学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷02【全国通用，测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册】

**基本信息** 聚焦选择性必修二、三内容，融合统计与概率热点（如残差分析）、新情境（抽奖游戏）及综合应用（如独立性检验、导数证明），梯度设计兼顾基础与思维提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|散点图相关性、等差数列求和、二项式系数|第5题结合残差分析热点，考查统计思维| |选择题（多选）|3/18|二项式展开、抽奖概率、等比数列性质|第10题以抽奖情境考查条件概率，体现数学语言表达| |填空题|3/15|二项式系数和、区域涂色、导数极值|第13题区域涂色问题，融合排列组合与逻辑推理| |解答题|5/77|独立性检验、数列求和、导数单调性与证明、概率应用|17题独立性检验分析年级性别差异，19题证明概率期望，发展数学思维与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 2．已知随机事件A，B满足，，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．22 4．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（热点）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 7．市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 8．已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 10．（新情境）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 11．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 13．如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 14．已知函数在处取得极大值0，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 16．（15分）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下： 初中 高中 合计 男 270 230 女 230 230 合计 (1)完成表格数据，并根据小概率值的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异? (2)每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 19．（17分）某校足球队有高一队员6人，高二队员7人，高三队员5人，足球队进行射门和守门训练，已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练. (1)先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取2名队员.求所抽取出的2名队员都参加射门训练的概率. (2)训练前所有队员排成3行6列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率. (3)参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有10次射门机会，一旦进球，则换下一名队员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次射门进球的概率为，在一轮射门训练中射门的次数为X，证明： . 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于AC，散点图分布总体是斜向上，故AC中对应的两个变量之间是正相关； 对于BD，散点图分布总体是斜向下，但B中散点分布较为集中， 而D中散点分布较为分散，故B中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 2．已知随机事件A，B满足，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得. 3．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．22 【答案】B 【详解】解：在等差数列中，， ，解得， ． 4．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】 5．（热点）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 6．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 7．市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 【答案】D 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 8．已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为， 求导得： ， 由有两个不同极值点，则二次方程有两个不同正根， 则有，解得， 因为，则不等式可化为， 则， 设函数，，求导得， 所以在上单调递增，则， 所以， 由存在满足条件的、使得成立， 即满足成立，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【答案】ACD 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 10．（新情境）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 11．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 【答案】BCD 【详解】因为为等比数列，所以，则， 因为，所以，故A错误； 由，得，设公比为q， 则，整理得，解得或（舍）， 则，所以， 则， 所以，故B正确； 若，则， 所以， 当时，恒成立，所以数列为递增数列，故C正确； 选项D: 若数列为递增数列，则，对于恒成立， 又， 所以，则，对于恒成立， 令，则，，，，， 当时，， 所以当时，，且单调递减， 所以的最大值为，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 【答案】0 【详解】二项式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得， 对展开式， 令代入，左边为 ，右边为， 因此. 13．如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 14．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 【答案】(1)360 (2)612 【详解】（1）丽丽固定在宣传岗， 剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列． 方法数为：种． （2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法， 再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上， 根据分步乘法计数原理，方法数为种； ②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法， 再安排接待岗位有3种安排方法， 第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法， 最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上. 根据分步乘法计数原理，方法数为种， 综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 16．（15分）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 17．（15分）某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下： 初中 高中 合计 男 270 230 女 230 230 合计 (1)完成表格数据，并根据小概率值的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异? (2)每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 初中 高中 合计 男 270 230 500 女 230 230 460 合计 500 460 960 不存在年级差异,理由见解析 (2)0.9831 【详解】（1）填表如图： 初中 高中 合计 男 270 230 500 女 230 230 460 合计 500 460 960 零假设：参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异. 根据列联表中的数据，经计算得到， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据认为不成立，因此可以认为成立，即认为参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异； （2）记事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中至少有1名学生达标”，则事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中没有学生达标”. 由题意得 ， 故 . 故至少有1名学生身心健康达标的概率为0.9831. 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数．(2)；(3)证明见解析． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 19．