精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高二下学期6月半检测数学试题

江苏省海门中学高二6月半检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C D. 2. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 4. 函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（    ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面距离为 D. 与所成的角为 8. 已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若是锐角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形. （1）证明：平面EBD； （2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 16 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 17. 已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. （1）求n的值； （2）展开式中的整式项共有几项？ （3）展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 19. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省海门中学高二6月半检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 2. 若函数处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】函数在处可导， . 故选：C. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据决定系数的概念判断A；根据正态分布的对称性判断B；根据二项分布的方差公式判断C；根据相关系数的定义判断D. 【详解】对于A，决定系数越大，说明模型拟合效果越好，故A正确； 对于B，随机变量，则， 则，故B正确； 对于C，因为随机变量，则方差，故C正确； 对于D，因为甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，且， 所以甲组数据的线性相关性更强，故D不正确. 故选：D 4. 函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用导数分析其单调性，求解不等式即可. 【详解】因为，其定义域为：， 由，故是奇函数， 由，得， ，故在上单调递减， 所以，故或， 故选：D 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 7. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（    ） A. B. 等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A：取的中点，连接.运用正方形性质和直线与平面垂直的判定定理，可得平面.再用直线与平面垂直的性质，所以，判断A.  对于选项B：已知正方形边长为，能得到.由于二面角是直的，且，运用线面垂直性质，结合用勾股定理算出，又，三边相等，是等边三角形. 判断B. 对于选项C：运用等体积法，先算出的体积，再算出的面积，根据体积公式就能求出. 判断C. 对于选项D：建立坐标系，得出、、、的坐标，进而得到向量、，用求向量夹角的方法算出余弦值，结合异面直线夹角范围，可知夹角是，不是，判断D. 【详解】对于选项A，取的中点，连接. 因为正方形，所以 又，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面. 而平面，根据直线与平面垂直的性质，所以，故选项A正确.  对于选项B，因为正方形边长为，所以. 由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，而平面，则. 在中，根据勾股定理，可得. 又，三边相等，所以是等边三角形，故选项B正确.  对于选项C，设点到平面的距离为. 根据三棱锥体积公式，，， 所以.. 由，即，解得，故选项C正确.  对于选项D，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，.，. 设与所成的角为，根据向量的夹角公式. ，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以，故选项D错误.  故选：D. 8. 已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，构造并用导数研究函数的单调性得，将目标式化为，再构造，最后应用导数求其最大值，即可得. 【详解】因为，分别是函数与的零点， 所以，则，即， 又，，所以，． 设，则， 所以在上单调递增，所以，则， 所以，则． 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，， 所以的最大值为． 故选：B 二、多选题（本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若是锐角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，判断A；由条件先判断为非零向量，再结合数量积的定义判断B；先证明，再结合线面位置关系判断C，根据空间向量共面定理结合基底的定义判断D. 【详解】对于A，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；. 对于B，由是锐角，可得为非零向量，且， 故，，所以，B正确. 对于C， 因为，所以， 所以或，故C错误． D．假设共面，则存在实数，使得， 由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立， 所以不共面，即也是空间的一个基底，D正确． 故选：ABD. 10. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合二项式系数和计算判断A；根据组合数的性质计算判断B；结合的展开式的系数的关系判断C；根据第行的第个数为，结合逆用二项式定理化简求解判断D. 【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确； 对于B：由公式得： ，错误； 对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为， 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为， 所以， 所以第9行所有数字的平方和等于，正确； 对于D，第行的第个数为， 所以 即，正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【答案】360 【解析】 【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数. 【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种. 综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 故答案为：360. 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线方程，再根据导数的几何意义求出前者与后者的切点坐标后可得，利用“1”的妙用可得最小值. 【详解】，， 因为曲线在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 设该直线与曲线的切点坐标为， 则，故，故切点坐标为， 该切点在直线上，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2， 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形. （1）证明：平面EBD； （2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，根据线面垂直的性质可得，，证明，从而可得，进而可证，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的正弦值求出，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 证明：设交于点，连接， 因为，所以四点共面， 因为平面ABCD，所以平面ABCD， 因平面ABCD， 所以，， 又四边形ABCD为菱形， 所以，， 因为，所以平面ACFE,所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又平面EBD， 所以平面EBD； 【小问2详解】 解：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设， 则，， 由（1）知是平面的一个法向量， 则，解得， 则， 则点到平面的距离， 又，则， 所以三棱锥的体积为. 16. 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数及其导数，再利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. （2）求出函数在区间上的最大值，再借助建立不等式求解. 【小问1详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此， 设，，则在上单调递增， 于是，即， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，，即在上单调递增，， 函数，求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. （1）求n的值； （2）展开式中的整式项共有几项？ （3）展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【答案】（1）； （2）7； （3）系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 【解析】 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项和最小项. 【小问1详解】 由题设，则， 整理得，故（负值舍）. 【小问2详解】 由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为整式项，共有7项； 【小问3详解】 由在上单调递减， 当时，当时，则， 故在上先增后减，且， 故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 18. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】（1），说明见解析， （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 19. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得； （3）先利用导数研究有两个极值点的条件，得到的取值范围，同时利用韦达定理得到两极值点的和与积的值，然后得到两极值的和关于的函数表达式，将要证不等式转化为关于实数的等式，构造函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在定理研究最值，从而证明原不等式. 【小问1详解】 当时，则， 又，则， 所以函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 依题意在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 依题意可得， 又函数的定义域为，且， 若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意； 若，即，则的两根为， 所以当或时， 当时， 所以的单调减区间为，，单调增区间为， 所以当时，函数有两个极值点，，且，． 因为 ， 要证，只需证， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，，且在定义域连续， 由零点存在定理，可知在上唯一实根， 且当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为，又， 因为， 当时，，又，所以， 所以恒成立， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$