第11章不等式与不等式组 单元自主达标测试题 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 人教版七年级数学下册《不等式与不等式组》单元卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，考查不等式定义、性质、解法及实际应用，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|一元一次不等式定义、性质、解集数轴表示|结合促销打折（7题）、分书问题（8题）考查实际应用| |填空题|8题|不等式表示、含参不等式、负整数解|程序运算情境（16题）、数学语言表达（9题）| |解答题|8题（58分）|解不等式（组）、含参问题、实际应用|分层设问（20题三问）、AI采购跨学科情境（24题）、新定义运算（22题）|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第11章不等式与不等式组》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题 1．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的最大整数解是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 7．新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（   ） A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折 8．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 9．“x的3倍与4的和是正数”用不等式表示为 ___________ ． 10．不等式的解集是，则的取值范围是____． 11．若不等式的解集为，则关于的方程的解为_____． 12．不等式 的所有负整数解为______． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____． 14．若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 15．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 16．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的最小整数为______． 三、解答题 17．（108分）解答下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组： 18．（8分）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 19．（8分）关于的不等式的解集都是不等式的解，求的取值范围． 20．（8分）已知方程组 ． (1)若方程组的解满足，求k的值； (2)若解满足 ，求k的取值范围； (3)在（2）的条件下，直接写出满足条件的整数k． 21．（9分）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 22．（9分）定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 23．（10分）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 24．（10分）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 参考答案 1．C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 2．D 【详解】解：已知 A、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，A错误，不符合题意； B、，不等式两边同时减，得，B错误，不符合题意； C、当，时，满足，但，因此不等式不一定成立，C错误，不符合题意； D、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，，D正确，符合题意． 3．C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 4．D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出最大整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解是 故选：D． 5．D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 6．C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 7．C 【分析】设商品打折销售，根据售价、进价和利润率的关系建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设商品打折销售， 由题意得：， 解得， 所以商品最多可打七点五折． 8．A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 9． 【详解】解：根据题意，得． 10． 【详解】解：∵不等式的解集是，且， ∴不等式两边同时除以时，不等号方向改变， ∴， ∴． 11． 【分析】根据不等式的解集可得的符号和与的数量关系，将关系代入一元一次方程即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 移项得， 由解集的不等号方向不变可得，且， 整理得， 将代入方程得： ， 因为，等式两边同时除以得： ， 解得. 12．， 【分析】求出不等式的解集，再根据解集写出所有负整数解即可． 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式 的所有负整数解为，． 13． 【分析】将方程组中两个方程相加整理得到关于的表达式，再结合已知条件列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 得，即， 由方程组的解满足， 可得， 解得． 14． 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有三个整数解的条件，确定实数的取值范围． 【详解】解： ∵解不等式得， ∵解不等式得． ∴不等式组的解集为：． ∵不等式组有三个整数解， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴． 15．18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 16．2 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一次，，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第二次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第三次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第四次，此时，此时满足， 解得， 故满足x的最小整数为2． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； 画数轴如下： （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为． 18． 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 19． 【分析】本题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系即可求出的取值范围． 【详解】解：将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知，， 解得． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）将两个方程相加可得，由可得关于k的方程，解之可得； （2）求解方程组，分别用表示出的值，根据题意，解关于的不等式组即可得到结果； （3）根据（2）中结论即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 两式相加得，即， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， 由得， 将代入得，解得， 将代入得， ∵ ， ∴， 解得； （3）解：由（2）知，， ∴满足条件的整数有． 21．(1)② (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小华的解题过程中，从步骤②开始出现错误； （2）解：∵， ∴． ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 24．(1)甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 (2)共有2种采购方案 (3)采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 学科网（北京）股份有限公司 $