（17分）某校足球队有高一队员6人，高二队员7人，高三队员5人，足球队进行射门和守门训练，已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练. (1)先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取2名队员.求所抽取出的2名队员都参加射门训练的概率. (2)训练前所有队员排成3行6列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率. (3)参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有10次射门机会，一旦进球，则换下一名队员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次射门进球的概率为，在一轮射门训练中射门的次数为X，证明： . 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）三个年级被选中的可能性相同，每个年级被选中的概率都是． 高一共有6人，其中甲参加守门训练，所以高一参加射门训练的有5人． 若选中高一，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 高二共有7人，其中乙参加守门训练，所以高二参加射门训练的有6人． 若选中高二，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 高三共有5人，其中丙参加守门训练，所以高三参加射门训练的有4人． 若选中高三，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 所以所求概率为. （2）所有队员排成3行6列，一共有18个位置．只考虑甲、乙、丙三人所在的位置，三人位置的选法共有种． 现在统计满足条件的位置选法．要使甲、乙、丙恰有两人在同一行，且恰有两人在同一列，它们的位置应形成一个“拐角”形状：先确定有两人的那一行，再确定这一行中的两个位置，最后第三人要与其中一个位置同列，但不能在同一行． 具体地，有两人的行有3种选法；在这一行中选出两个列位置，有种选法； 第三人的列要与这两个位置中的一个相同，有2种选法；第三人的行不能是原来的行，有2种选法． 所以满足条件的位置选法共有 . 总的位置选法为 . 故所求概率为. （3）丁每次射门进球的概率为，未进球的概率为. 因为一旦进球就停止本轮训练，且最多射门10次，所以表示丁实际射门的次数， 的可能取值为1，2，…，10． 我们先看丁至少射第次的概率． 丁一定会射第1次，所以 . 要射第2次，说明第1次没有进球，所以. 要射第3次，说明前2次都没有进球，所以. 依此类推，要射第次，说明前次都没有进球，因此. 其中 ． 因此. 所以，故. 因为 . 所以 . 从而 . 故 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B A D A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）丽丽固定在宣传岗， 剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列． 方法数为：种．（5分） （2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法， 再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上， 根据分步乘法计数原理，方法数为种；（8分） ②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法， 再安排接待岗位有3种安排方法， 第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法， 最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上. 根据分步乘法计数原理，方法数为种， 综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，.（7分） （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）填表如图： 初中 高中 合计 男 270 230 500 女 230 230 460 合计 500 460 960 零假设：参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异. 根据列联表中的数据，经计算得到， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据认为不成立，因此可以认为成立，即认为参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异；（7分） （2）记事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中至少有1名学生达标”，则事件为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中没有学生达标”. 由题意得 ， 故 . 故至少有1名学生身心健康达标的概率为0.9831.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数．（4分） （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即，（8分） ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以；（10分） （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，（14分） 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）三个年级被选中的可能性相同，每个年级被选中的概率都是． 高一共有6人，其中甲参加守门训练，所以高一参加射门训练的有5人． 若选中高一，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 高二共有7人，其中乙参加守门训练，所以高二参加射门训练的有6人． 若选中高二，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 高三共有5人，其中丙参加守门训练，所以高三参加射门训练的有4人． 若选中高三，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为. 所以所求概率为.（5分） （2）所有队员排成3行6列，一共有18个位置．只考虑甲、乙、丙三人所在的位置，三人位置的选法共有种． 现在统计满足条件的位置选法．要使甲、乙、丙恰有两人在同一行，且恰有两人在同一列，它们的位置应形成一个“拐角”形状：先确定有两人的那一行，再确定这一行中的两个位置，最后第三人要与其中一个位置同列，但不能在同一行． 具体地，有两人的行有3种选法；在这一行中选出两个列位置，有种选法； 第三人的列要与这两个位置中的一个相同，有2种选法；第三人的行不能是原来的行，有2种选法． 所以满足条件的位置选法共有 . 总的位置选法为 . 故所求概率为.（10分） （3）丁每次射门进球的概率为，未进球的概率为. 因为一旦进球就停止本轮训练，且最多射门10次，所以表示丁实际射门的次数， 的可能取值为1，2，…，10． 我们先看丁至少射第次的概率． 丁一定会射第1次，所以 . 要射第2次，说明第1次没有进球，所以. 要射第3次，说明前2次都没有进球，所以. 依此类推，要射第次，说明前次都没有进球，因此. 其中 ．（14分） 因此. 所以，故. 因为 . 所以 . 从而 . 故 ．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 2．已知随机事件A，B满足，，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．22 4．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（热点）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 7．市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 8．已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 10．（新情境）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 11．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 13．如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 14．已知函数在处取得极大值0，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 16．（15分）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下： 初中 高中 合计 男 270 230 女 230 230 合计 (1)完成表格数据，并根据小概率值的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异? (2)每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 19．（17分）某校足球队有高一队员6人，高二队员7人，高三队员5人，足球队进行射门和守门训练，已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练. (1)先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取2名队员.求所抽取出的2名队员都参加射门训练的概率. (2)训练前所有队员排成3行6列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率. (3)参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有10次射门机会，一旦进球，则换下一名队员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次射门进球的概率为，在一轮射门训练中射门的次数为X，证明： . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $