辽宁锦州市某校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知数列的前项和为，且，则（ ） A．16 B．17 C．20 D．21 3．已知函数的导函数为，若，则（ ） A． B． C．1 D．0 4．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列结论正确的是（ ） A．甲队获胜的概率为 B．乙队以3∶0获胜的概率为 C．乙队以3∶1获胜的概率为 D．乙队以3∶2获胜的概率为 5．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 6．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，，则的最小值为（ ） A．-14 B． C． D．-28 8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的（）值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是等差数列（）的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A．的公差 B． C． D． 10．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为-0.1 D．当时，的预测值为11.2 11．已知函数，则（ ） A．的零点之和为3 B．的图象关于点对称 C．曲线不存在倾斜角为60°的切线 D．曲线在处的切线的斜率为432 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点移动五次后位于点的概率是_________． 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 14．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值． 17．已知数列中，，，，等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和． 18．已知． （1）若，求函数的极值； （2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 19．某中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75-145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），．现从我校所有参赛的学生中随机抽取20人进行座谈，设其中竞赛成绩超过122.2分的人数为，求随机变量的数学期望． （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整．第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为．已知甲同学第一关通过的概率为． （ⅰ）求该同学第二关通过的概率； （ⅱ）记甲同学通过第关的概率为，当时，恒成立，求的最小值．附：若随机变量服从正态分布，则，，． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第二学期期中考试 高二数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A B A A AD BCD 题号 11 答案 BCD 1.C 【详解】因为f'(1)=lim +A-.所以nI+af-号= △x 3Ax 2.B 【详解】由题设S4=a,+a2+a,+a4=2×42+1=33, 又S,=a1+a2+a3=2×32+1=19,S1=a1=2×12+1=3,则a2+a3=16, 所以a1+a4=33-16=17 故选：B 3.A 【详解】由=2e+h,得/=22+>0，则f2)=2f(②)+分解得/@②=及 4.B 【详解】对于A,在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜， 2228 所以甲队获胜的概率为号×号×行27，故A错误： 对于B,若乙队以3：0款胜，即第3局乙获胜，概率为兮故B正魔： 宇C,若乙队以3获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为×{名，政C错灵 对于D,若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2 2214 获雕的概率为与×兮×327，故D错误。 故选：B. 5.A 【详解】由 到<0，得"川到<0， f(x) 第1页共9页 由图像可知， 当x∈(-0,1)，f(x)单调递减，所以f'(x)<0, 当xe(1,+o,f(x)单调递增，所以∫'(x)>0, 又当xe(-0,0,f(x>0,当xe0,4时，fx<0,当xe4,+0),fx>0, 所以当x-,0,j>0,川<0，即日<0， f(x) 当xe,4,f<0,f>0,即八<0， f(x) 综上所述， 八国<0的解集为-m,0)1,4,故A正确 f(x) 故选：A 6.B 【详解】解法1：因为事件X≥1与事件X=0互为对立事件，而P(X=0)= C 57 980’ 所以P(X≥=1-PX=0=1-57-92(直接法求解较复杂时，考虑用间接法). 980980 解法2：由题意可知X的可能取值为0,1,2,3，PX=)=CC经-57。 196’ P(X=2=CC-87 C30196 2X-80PX=PX=+PX=2+PLK37.s72923 196196140980 故选：B 7.A 【腾1由00*1即。品512名5-5 2n-32n-5 “数列5为等差数列，首项为5，公差为1 an =-5+n-1,可得：an=(2n-5)(n-6), 2n-5 第2页共9页 当且仅当3≤n≤5时，am<0. 已知n,m∈N',n>m, 则Sn-Sm的最小值为a3+a4+a5=-3-6-5=-14. 故选A. 8.A 【详样1】已知4=子P@4到-手 又抽取男生30名和女生20名，所以P(B=20? 30+205 根据条件概率公式P4B)=P(4B) 2、2_4 ,可得P(AB)=P(AB)P(B)=三× P(B) 5525 4 再根据条件概率公式P(B1)=P(MB P0,可得P(4)=PL4B-25、1 P(BA)4 5 5 所以随机变量X~B20》】 cc周 G 解彩s2 因为k∈N,所以当k=4时，P(X=k)取得最大值 9.AD 【详解】由S。=10a+ad-5a,+ag>0,由于a,<0,故a,>0,因此d=a。-a,<0,A 2 正确， a4+a5+a6=3a;>0,B错误， _11a,+a=11a。<0,C错误， S, 2 由于a6<0,故a>0,故S是Sn中最大的先，故S,2Sn,D正确， 故选：AD 10.BCD 第3页共9页 【详解】由表格中的数据可计算平均数：下=4+6+8+10+12=8， y=a+2+b+c+6_8+a+b+c 5 5 又因为a,6c成等差数列，所以a+c=2b,则=8+3站 根据经验回归方程为=0.65x-1.8必过点x,y), 则8+30=0.65×8-18，解得6=3，故B正确： 5 由于经验回归方程为=0.65x-1.8是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数r>0,故A错误； 当x=6时，=0.65×6-1.8=2.1，所以残差为2-2.1=-0.1，故C正确： 当x20时，=0.65×20-1.8=11.2，所以y的预测值为11.2，故D正确： 故选：BCD. 11.BCD 【详解】因为f(x)=xx2-3x+5), 其中y=x2-3x+5,△=(-32-4×5<0， 所以fx)只有一个零点， 所以零点之和为0，故A错误， 因为f(2-x)+f(x=(2-x-3(2-x2+5(2-x+x3-3x2+5x=6, 所以f(x)的图象关于点(1,3)对称，故B正确. 因为f'(x=3x2-6x+5=3x-1)2+2≥2>V3=tan60°， 所以曲线y=∫(x)不存在倾斜角为60°的切线，故C正确. 设g(x=f(x(x-1(x2-4)(x2-9), 则h(x)=f(xx2-1x2-4)x2-9)=(x+1)g(x), 则h'(x=gx+(x+1g'(x, 所以h'(-1=g-1)=-9)×-2)×-3)×(-8)=432,故D正确 故选：BCD. 第4页共9页 12 【详解】质点移动五次后，位于点(2,3)处，则需向右移动2次，向上移动3次 则所求概率P=Cξ 名 本题正确结果： 16 13.m≤-8 【详解】由函数fx)=mlnx+8x-x2在[1，+o）上单调递减， 得x∈[1，+o,fw=m+8-2x≤0÷m≤2x2-8x, 而当x≥1时，2x2-8x=2(x-2)2-8≥-8， 当且仅当x=2时取等号，则m≤-8， 所以实数m的取值范围为m≤-8. 14.1012 【详样1由=则母六测+母-， fa)+fa)*+fas）fla+faa]小+fa,+-fa])++[faa+fla】 1 1 1 因为a,42024=1,由等比数列的性质可知，a2024= a, ，02023=，0202=，, a a 1 所以上式f(a)+f(a2)+…+f(a2o24)= ×1×2024=1012 故答案为：1012 15.(1)an=n Q 【详解】(1)设等差数列(an}的公差为d.1分 3a+3d=6, 由条件可知， a1+3d=2(a,+d,… 2分 解得a=1,d=1, 2分 所以{an}的通项公式为a。=1+n-1)×1=n. 2分 第5页共9页 (2)因为 1111 anan n(n+1)nn+1' 3分 所以数列 的前吸和-行》+台1点 3分 16.(1)8x+2y-5=0 ②最大值为-+62，最小值为}加3 32 【详】1张遂意，八=-2x>0 1分 则k彻=∫'（1=-4.… ……1分 又刊=片2-3加1=即切点坐标为引 1分 故所切线方程为：（引4x-。 .2分 即8x+2y-5=0 .1分 (2)由fx=2-2x-3-K-3x+l,(x>0 令∫'x)=0,得x=3… 2分 当xe[任3时，f八到<0，则f在[43上单调递减： 当x∈(3,4时，f'(x>0,则f(在(3,4上单调递增，2分 故/川)=氵33是f的极小馆，也是最小值 又得)}日-2x}6n2=h64-ne=h 64 32 g>ln1>0,而 4 f14-×华-2x4-3h4=6n2<0. 3分 即得4 故在区[4 上的最大值为-5+6n2,最小值为？3h3.…2分 32 17.1)b,=21.(2)证明见解析，Sn=(n-1)2+1+n+2 【详解】(1)等比数列bn}满足a+1=2an+bn-1, 所以a2=2a,+b-1,得b=4, 第6页共9页 a3=2a2+b2-1,得b2=8, .2分 b22 所以等比数列b,}的公比为9= 1分 故其通项公式为bn=2”1 2分 (2)证明：由(1)可知：a1=20n+21-1,即a1-1=2a,+21-2, 所以21_81_8w2a1.2a,+2-1-20,+1-1,…3分 2” 2* 又41- 2 所以数列 an-1 2n 是首项是1，公差为1的等差数列， 2分 故81 =n,所以a。=n2”+1. .2分 2 Sn=12+222+…+n2"+n 令Tn=12+2,22+…+n…2” 2Tn=1…22+2·23+…+(n-120+n…2+ -Tn=2+22+23+…+20-n2+刊 -7=20-2 -n-2*1=(1-n)201-2 1-2 T,=(n-121+2 Sn=Tn+n=(n-12m1+n+2. 3分 18小值/付 3+ln2;无极大值 ag+ 【详解】(1)a=1时，f(x)=x2+x-nr定义域为(0，+0），1分 f"(x)=2x+1-1-2x2+X-1_(2x-x+ 1,x>0, X X 令f'(x)=0,解得x= 2 2分 当xe0时，川<0，)单调递减： 第7页共9页 当经+时、了到>01单调递塔 2分 所以在x时，函数1取行极小值[付)-子+n2:到无极大位3分 (2)f=2ax+1--2ar+x-1,(x>0j x 因为y=f(x存在单调递增区间，所以2ax2+x-1>0在(0，+o0)上有解. 2分 e指a> 3分 当且仅当x=2时取等号2分 .2a>- 即a 8 所以实数a的取值范围是 2分 19.(1)3.173 (2)(i) 11 【详解】(1)因为4=80×0.05+90×0.12+100×0.19+110×0.3+120×0.2+130×0.12+140×0.2=109.2 2分 则X~N109.2,132),所以PX>12.2)=PX>4+o)=1-P-g<X≤+=0.15865， 2 3分 由题知Y~B(20,0.15865),所以E(Y)=p=20×0.15865=3.1732分 4 (2)()由题知，甲同学第一关通过的概率为兰，即月=4 5 1分 所以第=关延过的摄*为e-R+-》兮0-考-动 1 530 2分 ()记甲同学第nm∈N)关通过为事件A,依题意有P= 4 当m≥2时，Pd4-P)=R=PA,所以 P(A)=P(An-)P(An|An-）+P(A-)P(An|An),2分 所以2写+-=+ 第8页共9页 73 ≠0， 所以数列几一引是有项为行公t为。的等比最列，3分 所 听8- 则P随着的增大而减小，所以P≤B=5, 4 ”--8 当为偶数时，P=+13 又34 <行，所以M的最小值为： 2分 第9页共9页