精品解析：2026年河北承德市偏桥子中学中考模拟预测数学试卷

2026年河北省承德市双滦区承德市偏桥子中学模拟预测数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A. 22×10﹣9m B. 22×10﹣8m C. 2.2×10﹣8m D. 2.2×10﹣10m 6. 如图，和 如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 无法确定 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为 ，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 如图，在扇形中，，半径 ，是上一点，连接 ，是 上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论 取何值，都有． 乙：若点 平移后的对应点为，则点 移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着 的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一元一次不等式组的解集为_________． 14. 小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为 株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要___________小时．（用含的代数式表示） 15. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 16. 如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． （1）求这已知的四个数的积； （2）若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 18. 如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． （1）先求出代数式，再计算当时，代数式的值； （2）嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 19. 在中考实验操作考试结束后，我校某班随机抽取了一个小组的物理实验操作考试成绩进行了统计，结果如下： 分值 人数 男生 女生 8分 1人 0人 9分 1人 3人 10分 3人 2人 （1）本次成绩的平均分为 ，中位数为 ，众数为 （2）学霸朱朝阳计算了本组数据的方差，算法如下： ，其中 ； ； （3）现准备从得分为9分的4名同学中抽取两名同学谈失分感悟，以警醒学弟学妹，请用列表法或树状图求出选取的两名同学均为女生的概率． 20. 如图，已知为 的直径，点在的延长线上，点是 上的两点，连接 ，，， ，，其中 ，是 的切线． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求 的半径． 21. 如图1和图2，在中，．点 是边上一点（不与点 ，点重合），以点 为圆心，长为半径作 ，当 与边相交于，两点（点在点的上方）时，连接． （1）如图1，当 经过点时，求阴影部分的面积； （2）如图2，当时，求弦 的长． 22. 某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为 元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； （2）求 与之间的函数关系式（不写的取值范围）； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 23. 在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为（单位：秒），飞行高度为 （单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图象经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度； （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，， ．点在边或边上运动，将 沿直线 折叠，点的对应点为，连接， 与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边 上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出： ________， ________； ②此时 与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边 上任意一点时， 与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取 的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据： ， ， ） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为 时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省承德市双滦区承德市偏桥子中学模拟预测数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知点表示的数为，再根据相反数定义即可求得本题答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数为， ∴点A表示的数的相反数是2． 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 3. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角定义求出，再根据角平分线定义求出的度数，即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点 作轴于点，则有 ，，然后通过，再求出 的值即可． 【详解】解：过点 作轴于点，如图， 根据点 在第一象限内，其坐标是， ∴ ，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为2， ∴， ∴ ， ∴点， ∴， ∴． 5. 面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A. 22×10﹣9m B. 22×10﹣8m C. 2.2×10﹣8m D. 2.2×10﹣10m 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示计算即可； 【详解】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键． 6. 如图，和 如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当 ，在中，， 在中，， ∴此时 ； ②当 ，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为 ，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 9. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 10. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由， ，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：     ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和 都是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 11. 如图，在扇形中，，半径 ，是上一点，连接 ，是 上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到 ，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 12. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论 取何值，都有． 乙：若点 平移后的对应点为，则点 移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着 的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点 移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论 取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为 ，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点 移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着 的增大而减小， 当时，随着 的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一元一次不等式组的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为 株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要___________小时．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式，理解题意，根据题意列出分式，是解题的关键．根据时间总数工作效率，列出分式即可． 【详解】解：按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要的时间为： ． 故答案为：． 15. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 16. 如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【答案】 ①. 12 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． （1）求这已知的四个数的积； （2）若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 【答案】（1）60 （2）① ；②四个数的平均数为 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知a的值，根据平均数的计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 即这已知的四个数的积为60； 【小问2详解】 解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等， ∴， 解得： ； ② 即这四个数的平均数为． 18. 如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． （1）先求出代数式，再计算当时，代数式的值； （2）嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 【答案】（1）；当时，M （2） 解：同意，理由如下： ∵ ∴ ； ∴ ； 当时，，此时，； 当不取，恒大于0，的值就一定大于的值． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再根据去括号、合并同类项法则计算即可化简，最后代入计算即可得解； （2）先求出 ，再计算出，分情况讨论即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ， 当时，原式 ； 【小问2详解】 略 19. 在中考实验操作考试结束后，我校某班随机抽取了一个小组的物理实验操作考试成绩进行了统计，结果如下： 分值 人数 男生 女生 8分 1人 0人 9分 1人 3人 10分 3人 2人 （1）本次成绩的平均分为 ，中位数为 ，众数为 （2）学霸朱朝阳计算了本组数据的方差，算法如下： ，其中 ； ； （3）现准备从得分为9分的4名同学中抽取两名同学谈失分感悟，以警醒学弟学妹，请用列表法或树状图求出选取的两名同学均为女生的概率． 【答案】（1）9.4，9.5，10； （2）10 ，9.4 ，0.44 ； （3）选取的两名同学均为女生的概率为 ． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均分的计算方法进行计算即可得到平均数，根据所有成绩排名确定中位数，根据出现次数最多的数来确定众数即可； （2）根据方差的定义及公式确定m、n表示的意义，进而计算即可； （3）由列表法表示出所有结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 平均分： 中位数：从小到大排序为 8， 9 ，9 ，9 ，9 ，10 ，10 ，10 ，10， 10，取第五、第六个数的平均数为 众数：10 故答案为：9.4，9.5，10； 【小问2详解】 由方差定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，可得 ， 故答案为：10 ，9.4 ，0.44 ； 【小问3详解】 9分中有1个男生，3个女生，故设男生为 ，女生为 、、 列表法如图： 共有12种情况，其中两名同学均为女生的情况有6种 选取的两名同学均为女生的概率为 所以，选取的两名同学均为女生的概率为 ． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算、众数、中位数、方差的定义和公式计算、列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图，已知为 的直径，点在的延长线上，点是 上的两点，连接 ，，， ，，其中 ，是 的切线． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求 的半径． 【答案】（1） （2） 证明： 是 的切线， ． 为直径， ， ， ． 又， ． 又为公共角， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理及切线性质得到，由直角三角形性质即可得到答案； （2）由切线性质及圆周角定理的推论得到，从而确定 ，再由相似三角形的判定即可得证； （3）设 的半径为 ，由含 的直角三角形性质得到，进而列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ， 在 中，所对的圆心角， 又 是 的切线， ， 在 中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设 的半径为 ， 在 中，， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、切线性质、直角三角形性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定、含 的直角三角形性质等知识，熟练掌握圆周角定理及相关几何性质是解决问题的关键． 21. 如图1和图2，在中，．点 是边上一点（不与点 ，点重合），以点 为圆心，长为半径作 ，当 与边相交于，两点（点在点的上方）时，连接． （1）如图1，当 经过点时，求阴影部分的面积； （2）如图2，当时，求弦 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得，由扇形面积公式求解即可； （2）过 作交于，由垂径定理得，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：长为半径作 ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过 作交于， ， ， ， ∵， ， ． 【点睛】能熟练利用扇形面积公式、垂径定理、勾股定理进行求解是解题的关键． 22. 某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为 元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； （2）求 与之间的函数关系式（不写的取值范围）； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 【答案】（1）8 （2） （3）安排装运苹果的货车6辆，最大利润为元 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意先算出橘子的总吨数，再结合每辆车橘子装载量，进行计算，即可解题； （2）分别表示出苹果的利润和橘子的利润，再求和，即可解题； （3）根据“装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数”建立不等式求出的取值范围，再结合一次函数性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：（辆）， 【小问2详解】 解：由题知，； 【小问3详解】 解：装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数， ，且为正整数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，利润最大， 即安排装运苹果的货车的辆数为 时，利润最大为（元）． 23. 在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为（单位：秒），飞行高度为 （单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图象经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度； （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】（1） （2）无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米 （3） （4）时，最优垂直距离最小，最小值为米 【解析】 【分析】（１）求​的解析式：因为已知二次函数的顶点坐标和与x轴的两个交点，所以可设顶点式，代入已知点的坐标求解系数即可． （２）求乙下降阶段两机同高的时刻：先根据乙的起飞后到达最高点的时间、最高点坐标和落地时间，确定乙下降阶段的一次函数解析式；再联立与乙下降阶段的函数解析式，求解得到的方程，排除落地时的解即可． （３）求全程最大垂直距离：首先分乙上升、乙下降两个时间段，分别写出两机高度差的绝对值的表达式；如果是二次函数形式，可通过配方法或顶点公式求取值范围内的最值，如果是一次函数形式，可通过自变量取值范围端点求最值，最后比较两个时间段的最值得到结果． （４）求最优垂直距离：先根据新的抛物线过、且最高点纵坐标不变，写出解析式；再联立与乙的解析式，得到两个交点的横坐标，确定所求时段的范围；写出该时段内高度差的表达式，根据“最大垂直距离尽可能小”的要求，利用二次函数的取值范围的最值性质，求出对应的t和最优距离． 【小问1详解】 解：∵甲的二次函数顶点为， ∴设顶点式：， 代入原点， 得：， 解得， 展开得：) 【小问2详解】 解：无人机乙下降段过点和， 设直线解析式为， 代入两点，得， 解得， 即下降段解析式：（） 联立， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． 【小问3详解】 解：垂直距离，分两段讨论： 乙上升段​： 设， 代入，得， 解得， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， 令， 解得：或， 如图，当时，d随x的增大而增大， ∴时，； ∴d的最大值为． 下降段：， 开口向下，对称轴，如图： 当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离​米． 【小问4详解】 解：由抛物线过和，最高点纵坐标不变20， 设， 顶点横坐标， 代入顶点，得， 解得：， ∴． 令， 则， 解得：， ∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为直线， 即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当 时，有最小值， ∴当 秒时，最优垂直距离为米． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，， ．点在边或边上运动，将 沿直线 折叠，点的对应点为，连接， 与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边 上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出： ________， ________； ②此时 与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边 上任意一点时， 与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取 的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据： ， ， ） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） ，； 垂直 （2） 存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线 对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1） 由折叠可知， ， ，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设 ，则 ，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2） 由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ， ，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得 的度数，然后根据外角的性质即可得到 ，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边 上，在上方时；当点在边 上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解： 四边形 是矩形， ，， ， 由折叠可知， ， ， 在中， ， ， 设 ，则 ， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知， 是的对称轴，即 垂直平分， ； 【小问2详解】 解：①略 由 知，， ， 是 的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时 ， ， ， 点的运动路径长为； 【小问3详解】 解：当点在边 上，在上方时，如图所示，过点作 交于，交 于，作 于，则四边形 、 、 是矩形， 当到的距离为时，即 ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边 上，到下方时，如图所示，过点作 交于，交 于，作 于，则四边形 、 、 是矩形， 当到的距离为时，即 ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在中，， 即，解得 ， 即 ， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作 轴交 轴于，作 轴于，过点作 于，则四边形 、 、 是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即 ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 在中，， 即 ，解得 ， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即 ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 在中，， 即 ， 解得 ， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $