第十九章二次根式第1节二次根式及其性质知识点练习题 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

**基本信息** 初中数学第十九章二次根式第1节同步练，聚焦新授课场景，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识深化，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次根式定义、有意义条件|以选择（如判断二次根式）、填空（如求字母取值）为主，强化概念辨析与简单计算| |能力提升|双重非负性、性质应用|含多条件有意义问题（如分式与根式结合）、性质辨析（如(√a)²与√a²区别），培养推理意识| |综合应用|跨知识点结合、实际情境|几何应用（等腰三角形周长）、实际问题（钟摆周期计算），体现模型意识与应用能力|

第十九章二次根式第1节二次根式及其性质 知识点 （1）①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. ②如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用(a≥0)表示. ③我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. （2）①一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式. “”称为二次根号. ②注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0. ③两个必备特征 （3）二次根式有意义的条件(被开方数≥0) （4）①单个二次根式如有意义的条件:A≥0； ②多个二次根式相加如++...+有意义的条件： ③二次根式作为分式的分母如有意义的条件A＞0； ④二次根式与分式的和如+有意义的条件:A≥0且B≠0. （5）（）2（a≥0）的性质：①一般地，（）2＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. ②注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. （6）的性质：①==，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. （7）二次根式的双重非负性：具有双重非负性：①a≥0:②≥0. ②()2与的区别与联系 1.区别：①取值范围不同 ②运算顺序不同 ③运算结果不同：()2=a，= 2.联系：①()2与均为非负数；②当a≥0时，（)2= （8）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. （9）列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 练习题 第 1 课时 二次根式的概念 １．下列式子中，是二次根式的是（ ） Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ． ２．若是二次根式，则ｘ的值为 ． ３．一个正方体包装箱的表面积为５４００ ｃｍ２，则这个正方体包装箱的棱长为 ． ４．若在实数范围内有意义，则实数 ｘ 的值可以是 （ ） Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２ ５．当 ｘ＝５ 时，下列二次根式没有意义的是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６．若是有理数，则满足条件的最大正整数 ａ 的值是 ． ７．当ｘ是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （１）． （２） （３）． （４）＋ｘ－２． 8.若在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） 9.如果代数式＋有意义，那么在平面直角坐标系中，点Ｐ（ｍ，ｎ）在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 １０．若实数ｘ，ｙ 满足ｙ＝＋－６，求ｘ＋ｙ的值．下面是小明的部分解题过程： （１）请你将解题过程补充完整． 【解决问题】 （２）已知ａ，ｂ 分别为等腰三角形的两条边长，且ａ，ｂ 满足ｂ＝５＋＋，求该三角形的周长． 第 2 课时 二次根式的性质 １．已知＋ ｜ｙ－２ｘ｜＝ ０，则 ｘｙ 的值是 （ ） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ ２．实数 ｘ，ｙ 满足＋４ｘ２＋４ｘｙ＋ｙ２＝０，则 ｙｘ的值为（ ） Ａ．１６ Ｂ． Ｃ．－１６ Ｄ．－ ３．当 ｘ＝ 时，－５取最小值，其最小值为 ． ４．若ｍ，ｎ为实数，且（ｍ＋４）２＋＝０，则（ｍ＋ｎ）２的值为 ． ５．下列计算结果正确的是 （ ） Ａ．（）２＝５ Ｂ．（）２＝０.２ Ｃ．（3）2＝６ Ｄ．（）2=2 ６．（）2的算术平方根是 （ ） Ａ．３６ Ｂ．６ Ｃ．３６２ Ｄ．±６ ７．计算： （１）（）２． （２）［］２． （３）－（）２． （４）（２）２． （５）（－）２． （６）（2）２． 8.下列式子中，正确的是 （ ） Ａ．＝０.３ Ｂ．＝± Ｃ.＝－４ Ｄ.±＝±７ ９．已知｜ａ｜＝５，＝７，且＝ｂ－ａ，则ａ＋ｂ的值为 （ ） Ａ．－１２ Ｂ．１２ Ｃ．－２ 或－１２ Ｄ．１２或２ １０．如图，数轴上点 Ａ 表示的数为ａ，化简＋的值是 ． １１．计算：＋＋６＋（－１）０． １２．若ｘ＜３，化简＋｜４－ｘ｜． 小杰的解答过程如下： 解：原式＝＋（４－ｘ） …………… 第一步 ＝ｘ－３＋４－ｘ ……………………………… 第二步 ＝１．……………………………………… 第三步 （１）小杰的解答从第 二 步出现了错误． （２）请你写出正确的解答过程． １３．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间 ｔ（单位：ｓ）与钟摆的长度ｌ（单位：ｍ）之间满足 ｔ＝２π，假如钟摆的长度为 ０.２ｍ．求摆动一个来回所用的时间．（π≈３，ｇ＝９.８ｍ/ｓ２） １４．已知－１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，则化简－的结果正确的是（ ） Ａ.－ａ－ｂ＋１ Ｂ.－ａ＋ｂ＋１ Ｃ.ａ－ｂ－１ Ｄ.ａ＋ｂ－１ １５．已知＝－１，则化简＋的结果为（ ） Ａ．－２ａ Ｂ．２ａ Ｃ．２ａ＋ Ｄ．－ １６．实数 ａ，ｂ 在数轴上的对 应 点 的 位 置 如 图 所 示， 化 简 －＋＝ ． １７．已知 ｎ 是正整数，是整数，则 ｎ 的最小值为 ． １８．已知 ａ 满 足｜２０２５－ａ｜＋＝ａ． （１） 使有意义的ａ的取值范围是 ．在这个条件下将｜2025－ａ｜去掉绝对值符号可得｜２０２５－ａ｜ ＝ ． （２）根据（１）的分析，求 ａ－２０２５２ 的值． １９．阅读下列解题过程． 例：若代数式＋的值是 ２，求 ａ的取值范围． 解：原式＝｜ａ－１｜＋｜ａ－３｜，当ａ＜１ 时，原式＝（１－ａ）＋（３－ａ）＝４－２ａ＝２，解得ａ＝ １（舍去）； 当１≤ａ≤３ 时，原式＝（ａ－１）＋（３－ａ）＝２，符合条件； 当ａ＞３时，原式＝（ａ－１）＋（ａ－３）＝２ａ－４＝２，解得 ａ ＝ ３（舍去）．综上，ａ的取值范围是 １≤ａ≤３． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法．请你根据上述材料，解答下列问题： （１）当 ２≤ａ≤３ 时，化简＋＝ ． （２）若等式＋＝４成立，则ａ的取值范围是 ． （３）若＋＝８，求ａ 的值． 答案 第 1 课时 二次根式的概念 1.Ｂ ２．４ ３．３０ｃｍ ４．Ｄ ５．Ｄ ６．10 ７．解析 （１）由 ２－３ｘ≥０ 得 ｘ≤，所以当 ｘ≤时，在实数范围内有意义． （２）因为 ２ｘ２≥０，所以 ２ｘ２＋３≥３＞０，所以当ｘ取全体实数时，在实数范围内有意义． （３）由题意可知解得 ｘ≥－５且ｘ≠２，所以当ｘ≥－５且ｘ≠２时，在实数范围内有意义． （４）由ｘ＋３≥０ 且ｘ≠０ 得，ｘ≥－３且ｘ≠０，所以当ｘ≥－３且ｘ≠０ 时， ＋ｘ－２在实数范围内有意义． 8.Ｄ 9.Ｃ １０．解析 （１）补全过程如下： 则 ｘ≥２且ｘ≤２， ∴ｘ＝２， ∴ ｙ＝＋－６ ＝－６， ∴ｘ＋ｙ＝２＋（－６）＝－４． （2）若要使该式子有意义，则需要同时满足ａ－３≥０，６－２ａ≥０，则ａ≥３且ａ≤３， ∴ａ＝３， ∴ ｂ ＝ ５＋＋＝５， ∵ ａ，ｂ分别为等腰三角形的两条边长， ∴ 当腰长为３时，３＋３＞５， ∴该三角形的周长为３＋３＋５＝１１；当腰长为５时，３＋５＞５， ∴该三角形的周长为 ３＋５＋５＝１３． 综上所述，该三角形的周长为 １１或 １３ 第 2 课时 二次根式的性质 １．Ｃ ２．Ｂ ３．－ －５ ４．１ ５．Ｂ ６．Ｂ ７．解析 （１）（）２＝ １.４． （２）［］２＝ （）２＝１１． （３）－（）２＝－０．０１． （４）（２）２＝２２×（）２＝４×３＝１２． （５）（－）２= （６）（2）２＝６． 8.Ｄ ９．Ｄ １０．５ １１．解析＋＋６＋（－１）０ ＝３＋４＋６×＋１ ＝３＋４＋９＋１ ＝１７． １２．解析 （１）二． （２）原式＝＋（４－ｘ）＝３－ｘ＋４－ｘ＝７－２ｘ １３．解析 ｔ＝２π≈２×３×＝６×＝（ｓ）． 答：摆动一个来回所用的时间约为ｓ． １４．Ｄ １５．Ａ １６．－２ａ １７．７ １８．（１）∵有意义， ∴ａ－２０２６≥０，解得 ａ≥２０２６， ∴ ｜２０２５－ａ｜＝ａ－２０２５， 故答案为 ａ≥２０２６；ａ－２０２５． （２）由（１）得 ａ－２０２５＋＝ ａ， ∴ａ－２０２６ ＝ ２０２５， ∴ａ－２０２６ ＝ ２０２５２，即 ａ－２０２５２＝ ２０２６ １９．解析 （１）∵ ２≤ａ≤３， ∴ ａ－２≥０，ａ－５＜０， ∴ 原式＝｜ａ－２｜＋｜ａ－５｜＝ａ－２－（ａ－５）＝３， （2）３≤ａ≤７ （3）6或－2 学科网（北京）股份有限公司 $