精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2026北京清华附中朝阳学校高二（下）期中 数 学 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据除法的求导法则求导即可. 【详解】因为， 故选：B 2. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的单调区间判断A；利用导数，求导判断BCD选项的导函数在上的符号，进而判断其单调性即可. 【详解】对于A，由于正弦函数是周期函数，由其性质知不满足上为增函数，故A选项错误； 对于B，，，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，不满足在上为增函数，故B选项错误； 对于C，，恒成立，所以函数在上为增函数，故C选项正确； 对于D，，， 故当时，，单调递减，当时，，单调递增， 不满足在上为增函数，故D选项错误； 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式中含的项为：，故含的项的系数为 4. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据是函数的极小值点求出的值，再列出表格求出的极大值 【详解】， 又是函数的极小值点，，. 经检验符合题意.. 令，，列表如下 极大值 极小值 的极大值为 5. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 6. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 7. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分为选派的四人中甲乙仅有其中一人和选派的四人中甲乙均有两种情况分别讨论，结合排列组合即可求出答案. 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 8. 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 9. 已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，求得，结合图象以及极大值点的定义可得出结论. 【详解】由图象可知，若虚线表示的为函数的图象， 当时，，则在上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，如下图所示： 因为，则， 由图可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，函数在、上单调递增，在、上单调递减， 故函数在区间上有两个极大值点， 故选：C. 10. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图象得，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得. 【详解】由，可得函数图象如下所示： 因为且， 所以，且， 所以， 令，， 则， 当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 二、填空题 11. 若，则_______；_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】赋值令可得；先令，再令，之后作差可得. 【详解】令可得； 令可得， 令可得， 两式相减可得. 故答案为：1；. 12. 已知函数，则其定义域为_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要使函数有意义，只须让真数，求解不等式即可得到函数的定义域；令，则，再根据复合函数的求导法则求导即可得到. 【详解】要使函数有意义，须满足，解得， 所以函数的定义域为； 令，则. 所以=. 故答案为：； 13. 双曲线的渐近线方程为___________ 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以其渐近线方程为. 14. 一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求的可能取值与每个值所对应的概率即可求解 【详解】的可能取值为，且 ，， ， 所以得分Y的均值， 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 16. 已知函数有三个零点，则______． ①若成等差数列，则成等比数列 ②若成等比数列，则成等差数列 ③若成等差数列，则数列的公差为 ④若成等比数列，则数列的公比为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①、③，由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，可得，即可求出，结合， 两边取对数运算可得，即可求出其公差；对于②、④，由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，进而得到，最后求出其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图 所以， 对于①、③，已知函数有三个零点， 令，即，可得，所以， 则，即， 若成等差数列，则，所以，故成等比数列. 由，则， 即，所以， 由，解得， 因为，所以， 则，即数列的公差为. 故①正确，③错误. 对于②、④，由，若成等比数列，则， 即，可得，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为. 故②、④正确. 三、解答题 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 18. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【小问1详解】 由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 19. 已知函数． （1）若函数为的导函数，判断在上的零点个数； （2）证明：当时，； （3）设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0个 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得； （2）构造，利用导数证明在上恒成立，即可证； （3）问题化为，上，，应用导数求它们的区间最大值，即可求. 【小问1详解】 由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； 【小问2详解】 令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； 【小问3详解】 由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 20. 已知椭圆Ｃ：的右顶点，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设O为原点，点为椭圆内第一象限内的点，射线与椭圆交于点D，与直线交于点P，求证： （3）在（2）的条件下，椭圆上是否存在点E，使，若存在，请直接写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的右顶点坐标可得到a的值，再结合离心率公式求出c的值，最后根据椭圆中a、b、c的关系求出b的值，进而得到椭圆方程. （2）先设出直线的方程，然后分别联立直线和椭圆方程、直线与直线的方程，求出两点的坐标，再根据向量的坐标运算分别计算出和，最后证得. （3）利用角相等的几何关系得到，再结合椭圆方程列条件，最后联立方程求解. 【小问1详解】 已知椭圆的右顶点，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 由，可得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 因为点为椭圆内第一象限内的点， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，， 整理得，解得， 因为直线与椭圆交于点D，则点在第一象限，所以， 将其代入，可得，即， 联立直线与直线，， 整理得，解得， 将其代入，可得，即， 根据向量的坐标运算，， ，所以. 【小问3详解】 已知椭圆C的方程为，设，满足， 在中，若，结合公共角, 可得，则，即， 由（2）知，，故， 故，故，而不共线，故或， 故或. 21. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 【答案】（1）为凸数列；不是凸数列 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据凸数列的定义和通项公式进行验证即可判断结果； （2）利用凸数列可得，累加求和，结合中间值可比较大小； （3）先判断为凸数列，结合凸数列的特点得出，根据的为，放缩可求答案. 【小问1详解】 ，所以，. ，而， 因为，即，所以为凸数列. ，则，所以， 而，因为，即，所以不是凸数列. 【小问2详解】 因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，即， 当时，有， 所以，故. 又，故. 因为，所以. 【小问3详解】 因为数列是凸数列，所以， ，当且仅当时，等号成立， 即为凸数列，所以，所以， 所以； 因为的所有项的和等于，所以， 所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列. 设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京清华附中朝阳学校高二（下）期中 数 学 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. 16 D. 24 4. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 5 5. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 8. 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若，则_______；_______. 12. 已知函数，则其定义域为_____，_____． 13. 双曲线的渐近线方程为___________ 14. 一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________． 15. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 16. 已知函数有三个零点，则______． ①若成等差数列，则成等比数列 ②若成等比数列，则成等差数列 ③若成等差数列，则数列的公差为 ④若成等比数列，则数列的公比为 三、解答题 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 18. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 19. 已知函数． （1）若函数为的导函数，判断在上的零点个数； （2）证明：当时，； （3）设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 20. 已知椭圆Ｃ：的右顶点，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设O为原点，点为椭圆内第一象限内的点，射线与椭圆交于点D，与直线交于点P，求证： （3）在（2）的条件下，椭圆上是否存在点E，使，若存在，请直接写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． （1）直接判断数列和是否为凸数列； （2）若是一个凸数列，证明：当，且时，有； （3）已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $