精品解析：2026年浙江宁波市中考全景复习指导（二）数学试题

浙江省2026年中考全景复习指导（二） 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线a，b被直线c所截，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第一、三象限 C. 当时，x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　 　）． A. B. C. D. 7. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，学生可根据自己的爱好选择一项．已知该校开设的体育社团有：篮球，：排球，：足球，：羽毛球，：乒乓球．李老师对某年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（ ） A. 选社团的有5人 B. 选社团的扇形圆心角是 C. 选社团的人数占体育社团人数的 D. 选社团的扇形圆心角比选社团的扇形圆心角的度数少 9. 如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图像上 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 关于x的不等式组的解集是_______________． 13. 深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 15. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 16. 如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、分别交于点F、G．若点F是的中点，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解分式方程：． 19. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，， 乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，， 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）根据题中数据，说明哪个班的成绩更好； （3）甲班共有学生人，乙班共有学生人，按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 21. 如图，内接于，且是的直径，的平分线与交于点D，与交于点E，过点D的切线与延长线交于点F． （1）求证：； （2）若的半径为2，，求弦的长． 22. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； （2）求线段所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 23. 已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 24. 已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点． （1）如图1，求的值． （2）如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长． （3）如图3，连结，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2026年中考全景复习指导（二） 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数． 2. 如图，直线a，b被直线c所截，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、邻补角的定义解答即可. 【详解】∵a∥b， ∴∠2=∠1=40°， ∵∠3与∠1是对顶角，∠5与∠2是对顶角， ∴∠3=∠5=40°， ∵∠4+∠1=180°， ∴∠4=180°-∠1=140°， 故选：D. 【点睛】此题考查相交线与平行线，掌握平行线的性质、对顶角相等、邻补角的定义是解题的关键. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是， 故选：C． 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第一、三象限 C. 当时，x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、当时，，当时，，因此点，都在函数图象上，A说法正确，不符合题意； B、∵，∴函数图象分布在第一、三象限，B说法正确，不符合题意； C、令，代入得，解得，在第三象限内随增大而减小，因此当时，，C说法正确，不符合题意； D、反比例函数仅在每个象限内随增大而减小，若两点不在同一象限，该结论不成立，例如取，，满足，此时，不满足，因此D说法错误，符合题意． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　 　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算得到答案．掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ，， ，， 与的相似比为， ， ， ， 故选：B． 7. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 8. 为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，学生可根据自己的爱好选择一项．已知该校开设的体育社团有：篮球，：排球，：足球，：羽毛球，：乒乓球．李老师对某年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（ ） A. 选社团的有5人 B. 选社团的扇形圆心角是 C. 选社团的人数占体育社团人数的 D. 选社团的扇形圆心角比选社团的扇形圆心角的度数少 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条形统计图中社团的人数和扇形统计图中社团的占比求出总人数，再依次计算出各社团的人数、占比及对应扇形圆心角，逐一验证每个选项的正误，选出不正确的结论． 【详解】解：∵选社团的人数为人，占比为． ∴总人数（人）． ∵选社团的占比为． ∴选社团的人数（人）．故项正确，不符合题意． ∵选社团的人数为人． ∴选社团的占比．选社团的扇形圆心角．故项正确，不符合题意． ∵选社团的人数（人）． ∴选社团的人数占比． ∵． ∴选社团的人数不占体育社团人数的．故项错误，符合题意． ∵选社团的人数为人． ∴选社团的占比． ∴选社团的扇形圆心角． ∵． ∴选社团的扇形圆心角比选社团的扇形圆心角的度数少．故项正确，不符合题意． 9. 如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定，由作图可知，进而可得，再根据三角形内角和定理可得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴的长． 10. 如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图像上 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合图像确定，结合点的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此段函数图像的对称轴为，过点作于点，连接，即，证明，利用相似三角形的性质可解得，故选项A错误；在中，由勾股定理可得，易得，故选项B正确；当点与点重合时，取最大值，解得此时 ，故选项C错误；当时，利用勾股定理解得，易得点不在该函数图像上，故选项D错误． 【详解】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段， 当点在线段上时，函数的图像为段， 当，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， 当点运动到点，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， ∴， 由函数图像可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像的对称轴为， 如下图，过点作于点，连接， 当点与点重合时，取最小值，即取最小值， ∴取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，故选项A错误，不符合题意； 在中，， ∴，故选项B正确，符合题意； 当点与点重合时，取最大值，即此时， ∵， ∴， 即，故选项C错误，不符合题意； 当时，如图，即， ∴， ∴， ∴点不在该函数图像上，故选项D错误，不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 12. 关于x的不等式组的解集是_______________． 【答案】−2≤x＜7 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式3x＋8≥2，得：x≥−2， 解不等式，得：x＜7， 则不等式组的解集为−2≤x＜7， 故答案为：−2≤x＜7． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13. 深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】2.1 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正切值求解即可． 【详解】∵，， ∴（米）． ∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米． 故答案为：2.1． 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有6种， ∴的概率是． 故答案为：． 15. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【解析】 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 16. 如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、分别交于点F、G．若点F是的中点，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，首先证明为直径，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而证明均为等腰三角形，可得，；证明，由相似三角形的性质可解得，进一步可得；证明，由相似三角形的性质进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴为直径， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，先根据完全平方公式与单项式乘以多项式进行计算，然后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为整式方程，求出解后，再代入检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验知：是原分式方程的解． 19. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析计算是解题的关键． （1）根据已知条件证明，利用证明三角形全等即可； （2）利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理计算即可； 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ， ，， 在和中， ，，， ． 【小问2详解】 在Rt中，， ， ，，， ，， 在Rt中，． 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，， 乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，， 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）根据题中数据，说明哪个班的成绩更好； （3）甲班共有学生人，乙班共有学生人，按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1），； （2）总体乙班成绩比较好，理由见解析； （3）估计这两个班可以获奖的总人数是人． 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，用样本估计总体，掌握数据统计分析方差、平均数、中位数、众数的定义是解题的关键． （）根据中位数和众数的定义求解即可； （）根据中位数、众数、平均数、方差的定义和意义求解即可； （）用总人数分别乘以各班样本中获奖人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为第，个学生竞赛成绩的平均数，即， ∴， 根据数据可知甲班成绩的众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：总体乙班成绩比较好，理由： ∵乙班成绩与甲班成绩的平均数相同，中位数、众数高于甲班；方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好， ∴总体乙班成绩比较好； 【小问3详解】 解：这两个班可以获奖的总人数为（人）， ∴估计这两个班可以获奖的总人数是人． 21. 如图，内接于，且是的直径，的平分线与交于点D，与交于点E，过点D的切线与延长线交于点F． （1）求证：； （2）若的半径为2，，求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，由直径所对的圆周角是直角结合角平分线的定义得到，则由圆周角定理可得，据此可证明结论； （2）连接，作，垂足为点G．由平行线的性质和同弧所对的圆周角相等可得．由勾股定理可得．求出，则，．证明，得到．则． 【小问1详解】 ）证明：如图，连接． ∵与相切， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，作，垂足为点G． ∵， ∴． ∴． 在中，． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴． ∴． 22. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； （2）求线段所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】（1）70， （2） （3）该海巡船能接收到该信号的时间有 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据图象，由计算A、C两海岛间的距离；根据速度路程时间求出海巡船的速度，再由时间路程速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出线段所表示的函数关系式；将分别代入线段所表示的函数关系式、线段所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为； 海巡船的速度为， 海巡船从A岛到达C岛用时， ， 故答案为：70，． 【小问2详解】 解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为， 当时，解得：； 当，解得：； ， 答：该海巡船能接收到该信号的时间有． 23. 已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案； （3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点，，， 二次函数图像的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，得， ， ， ， 解得， m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， 可分情况讨论： ①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图， 新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，如下图， 新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 24. 已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点． （1）如图1，求的值． （2）如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长． （3）如图3，连结，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，利用正弦的定义结合三角形面积公式即可求得结果； （2）延长，相交于点G，过点E作于点M，先证明，求得相关线段的长度，利用勾股定理得出的长度，通过角度和差关系得出，进而证得，从而求得结果； （3）过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，根据（1）的结论证得，利用菱形的性质得出当O，P，D三点共线时，取到最小值，从而得解． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作于点H， ∵，， ， ∵的面积为， ∴，即， ． 【小问2详解】 解：如图2，延长，相交于点G，过点E作于点M， 在菱形中，，点E是的中点， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，， 可得，，， 在中，， ，， ， 由（1）知，， ，即， ， ， ， ． 在菱形中，，， ， ， ， ， ， ∴当O，P，D三点共线时，取到最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $