精品解析：北京市第八十中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

北京市第八十中学2024-2025学年第二学期期中考试 高（二）数学 2025年4月 班级__________姓名__________考号__________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （    ） A. 32 B. 30 C. 26 D. 24 2. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数 C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率 4. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 6. 已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上单调递增； ④在处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 位于坐标原点一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 展开式中各项系数的和是______.（用数字作答） 12. 已知，，则_________. 13. 已知随机变量，满足，则__________. 14. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 15. 将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下） a b c c a b 16. 已知函数，其中存在三个零点，且，给出下列4个结论： ①； ②； ③取值范围为； ④若成等差数列，则； 则所有正确的结论的序号为__________. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 18. 已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数y＝f（x）的单调性． 19. 某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 20. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证： 21. 已知有穷数列A：，，…，，满足（），若存在一个正整数k（），使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0.因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. （1）判断数列A：1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （2）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； （3）假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且，求数列A的最后一项的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第八十中学2024-2025学年第二学期期中考试 高（二）数学 2025年4月 班级__________姓名__________考号__________ （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （    ） A. 32 B. 30 C. 26 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数与组合数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 2. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理即可得解. 【详解】由题意，不同的取法种数为种. 故选：C. 3. 袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数 C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的定义判断. 【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确； 选项C是一个事件而非随机变量，故C错误； 选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误． 故选：B. 4. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 6. 已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 7. 函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上单调递增； ④在处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确； 则是函数的极小值点，故①正确； 在上单调递增， 不是函数的最小值点，故②不正确； 函数在处的导数大于， 切线的斜率大于零，故④不正确． 故选：C． 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种情况， 要使甲和乙相邻，将甲和乙看作一个整体，再与其他两人进行排列， 因此共有种情况， 所以甲和乙相邻的概率是. 故选：B. 9. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，质点P移动六次后位于点，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点，在移动过程中向上移动4次向右移动2次， 则其概率为. 故选：C． 【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题. 10. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围． 【详解】解：在定义域内单调递增， ， 即， 即是方程的两个不同根， ∴， 设， ∴时，；时，， ∴是的极小值点， 的极小值为：， 又趋向0时，趋向；趋向时，趋向， 时，和的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数的取值范围是． 故选B． 【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 展开式中各项的系数的和是______.（用数字作答） 【答案】81 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得. 【详解】取，得展开式中各项的系数的和为. 故答案为：81 12. 已知，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 已知随机变量，满足，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的方差公式及性质计算即可. 【详解】易知. 故答案为：8. 14. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合优先特殊元素或特殊位置来解决问题. 【详解】第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种； 第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种； 第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种， 利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种， 故答案为：. 15. 将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下） a b c c a b 【答案】 ①. ②. （填0.6也对） 【解析】 【分析】分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数的概率，代入期望公式即可. 【详解】第一种：当每一列都不一样时有： 第一列三个全排有，第二列剩下的三个全排也有， 第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：， 所以总的基本事件个数有：， 当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有： ， 记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为， 则； 因为所得分数可能取值为：0，1，3， 则有：， 所以有 故答案为：； 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题. 16. 已知函数，其中存在三个零点，且，给出下列4个结论： ①； ②； ③的取值范围为； ④若成等差数列，则； 则所有正确的结论的序号为__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】将转化为，再根据的图象，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由得，即，即， 令， 则为直线a和函数图象的交点的横坐标； 的定义域为，且，故为奇函数； 又当时，，， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得极大值，且，，作的图象如下所示： 对①②：数形结合可知，，故，故①正确，②正确； 对③：若使得与有个交点，则，解得，故③错误； 对④：若成等差数列，则，即， 即，即，又，，则， 即，，也即，又，故，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：处理本题关键一是能够将函数的零点转化为图象交点的横坐标，从而数形结合解决问题；二是能够熟练应用导数处理函数单调性和最值的问题；属综合困难题. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取题目是选择题的概率； （2）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）由题意可能为，并求出对应概率，即得到分布列，进而求期望. 【小问1详解】 记第i次抽到选择题为，则； 【小问2详解】 可能为，， 分布列如下， 0 1 2 . 18. 已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数y＝f（x）的单调性． 【答案】（1） （2）在上单调递减,在上单调递增 【解析】 【分析】（1）求导，计算斜率，再用点斜式即可 （2）算出导函数的零点，分区间判断导函数的符号即可 【小问1详解】 定义域为,所以切点坐标为 ,即切线斜率为0 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 令,得 当单调递减 当单调递增 所以在上单调递减,在上单调递增 19. 某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】（1） （2）分布列见解析，； （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率. （2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可. （3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系. 【小问1详解】 设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A， 由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合， 其中男生成绩高于女生，， ，，. 所以事件A有17种组合 ，因此； 【小问2详解】 由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为. 因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 , ，，， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以，则； 所以. 20. 已知函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）若有极大值 （i）求取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）； （2）和； （3）（i）答案见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，判断导函数的正负，进而求得其单调性，再求极小值即可； （2）时，可得，也即的两根的大小是确定的，进而确定在不同区间，导函数函数值的正负，从而求得函数的单调增区间； （3）（i）对参数进行分类讨论，在时，分别求得其单调性，进而判断是否满足题意，从而求得参数范围； （i）根据（i）中求解的参数范围，在时，求得极大值，直接判断其与的大小即可； 当时，求得,再构造函数，判断其单调性，求得最小值，即可判断其与的大小关系，进而实现证明. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增； 由，即， 解得，所以在单调递减； 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 （i）当时，由（2）知，在和单调递增，在单调递减， 此时有极大值为； 当时，恒成立，故在上单调递增，没有极大值； 当时，，令，解得或， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 此时，有极大值； 当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，没有极大值； 综上所述，若有极大值，则； （ii）证明：当时，由上述分析可知，； 当时，； 令，所以， 在上，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，综上所述，. 21. 已知有穷数列A：，，…，，满足（），若存在一个正整数k（），使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0.因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. （1）判断数列A：1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； （2）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； （3）假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且，求数列A的最后一项的值. 【答案】（1）是，1，0，1，0，1 （2）11，理由见解析 （3）0 【解析】 【分析】（1）根据条件及给出的新定义判断: （2）结合所给出的新定义，分类讨论可得结果: （3）用反证思想进行推理，可得，即得答案. 【小问1详解】 解：数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1， 因为，，，，与，，，，按次序对应相等， 所以是“5阶可重复数列”，重复的这5项为1，0，1，0，1； 【小问2详解】 解：因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形． 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”； 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列． 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11． 【小问3详解】 由于数列在其最后一项后再添加一项0或 1, 均可使新数列是“4 阶可重复数列”， 即在数列的末项后再添加一项0或1，则存在， 使得，，，与，，，0按次序对应相等， 或，，，与，，，1按次序对应相等， 如果，，与，，不能按次序对应相等, 那么必有，，使得，，、，，与，，按次序对应相等. 此时考虑，和，其中必有两个相同， 这就导致数列中有两个连续的四项恰按次序对应相等， 从而数列是“4 阶可重复数列”，这和题设中数列不是“4 阶可重复数列” 矛盾. 所以，，与，，按次序对应相等，从而. 【点睛】方法点睛：使用反证法的基本步骤：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$