江苏海门中学2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试卷

**基本信息** 聚焦数学核心素养，通过药物浓度分析、汽车利润建模等现实情境，融合导数应用、立体几何等知识，梯度设计适配高二学情检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、复数、立体几何初步|第4题结合药物浓度曲线考查导数几何意义，体现科学情境真实性| |多选题|3|导数应用、立体几何|第11题函数性质判断，综合极值、零点及不等式证明，考查逻辑推理| |填空题|3|向量、切线方程、恒成立问题|第13题切线与曲线交点问题，融合导数与方程思想| |解答题|5|导数综合、数学建模、立体几何|17题汽车利润模型构建，19题导数含参问题证明，突出数学建模与运算能力|

江苏省海门中学2025-2026学年度第二学期四月份学情调研 高二数学 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 3．已知，，，则这三点（   ） A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形 4．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 5．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 6．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 7．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若存在两个正实数x，y，使得等式成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数导函数的部分图像如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 11．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题 12．已知向量，，且，则______. 13．若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则______． 14．若，都有，则a的取值范围为_____． 四、解答题 15．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求方程在区间上的解的个数. 16．已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 17．某汽车生产企业福佑崇文阁上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点. (1)证明：平面平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 江苏省海门中学2025-2026学年度第二学期四月份学情调研 高二数学 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为， ，故选B. 【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于基础题. 2．若，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的除法运算求出复数，可明确其虚部. 【详解】因为. 所以复数的虚部为. 故选：B 3．已知，，，则这三点（   ） A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形 【答案】D 【分析】根据空间三点的坐标确定直线的方向向量，进而确定. 【详解】由，，， 则，， 则，又有公共点， ,,三点共线， 所以三点不能构成三角形. 故选：D. 4．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【答案】D 【分析】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确. B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B选项结论正确. C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同， C选项结论正确. D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于 在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率 D选项结论错误. 故选：D 5．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 6．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 7．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 8．若存在两个正实数x，y，使得等式成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知等式进行变形，通过形式构造函数，利用二次求导法判断函数的单调性，结合函数的图象进行求解即可. 【详解】存在， 使，则当时， 有，即， 其中且，，． 令，，则， 设，则． 当时，，为增函数． 又，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，如图． 又存在，使，所以，得或． 故a的取值范围是． 故选：D 二、多选题 9．若函数导函数的部分图像如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断. 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确. 对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误. 对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确. 对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确. 故选：ACD. 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于B，，B正确； 对于C，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于A，由C知：，， 即，A错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：BCD. 11．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．已知向量，，且，则______. 【答案】4 【解析】由，可解得答案. 【详解】由，，所以， 由，所以，解得：. 故答案为：4. 13．若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则______． 【答案】2 【分析】求得曲线在处的切线方程为，根据题意得也是曲线的一条切线，设切点为，列方程组求得即可. 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为， 因为曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，且的图象呈上凸递增的趋势， 所以说明也是曲线的一条切线， 对求导得， 设切点为， 所以，解得，满足. 故答案为：2. 14．若，都有，则a的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得. 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当2时，，即在上单调递减， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求方程在区间上的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据导函数符号情况即可求解； （2）判断函数在区间上的单调性情况，进一步计算的值，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对求导得， 令，解得或，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 且， 从而当或时，方程在区间上的解的个数为0； 当或时，方程在区间上的解的个数为1； 当时，方程在区间上的解的个数为2. 16．已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【详解】（1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 17．某汽车生产企业福佑崇文阁上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元 【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数； （2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值. 【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . （2）本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时，， 所以时，有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点. (1)证明：平面平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（1）先由面面垂直证明平面，得，再由题设条件证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）由平面证得，得为线段的中点，取的中点为坐标原点建系，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）先判断三棱锥外接球的球心为线段的中点，易得，可得点到平面的距离为点到平面的距离的一半，利用等体积即可求出三棱锥的体积. 【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面， 因平面，则，又，则， 因平面，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由平面，平面平面，平面，则 故为的中点，取的中点，连接，， 则平面，因平面，则， ，平面，所以平面 故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，故可取， 设与平面所成角为，则. （3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形， 又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点. ，即 ，在平面外，在平面内，则平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半. 故， 而，故. 19．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $