的最小值为，最大值为0，若存在，试求出实数，，若不存在，说明理由. 19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $