北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二下学期期中数学试题

### **基本信息** 2026清华附中朝阳学校高二下期中数学卷，以黄河口马拉松志愿者分配、AI大模型使用等真实情境为载体，通过导数应用、数列新定义等分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 ### **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|函数导数、排列组合、概率统计、圆锥曲线|结合图像分析函数极值点（第9题），体现几何直观| |填空题|6|二项式定理、双曲线渐近线、期望计算、椭圆离心率|设计函数零点与等差等比数列关系判断（第16题），考查推理能力| |解答题|5|导数综合、统计案例、椭圆证明、数列新定义|18题以AI使用数据求分布列与期望，培养数据观念；21题凸数列探究，发展创新意识|

2026北京清华附中朝阳学校高二（下）期中 数 学 一、单选题 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 4．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A． B．1 C．4 D．5 5．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 7．从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 8．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则_______；_______. 12．已知函数，则其定义域为_____，_____． 13．双曲线C：，则C的渐近线方程为________． 14．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________． 15.在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 16.已知函数有三个零点，则（   ） ①若成等差数列，则成等比数列 ②若成等比数列，则成等差数列 ③若成等差数列，则数列的公差为 ④若成等比数列，则数列的公比为 三、解答题 17．已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 18．不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 19．已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 20．已知椭圆Ｃ：的右顶点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为原点，点为椭圆内第一象限内的点，射线OC与椭圆交于点D，与直线交于点P,求证： (3)椭圆上是否存在点E,使，若存在，请直接写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列． (1)直接判断数列和是否为凸数列； (2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有； (3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $