专题强化06：异面角、线面角、面面角、距离【六大题型】训练-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间角与距离，以定义为基础、几何方法为核心，构建“概念-技巧-题型”三级训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角|异面角/线面角/二面角各含典例+2变式|定义法、三垂线法、垂面法|从定义到范围，再到几何求法，层层递进| |距离|点线面距离典例+2变式|转化法（点面距为核心）|距离与空间角概念关联，体现转化思想| |综合问题|存在性与最值/综合题各含典例+2变式|几何构造与代数推理结合|单一问题到综合应用，培养模型观念|

专题强化06：异面角、线面角、面面角、距离 【题型归纳】 · 题型一：异面直线所成的角 · 题型二：点线面距离问题 · 题型三：线面角问题 · 题型四：二面角问题 · 题型五：空间几何存在性问题与最值问题 · 题型六：空间角和距离综合问题 【技巧归纳】 技巧一：异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 技巧二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 技巧三　二面角的概念及其几何求法 一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例如　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 2、 三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.，求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 三、垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 【题型归纳】 题型一：异面直线所成的角 【典例1】．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 【变式2】．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 题型二：点线面距离问题 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式2】．（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 题型三：线面角问题 【典例3】．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1】．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 题型四：二面角问题 【典例4】．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【变式2】．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 题型五：空间几何存在性问题与最值问题 【典例5】．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【变式1】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【变式2】．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 题型六：空间角和距离综合问题 【典例6】．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 17．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面所成角的正切值； (4)求平面与平面所成角的余弦值． 【强化训练】 一、单选题 1．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高三上·广东广州·期末）若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 9．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 10．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 三、解答题 11．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 12．（25-26高一下·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 13．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 14．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 15．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点． (1)证明：平面． (2)求直线AE与直线所成角的余弦值． 16．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 17．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 18．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 19．（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 20．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 21（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，在矩形，，，是线段上的一点，将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内． (1)若平面平面，证明：平面平面； (2)设为的中点，取的中点，连接并延长，交延长线于点，设． ①用表示二面角的正切值； ②当二面角最大时，求四棱锥的体积． 22．（25-26高一下·浙江·期中）现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化06：异面角、线面角、面面角、距离 【题型归纳】 · 题型一：异面直线所成的角 · 题型二：点线面距离问题 · 题型三：线面角问题 · 题型四：二面角问题 · 题型五：空间几何存在性问题与最值问题 · 题型六：空间角和距离综合问题 【技巧归纳】 技巧一：异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 技巧二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 技巧三　二面角的概念及其几何求法 一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例如　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 2、 三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.，求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 三、垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 【题型归纳】 题型一：异面直线所成的角 【典例1】．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 【变式1】．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 【答案】/ 【详解】取中点，连接、、、， 由点是的中点，则且， 故或其补角即为直线与所成的角， 由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，故、， 由，，则， 又、， 则，， 则，则， 即直线与所成的角为. 【变式2】．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型二：点线面距离问题 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 【变式2】．（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【详解】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为 题型三：线面角问题 【典例3】．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； （2）由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 题型四：二面角问题 【典例4】．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）解：作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 【变式2】．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 题型五：空间几何存在性问题与最值问题 【典例5】．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 【变式1】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    【变式2】．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 题型六：空间角和距离综合问题 【典例6】．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在如图所示的三棱锥中，为高，为的中点，平面，. (1)求证:. (2)若. ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连接. ，分别为的中点，. 又平面，平面， 平面. 平面，，平面， 平面平面. 又平面平面，平面平面， . 在中，，，， ，， ，又，， 平面，又平面，. 又∵是中点，∴垂直平分, ∴. （2）由（1）可知，平面，平面，平面平面. 如图，过点作，为垂足，则平面， 为与平面所成的角. 在等边中，， 在中，由，可得， ， 又，与平面所成角的大小为，即正弦值为. ②设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 则由①可知， ∴. 17．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面所成角的正切值； (4)求平面与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且， 又因为，，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3）法一：可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、， 则、， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 由轴平面，则平面的法向量可取， 则， 故平面与面所成角的余弦值为， 则平面与面所成角的正切值为； 法二：因为平面，则在平面的投影为， 由梯形的性质可得，则平面，则在平面的投影为， 则在平面上的投影为， 设平面与面所成角为，则， ，， ， 则，则， 则，又， 则，则； （4）法一：由轴平面，则平面的法向量可取， 又平面的法向量为，则， 即平面与面所成角的余弦值为； 法二：由平面，则在底面上的投影为， 设平面与平面所成角记为，则. 【强化训练】 一、单选题 1．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 2．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 3．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 4．（25-26高三上·广东广州·期末）若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上底面半径为，母线长为，建立圆台侧面积与上、下两底面面积之和相等的关系式，可得，再由线面角定义即可求得结果. 【详解】依题意设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台的母线长为，如下图所示：    依题意可得，所以，可得； 过作平行于的直线交于点，圆台的母线与底面所成的角即为， 易知，由勾股定理可得, 因此，即圆台的母线与底面所成角的正弦值为. 故选：B 5．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 二、填空题 7．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可． 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 9．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 10．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则， 故二面角的正弦值为. 三、解答题 11．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 12．（25-26高一下·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 13．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【详解】（1）如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. （2）取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 14．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 15．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点． (1)证明：平面． (2)求直线AE与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）过点作，垂足为．通过，即可求证； （2）设，分别为，的中点，连接，，．确定为直线与直线所成的角或补角，进而可求解. 【详解】（1）在矩形中，，． 因为，，平面， 所以平面．因为平面，所以，即． 因为平面，平面，所以． 过点作，垂足为． 又，，，，， 所以，即． 又，平面， 所以平面． （2）设，分别为，的中点，连接，，． 在中，．因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可得为直线与直线所成的角或补角． 过点作，垂足为，连接． 又，，，，， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 16．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 18．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【详解】（1）连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM；    （2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为；    （3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或，    19．（25-26高一下·福建三明·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 20．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）连接，如图所示，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点，连接，如图所示，又是棱的中点，所以， 又底面是边长为2的正方形，是棱的中点，所以， ，所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （3）由（2）知平面，又平面平面平面，所以，所以， 取的中点，连接，则，所以或其补角为直线与所成的角. 因为四棱锥的所有顶点都在球的球面上， 所以球的半径， 所以球的表面积，解得. 记，连接，又平面平面， 所以，所以， 所以， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 21（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，在矩形，，，是线段上的一点，将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内． (1)若平面平面，证明：平面平面； (2)设为的中点，取的中点，连接并延长，交延长线于点，设． ①用表示二面角的正切值； ②当二面角最大时，求四棱锥的体积． 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 而平面，因此平面平面． （2）①如图： 在矩形中，因为，，是线段的中点，是线段的中点， 所以， 因为，，是线段的中点，所以． 因为，、平面，所以平面， 而平面，因此平面平面． 在平面内，过作，交于， 而平面平面，因此平面． 在平面内，过作，交于，则． 因为平面，平面，所以， 而，、平面， 因此平面，而平面，所以． 因为，，所以是二面角的平面角． 在中，因为，， 所以，． 在矩形中，因为，， 所以， 因此在中，． ②因为，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，所以， 而，因此，所以当，时，二面角最大， 所以当二面角最大时，四棱锥的体积为 ． 22．（25-26高一下·浙江·期中）现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【详解】（1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点.又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面.又平面， 所以平面平面； （2）（ⅰ）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，，所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $