立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何空间角与距离核心问题，以递进式知识逻辑构建专项训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线线角问题|3例+3变式|结合正方体、四面体等几何体，涉及证明与异面直线成角计算|从线线位置关系切入，培养空间观念与几何直观| |线面角问题|3例+3变式|以四棱锥、正四面体为载体，融合线面垂直证明与线面角求解|承接线线角，深化线面关系认知，发展推理能力| |面面角问题|3例+3变式|通过翻折、四棱锥模型，考查二面角的构造与计算|递进至面面关系，强化空间想象与逻辑推理| |点到平面距离问题|3例+3变式|结合四棱台、直三棱柱等，渗透体积法与距离转化思想|综合空间角知识，提升数学应用与问题解决能力|

立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 考点目录 线线角问题 线面角问题 面面角问题 点到平面距离问题 考点一 线线角问题 例1．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四面体 的各棱长均为2 (1)求四面体 的表面积； (2)求四面体 的体积； (3)求异面直线和 所成角的正弦值. 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】（1）由三角形面积公式求得一个面面积，即可求解； （2）确定四面体的高，结合体积公式即可求解； （3）取中点，连接、，通过证明平面，即可求解. 【详解】（1）由题意可知该四面体为正四面体，4个面都是全等的边长为2的正三角形， 单个正三角形的面积为： ， 因此四面体的表面积为： ； （2） 设在底面的投影为，由正四面体结构可知：是正三角形的中心， 又正三角形的高为​， 则， 因此四面体的高， 底面积​， 由体积公式： ； （3） 取中点，连接、， 因为，所以；同理，所以， 又，平面， 因此平面， 而平面，故， 即异面直线与所成角为，， 所以异面直线MA和BC 所成角的正弦值是1. 例3．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 变式1．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值： (2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，并求其长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作辅助线，找异面直线所成角，求出相应的边结合余弦定理求解即可. （2）根据题意分析点的位置，根据已知条件结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示： 在正方体中， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角， 由为棱的中点，正方体的棱长为， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以在中，由余弦定理得：. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交于的延长线于点，连接，如图所示：                  在正方体中，由，，且为棱的中点， 所以， 所以，所以， 所以， 因为， 在中，由余弦定理得：， 即，所以. 变式2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 变式3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 考点二 线面角问题 例1．（25-26高一下·山西忻州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【详解】（1）证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. （2）证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 例2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 例3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理与性质； （2）通过线面垂直来确定射影，再求出相应的线段长度，从而求线面角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. （2）如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 变式2．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 变式3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）利用全等三角形性质推理得证. （3）求出PO长，并利用（2）的结论，结合线面角的定义求解. 【详解】（1）连接并延长交于点，连接，， 由是的重心，得是的中点，而是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 又是的中点，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，则平面平面， 又平面，所以平面. （2）在正四面体中，，， 则，而， 因此，所以. （3）连接，，由是正三角形的重心，得平面， 则直线与平面所成的角为， 由正四面体的每条棱长为2，得， 则，又，， 于是，由（2）知， 在中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 面面角问题 例1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②二面角的正切值为 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 例2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 例3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 变式1．（25-26高二上·四川自贡·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先证明平面，由线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由题可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，然后在中根据求解即可； （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点，可证得二面角的平面角是，然后在中根据求解即可. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴，∵，∴平面， ∵平面，∴，又是的中点，，∴， ∵，所以平面． （2）∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形，又是的中点，，∴，∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为． （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面，∵平面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴，∴二面角的平面角是， ∵平面，平面，∴， ∴是直角三角形，∴二面角的正弦值， ∵，∴，由（1）得平面且平面，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴二面角的正弦值． 变式2．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 变式3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，再证平面，即可证； （2）由可求； （3）为二面角的平面角，求出，可求. 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）连接交于点，如图所示： 则，又因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 （3）由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 考点四 点到平面距离问题 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 例2．（25-26高一下·重庆江北·期中）如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正三棱锥的特征和棱锥的侧面积等于底面积的倍列式即可求解； （2）根据等体积法求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即， 而是的中点，所以. 因为是正三棱锥，所以， 而是的中点，所以. 因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以， 所以. （2）设顶点在底面的投影为，分的比为， 因此. 在中，三棱锥的高. 三棱锥的体积， 因此. 设点到平面的距离为，， 由体积公式， 解得. 例3．（25-26高一下·福建·期中）如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D． (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意分别计算即可； (2)根据对称性找到球心，求出半径即可； (3)利用等体积法即可 【详解】（1）由题意得， ，从而， 所以AD⊥，所以， ，因为，，， ，， 所以， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为． （2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O， 取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r， 根据正弦定理，则，因为， 所以，在Rt△AOH中，， 所以直三棱柱外接球的表面积 （3）因为三棱柱是直棱柱， 所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC， 三棱锥的体积 设点到平面的距离为h，则 所以 变式1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，． (1)证明：四面体为鳖臑； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到⊥，为直角三角形，由题目条件得到⊥平面，⊥，为直角三角形，结合为直角三角形，得到结论； （2）由等体积法进行求解，得到点C到平面的距离. 【详解】（1）四边形中，，，，， 由勾股定理得，且， 故. 在中，由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形. 因为平面，，故平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以⊥平面， 又因为平面，所以⊥， 故为直角三角形. 因为平面，平面，所以，， 所以为直角三角形. 综上，四面体为鳖臑； （2）， 因为平面，且，所以， 由（1）知⊥，在中，由勾股定理得， 所以， 设点C到平面的距离为，其中， 所以，点C到平面的距离为. 变式2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．      (1)求证： 平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面．                            （2）因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 变式3．（24-25高一下·重庆·月考）如图，三棱锥中，是等边三角形，，为的中点． (1)是上的一点，若平面，则确定点的位置，并证明； (2)证明：； (3)若，，，求到平面的距离． 【答案】(1)是中点，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取中点，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）设的中点为，连接，证得、，结合线面垂直的判定和性质，即可证得； （3）过点作，证得平面，求得，再由余弦定理，求得，以及，结合，即可求得到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：设的中点为，连接， 因为是等边三角形，则， 由中位线定理知且，则， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）解：由（2）知，平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面， 过点作，平面，所以平面， 由， 则， 又因为，则，， 由余弦定理， 因为， 由余弦定理得，所以， 所以，即到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 考点目录 线线角问题 线面角问题 面面角问题 点到平面距离问题 考点一 线线角问题 例1.(25-26高一下·北京·期中)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E为DD,的中点 D E B 'D B (1)求证：BD/I平面AEC; (2)取CC中点F,求证：平面AEC1I平面BFD (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值 例2.(25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中)己知四面体M-ABC的各棱长均为2 M B (1)求四面体M-ABC的表面积： (2)求四面体M-ABC的体积； (3)求异面直线MA和BC所成角的正弦值 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高一下·安徽六安期中)如图，等腰梯形ABCD中，AB/1CD,CD=2AB=2AD=4,AE⊥CD, 垂足为E,将ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上， 且N-BM NC MP 2 P E M B (I)求直线BC与直线PA所成角的余弦值 (2)求证：MN//平面PCE 变式1.(25-26高一下·江苏泰州期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为棱BB,的中点. D C P D-- C (I)求异面直线D,P与AB所成角的余弦值： (2)设直线DP与平面ABCD交于点Q,请在答题卡上作出线段CQ,并求其长度， 2 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 变式2.(25-26高一下·浙江杭州期中)如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为 正三角形，PB=PC=3,点E在PB上 B (I)若E为中点，求证：PD/平面AEC; (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF11平面AEC?并证明你的结论 变式3.(24-25高一下·安徽合肥期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=A4,D为棱BC的中点. A B (1)证明：AB/平面ADC; (2)求异面直线A,B与AD所成角的余弦值. 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 考点二 线面角问题 例1.(25-26高一下山西析州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2, PA⊥平面ABCD,且M是PD的中点 A D B (1)求证：PB/1平面ACM (2)求证：AM⊥平面PCD; (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值 例2.(25-26高一下·天津蓟州·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°， AD=AC=1,O为AC中点，P0⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点. M D B A (1)证明：PB/1平面ACM; (2)证明：AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值. 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高一下·湖南长沙·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角 梯形，ADIIBC.,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,N为PB的中点，PCn平面AND=M. M (1)求证：MNIIBC; (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值. 变式1.(25-26高一下·四川成都期中)如图，己知正四面体P-ABC的棱长为2√3，Q为底面△ABC的外心，D为 AB中点 P B 0 (1)连接PQ,证明：PQ⊥平面ABC (2)设PC的中点为E,求DE与平面PBC夹角的正弦值. 5 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 变式2.(25-26高二上·上海·月考)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1,BE=BF=2,∠CBF=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图②. D D E(F G B G B 图① 图② (1)证明：DG∥平面ABC; (2)求直线AG与平面ABC所成角的正切值 变式3.(24-25高一下·甘肃白银期末)如图，在棱长为2的正四面体PBCD中，O是△BCD的重心，E是PB的中 点延长BD到A,使得DA=BD E y1 (1)证明：OE∥平面PAC (2)证明：AC=AP (3)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值， 6 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 考点三 面面角问题 例1.(25-26高一下·湖南长沙·期中)如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=AD=2,∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点 B (1)求证：平面PAC⊥平面POB; (②点M在棱PC上，满足PM=APC(0<元<)，且三棱锥P-ABM的体积为 3 ①求元的值； ②二面角M-AB-D的正切值， 例2.（2526商一下-浙江~期中)图，在平行四边形48CD中，4B=24D=4A=骨点E为B的中点，将 ADE沿直线DE翻折成△A,DE(点A不在面BCDE内)，点F为A,C的中点.在ADE翻折过程中， (I)证明：直线FB∥平面ADE: (2)若A,C=V10,求二面角A-DE-C的大小 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高一下·浙江温州期中)如图：等边三角形ABC和直角三角形ADC,∠ADC=90°，∠CAD=60, AD=1,△ABC绕AC翻折，使点B到达点P. B (1)求三棱锥P-ACD的体积最大值； (2)当AD⊥PC时，求直线AP与平面ADC所成角的正弦值； (3)求三棱锥P-ACD表面积最大时，二面角P-AC-D的余弦值. 变式1.(25-26高二上·四川自贡·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面ABCD,且M是PD的中点. D M C (I)求证：AM⊥平面PCD; (2)求异面直线CD与BM所成角的正切值； (3)求二面角M-AC-D的正弦值. 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 变式2.(25-26高二上·重庆开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PAB⊥平面 ABCD,且AB=2V5,PA=2,PB=4,∠ACB=90°. D D B (I)求证：BC⊥PC; (2)当AC=2时，求点D到平面PAB的距离； (3)当2≤AC≤3时，求二面角A-PB-C的正切值的取值范围. 变式3.(24-25高一下·安徽合肥期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,E是PC的中点，点F在 棱BP上，且EF⊥BP,四边形ABCD为正方形，PD=CD=2, F D B (I)证明：BP⊥DF; (2)求点F到平面BDE的距离； (3)求二面角F-DE-B的余弦值. 0 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 考点四 点到平面距离问题 例1.(25-26高一下·安徽阜阳期中)如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D,中，DD,⊥平面ABCD,两底面均为正方形， AB=6,DD=5,AB,=2,点E在线段BD上，且DE=5EB. B (1)证明：D,E/平面A,BC. (2)求点B到平面A,BC,的距离. 例2.(25-26高一下·重庆江北期中)如图，正三棱锥S-ABC中，底面边长是√2，棱锥的侧面积等于底面积的√5 倍，M是BC的中点.求： S M B ④4W的值： SM (2)点M到面SAB的距离， 9 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高一下·福建·期中)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC是正三角形，AB=2,AA=2√2， BC边上的中点为D. A B D B (1)求三棱柱ABC-A,B,C,截去三棱锥C,-ACD后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱ABC-A,B,C,外接球的表面积； (3)求点B到平面AC,D的距离. 变式1.(24-25高一下·湖南长沙·期末)《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖懦.如图， EA⊥平面ABCD,FC∥EA,四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AE=2,CD=CF=4. A (1)证明：四面体BCFD为鳘懦； (2)求点C到平面BDF的距离. 11 立体几何初步：线线角问题、线面角问题、面面角问题、点到平面距离问题专项训练 变式2.(24-25高一下·湖北武汉·期末)如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯 形，BC//AD,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC=4,E为PD中点. D E (1)求证：CE//平面PAB; (②)求点D到平面PBC的距离. 变式3.(24-25高一下·重庆月考)如图，三棱锥A-BCD中，△ACD是等边三角形，∠BDC=90°，E为BC的中 点 B (I)M是AB上的一点，若EMI/平面ACD,则确定点M的位置，并证明； (2)证明：AE⊥CD: (3)若BD=2V3,CD=2,tan∠ACB=-√63，求E到平面ACD的距离. 12