精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高一下学期5月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期5月自主学习评估 高一数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ） A. 有无数条 B. 有两条 C. 有三条 D. 有一条 8. 设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为的中点 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 13. 已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则到的距离为__________. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则__________；的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，向量，，． （1）若，求的值； （2）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 16. 已知，． （1）求； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 19. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期5月自主学习评估 高一数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式逆用即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，， 则， 还原直观图，则， ． 3. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误， 对于B，若，则或相交，故B错误， 对于C， 若，则，C正确， 对于D， 若，则或，故D错误， 故选：C 4. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式得到，利用及向量数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 故选：D. 5. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，进行化简，根据三角函数单调性，判断大小. 【详解】因为，所以， 根据正切两角和的公式得， 根据二倍角公式可知， 根据余弦函数在上单调递减，且值域为，所以， 正切函数在上单调递增，所以， 所以， 故选：D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 三角形面积，则 ， 即， ， ， ， ． 7. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ） A. 有无数条 B. 有两条 C. 有三条 D. 有一条 【答案】C 【解析】 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到， 所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 8. 设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，则，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点， 如图，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， ， ， 可得， ∵，则， ∴. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 10. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为的中点 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则可得A正确；由三角形重心的向量表示可得B正确；结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律以及数量积的定义可得C错误；由向量的加法法则结合三点共线的性质可得D错误. 【详解】对于A，当时，，故A项正确； 对于B，由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点， 所以，故B项正确； 对于C，当时，，， 则，故C项错误； 对于D，当时，设， 由，，三点共线，得，解得，故D项错误． 故选：AB． 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则到的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】令于，于，平面，则， 由，得， 又是平面内的两条相交直线，则平面， 又平面，于是， 是二面角的平面角，， 则，在中，由余弦定理得， 而到的距离是四边形外接圆直径， 所以. 故答案为： 14. 记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则__________；的最小值为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合题中关系可得，即可分析最值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为， ， 即， 可得， 且，则，可得， 则， 且，所以； 因为， 由正弦定理可得， 由题意可知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，向量，，． （1）若，求的值； （2）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得的坐标，根据数量积为0列方程求解即可； （2）设，由题意，由此即可列方程求解. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 得； 【小问2详解】 设，因为点在线段的延长线上且， 所以， 所以，解得：， 所以点的坐标为. 16. 已知，． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果. （2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. 【小问2详解】 由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. 17. 已知函数． （1）已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦函数的奇偶性求得的解析式，利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，求出给定区间上的最小值，将问题转化为，解不等式即得结果； （2）由函数图象所过点的坐标求得的解析式，利用正弦函数性质求得，利用二倍角公式变形，结合二次函数性质分类讨论求得，而题中不等式成立等价于，由此可得参数范围． 【小问1详解】 因为是偶函数，且，所以，， ， 当时，， 所以当 ，即时，在上取得最小值. 若存在，使不等式成立，则，即，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使 成立， 则， 函数的图象过点，则， 又，所以， 所以，解得， 所以， 当时，，所以当，即时，取得最大值， . 当时，， 若，则当时，取得最大值， 由得，解得，所以； 若，则当时，取得最大值， 由得，,所以； 若，则当时，取得最大值， 由得，,所以. 综上，． 所以实数的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定得平面，再由线面平行的性质即可证； （2）在平面内作于H，利用线面垂直的判定及性质定理即可证； （3）若是的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以. 【小问2详解】 在平面内作于H， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，则 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. 【小问3详解】 若是的中点，连接， 由（2）知，，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得，， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 19. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）（i）0；（ii）3 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【小问1详解】 （i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； 【小问2详解】 设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $