精品解析：河北邯郸市第二十五中学2025-2026学年下学期九年级中考考前阶段测试数学试卷

数学练习卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同．小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球．两人摸到不同颜色球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ） A. B. C. D. 11. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4个小题，13-15每小题3分，16题4分，共13分） 13. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 14. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 15. 下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共71分） 17. 设三个有理数2，，的和为W． （1）当时，求W的值； （2）若W不大于，求a的负整数解． 18. 【猜想】 两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值． 【验证】 （1）设两个相邻的整数为，，则它们平均数的平方为______；它们平方的平均数为______；，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为______． 【说明】 （2）设两个相邻整数分别为a，，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 20. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，） （1）如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求长； （2）在（1）的条件下，当左门绕点逆时针打开时（如图3），点落在点处，求此时点到墙面的距离． 21. 【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： （1）已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． （2）仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 22. 如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点． （1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　； （2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长； （3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离． 23. 如图1，抛物线：与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． （1）直接写出__________，并求出点的坐标； （2）如图2，求点的坐标，连接，，，判定的形状，并说明理由； （3）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围． 24. 如图，已知矩形中点，，点从点出发沿边向点运动，连接，过点作交边于点，以为对角线作正方形． （1）若， ①则__________； ②尺规作图：在图中画出正方形，点在上方． （2）点一定在的角平分线上吗？请说明理由； （3）当点从点重合的位置运动至点落在边上时，求点运动的路径长； （4）在点从点到点的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：．与不是同类项，无法直接相加，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 5. 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同．小明同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球．两人摸到不同颜色球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不放回摸球的概率计算，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中两人摸到不同颜色球的结果数有4种， ∴两人摸到不同颜色球的概率为． 8. 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 9. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的性质，特殊角的三角函数值的运算，零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的运算，根据新定义，逐一列出算式，进行计算判断即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：A、∵，； ∴不垂直，不符合题意； B、∵，， ∴不垂直，不符合题意； C、∵，， ∴不垂直，不符合题意； D、∵，， ∴垂直，符合题意； 故选：D． 11. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，13-15每小题3分，16题4分，共13分） 13. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 15. 下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共71分） 17. 设三个有理数2，，的和为W． （1）当时，求W的值； （2）若W不大于，求a的负整数解． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算及解不等式，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）根据题意列出式子，然后求解不等式即可． 【小问1详解】 解：当时， ． 【小问2详解】 ∵， 当W不大于时， ． 解得． a的负整数解有，，． 18. 【猜想】 两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值． 【验证】 （1）设两个相邻的整数为，，则它们平均数的平方为______；它们平方的平均数为______；，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为______． 【说明】 （2）设两个相邻整数分别为a，，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值． 【答案】（1）；；；（2）说明见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键； （1）先计算出两数的平均数，再计算出该平均数的平方；先计算出两数的平方，再计算出两数的平方的和的平均数，再求出，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差即可； （2）根据完全平方公式求出两数的平均数的平方和平方的平均数，再计算它们的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差即可得到答案． 【详解】解：（1）； ； ， 故答案为：；；； （2），， ∴， ∴定值为：． 19. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生次引体向上的有效次数整理成如图的折线统计图、其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①通过计算补全折线统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少次才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的组数据合在一起，发现乙同学次引体向上测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学第次测试成绩的最小值为_____次． 【答案】（1）①补图见解析；②中位数为次，众数为次 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）①根据平均数的定义求出乙同学第次测试成绩，进而补全折线统计图即可；②根据中位数和众数的定义解答即可； （）根据方差、中位数和众数的意义说理即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了折线统计图，平均数、方差、中位数和众数，掌握平均数、方差、中位数和众数的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①设乙同学第次测试成绩为， 由题意得，， 解得， ∴乙同学第次测试成绩为次， ∴补全折线统计图如下： ②乙同学次引体向上测试成绩由低到高排列为，，，，， ∴中位数为，众数为； 【小问2详解】 解：选择嘉嘉的说法，由折线统计图可知，甲同学数据的波动较小，方差小，测试成绩较为稳定，所以选择甲同学； 选择淇淇的说法，由于乙同学的中位数是次，众数也是次，获胜的可能性较大，而甲同学的中位数是次，众数也是次，均低于次，所以选择乙同学； 【小问3详解】 解：∵乙同学前次的成绩排列为，，，，，要使中位数不变，则排名第和排名第的成绩应均为， ∴第次成绩的可为或， ∴第次成绩的最小值为， 故答案为：． 20. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，） （1）如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求长； （2）在（1）的条件下，当左门绕点逆时针打开时（如图3），点落在点处，求此时点到墙面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用在中，求出； （2）过点作于点，于点F，在中利用三角函数求出，再求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点F， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意得， 在中，，，， 则， 根据解析（1）得：， ∴， ∴， 答：点到墙面的距离约为． 21. 【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： （1）已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． （2）仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【答案】（1） （2）当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元 （3）此时店铺的一袋茉莉香茶为60元 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱． 【小问1详解】 解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 22. 如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点． （1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　； （2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长； （3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）如图，补全图形，运用圆内接四边形的性质求解即可； （2）要想求弧长，就得求所对的圆心角的度数，所以要连接OQ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1=30°，再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数，代入弧长公式计算即可． （3）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=OO′=． 【详解】（1）补全图形如图所示， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BCA=45°， ∵四边形ACBQ是圆内接四边形， ∴∠AQB+∠C=180°， ∴∠AQB=180°-∠C=135° 故答案为：135°； （2）如图1，连接OQ， ∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点， ∴OP＝2，OQ＝4， ∵PQ∥OA， ∴∠BPQ＝∠AOB＝90°， ∴∠OQP＝30°， ∴∠AOQ＝∠OQP＝30°， ∴的长＝＝π； （3）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，ON， 则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，点O′是所在圆的圆心， ∴O′C＝OB＝4， ∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点， ∴O′C⊥AO， ∴O′C∥OB， ∴∠POO'＝∠CO'M＝∠PO'M， ∵∠PMO'＝∠QMO'＝90°， ∴∠O'PM＝∠MNO'， ∴O'P＝O'N＝OP＝3， ∴四边形OPO'N是平行四边形， ∴O'P＝ON， ∵O与O'关于PQ对称， ∴ON＝O'N＝3， ∴BP＝CN＝4﹣3＝1， ∵PN⊥OO'， ∴∠MNO'＝∠MNO， ∴∠BPO'＝∠CNO， ∴△O'BP≌△OCN（SAS）， ∴∠O'BP＝∠OCN＝90°， ∴四边形OCO′B是矩形， 在Rt△O′BP中，O′B＝＝2， 在Rt△OBO′中，OO′＝＝2， ∴OM＝OO′＝×2＝， 即O到折痕PQ的距离为． 【点睛】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分． 23. 如图1，抛物线：与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． （1）直接写出__________，并求出点的坐标； （2）如图2，求点的坐标，连接，，，判定的形状，并说明理由； （3）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）；是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）且， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，得出点D的坐标，根据两点间距离公式求出的长，判断三角形的形状即可； （3）设与轴交于点，交于点，分，分别求出直线经过三点时的值，利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴平移后的解析式为：， ∴点D的坐标为； 略 【小问3详解】 解：如图，设与轴交于点，交于点， ∵， ∴当时，， ∴点， 联立， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 当时，直线为，此时直线与图象有2个交点， 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有2个交点； 当直线过点时，， 解得， 此时直线与图象有3个交点； 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有3个交点； 由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点． 24. 如图，已知矩形中点，，点从点出发沿边向点运动，连接，过点作交边于点，以为对角线作正方形． （1）若， ①则__________； ②尺规作图：在图中画出正方形，点在上方． （2）点一定在的角平分线上吗？请说明理由； （3）当点从点重合的位置运动至点落在边上时，求点运动的路径长； （4）在点从点到点的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 【答案】（1）①；② （2）点一定在的角平分线上，理由如下： 过点作，，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点一定在的角平分线上； （3） （4） 【解析】 【分析】①证明，再根据相似三角形的性质解答即可；②作线段的垂直平分线，交于点，在垂直平分线上截取，顺次连接，则四边形即为所求； 过点作，，垂足分别为，可证，得到，再根据角平分线的判定即可求证； 由知，点一定在的角平分线上，分别求出点与点重合时和点落在边上时的长度，再相减即可求解； 由可知点为的外心，过点作于，则，得到为的中位线，即得，设，则，由得，再利用相似三角形的性质求出的最大值即可求解． 【小问1详解】 解：①∵矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 由知，点一定在的角平分线上， ∴， 当点与点重合时，点与点重合，此时， ∵正方形， ∴， 当点落在边上时，此时， ∴， ∴点运动的路径长为； 【小问4详解】 解：∵， ∴点为的外心， 如图，过点作于，则， ∴为的中位线， ∴， 设，则， 由知，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴的外心到边的距离的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $