专题训练 几何法求异面直线所成的角-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题训练 几何法求异面直线所成的角（详解版） 知识回顾： 1．两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的________的角的大小． 2．一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中________，分别作与________的直线，，则所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小． 3．规定空间中两条平行直线所成角的大小为________．两条直线所成的角也称为两条直线的夹角，范围是________，特别地，空间中两条直线所成角的大小为时，称与垂直，记作________． 【答案】 不大于直角 任意一点 平行或重合 0° 专题训练： 一、单选题 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，易得，则是直线与所成角，进而求解即可. 【详解】连接， 根据正方体的性质可知， 所以是直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 即直线与所成的角的大小为. 故选：C 2．如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（    ） A．互相平行 B．相交且夹角为 C．异面且夹角为 D．异面且互相垂直 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类 【分析】先将平面展开图还原成正方体，结合正方体的性质再判断求解. 【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示， 则B，C两点重合，可知与相交，连接， 则，可知为正三角形，所以与的夹角为. 故选：B. 3．已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用补形法，可通过平行直线得异面直线所成角，并利用余弦定理求余弦值，即可作出判断. 【详解】由直三棱柱往下延伸再作一个高相等的直三棱柱，如图：    由于可得四边形是平行四边形， 所以，即或其补角是直线与直线所成角， 由直三棱柱的所有棱长均为2， 所以， 由余弦定理得：， 即直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 4．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 6．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 7．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 8．异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 综上，满足条件的直线的条数为2. 故选：C. 二、多选题 9．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形，其中两条侧棱长都为，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．该阳马的表面积为 D．该阳马外接球的表面积为 【答案】AD 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、球的表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】由已知可得各棱的长度，由平行关系可得异面直线夹角，根据余弦定理判断A；根据线面垂直可判断B；根据各面面积之和可得表面积判断C；求出外接球球心位置即得外接球半径判断D. 【详解】 因为四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形， 设，， 所以在中，， 因为在中，， 所以中，； 对于A，因为，所以（或其补角）是直线与所成的角， 由余弦定理， 所以，A正确； 对于B，连接，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线与所成的角为，B错误； 对于C，该阳马的表面积， C错误； 对于D，阳马的外接球直径是以为棱的长方体的体对角线，即， ，则半径，外接球表面积，D正确. 故选：. 10．如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，为顶点，则满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由异面直线夹角定义，可逐项求角判断. 【详解】对于A，过作，连接， 是底面的中心分别为中点，即， 所以是等腰三角形，又是中点，， ，，，即，故A正确； 对于B，连接 由题知，是底面的中心，即是中点，， 又，所以，故B正确； 对于C，设的中点为E，连接， 因为分别是中点，所以， 即就是异面直线所成角或其补角， 又在正方体中，设边长为，则，， ，所以不满足，故C错误； 对于D，设中点为E，连接， 因为分别是中点，所以，又，所以， 即就是异面直线所成角或其补角， 在正方体中，设边长为，则， ，，所以，即， ，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 12．空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【答案】或. 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理解三角形 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 四、解答题 13．如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、余弦定理解三角形 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 14．在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，过点E作的平行线交于点O，连接．通过得到，结合得到，得到，从而得到与所成的角即为和所成的角，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到和所成的角． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 15．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 几何法求异面直线所成的角（学生版） 知识回顾： 1．两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的________的角的大小． 2．一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中________，分别作与________的直线，，则所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小． 3．规定空间中两条平行直线所成角的大小为________．两条直线所成的角也称为两条直线的夹角，范围是________，特别地，空间中两条直线所成角的大小为时，称与垂直，记作________． 专题训练： 一、单选题 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 2．如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（    ） A．互相平行 B．相交且夹角为 C．异面且夹角为 D．异面且互相垂直 3．已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 8．异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为1的正方形，其中两条侧棱长都为，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．该阳马的表面积为 D．该阳马外接球的表面积为 10．如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，为顶点，则满足的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 12．空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 四、解答题 13．如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 14．在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 15．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $