江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 聚焦高一核心知识，通过选择、填空、解答题分层考查复数、向量、立体几何及三角函数，突出空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数虚部、向量化简、圆锥轴截面面积、正方体线面角|单选题第3题结合扇形弧长考查圆锥空间关系，多选题第11题解三角形综合判断推理能力| |填空题|3/15|正方体线面角正切值、三角恒等变换、锐角三角形边的范围|第14题结合正弦定理与锐角条件，考查数学思维的严谨性| |解答题|5/77|复数运算、正方体面面垂直证明、向量与三角函数综合、解三角形、菱形与立体几何综合|第16题正方体证明体现逻辑推理，第19题结合菱形与线面角，综合考查空间观念与运算能力|

高一数学答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 A D D C C D B 8 9 10 11 A ABD ABC ABD 2、 填空题 12. 13.1 14. 一、单选题（本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. 已知复数（虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，可得虚部． 【详解】， 则复数的虚部为， 故选：A 2. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得. 【详解】；； ；. 故选：D 3. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则，解得， 又，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：D 4. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以. 故选：C 5. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据斜二测画法还原平面图如图，则. 故选：C 6. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 由得的角平分线与垂直，所以， 又因为，，所以， 所以为等边三角形， 故选：D. 7.中，，，，且，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积的运算，可得时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，设，则，则，即可得最小值， 【详解】由题意知，向量，且， 可得点D在边BC上，， 所以，则，即， 所以时以C为直角的直角三角形． 如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为． 故选B． 8. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，连接，进而证明平面得到平面即为所求的平面，再求面积即可. 【详解】解：如图，取中点，连接， 因为在长方体中，，分别为棱，的中点， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为为中点，为棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形， 又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面即为所求的平面， 又因为，， 所以面积为 故选：A 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 9. 已知复数，则以下说法正确的是（　　） A. B. 的共轭复数 C. 复数是方程的一个根 D. 在复平面内与对应的点在第二象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据复数的模的计算公式即可判断A；求出方程的复数根，即可判断B；根据共轭复数的定义即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由， 所以，故A正确； 共轭复数，故B正确; 由，得，解得， 所以复数不是方程的一个根，故C错误； 在复平面内与对应的点为，在第二象限，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B. 若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面 C. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项. 【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确； 公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确； 若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误. 故选：ABC 11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则△ABC是钝角三角形 C.若，则△ABC为直角三角形 D. 若，，则△ABC面积的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 详解】A选项，当时，由正弦定理得， 在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确. B选项，当时，由正弦定理得， 所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确. C选项，，则， ，所以C选项错误 D选项，若.由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以三角形面积的最大值是，D选项正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92 分） 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 如图，在正方体中，直线与面所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用线面角的定义得到为直线与面所成角，再在中求得，由此得到结果. 【详解】连接，如图， 因为平面，所以为在面内的射影，， 所以为直线与面所成角， 不妨设正方体的棱长为，则在中， ，， 所以． 13. 已知，则 ________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角和差的余弦公式化简即可求出，再利用公式即可. 【详解】由题意得，， 得， 则. 故答案为： 14. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，且满足，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数性质分析运算. 【详解】∵，由正弦定理可得， 则， ∵，则，可得， 即，故， 由正弦定理，则， 可得 ， ∵锐角△ABC，且，则，解得， 则，可得， ∴， 故的取值范围为. 故答案为：. 4、 解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知复数，，. （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案； （2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案. 【解析】（1）当时，，， 所以，...................................3分 , 则........................................6分 （2）由已知得，， 因为，所以，...................8分 所以，即， 因为，所以，所以，即....................13分 16.. 已知正方体中，M为的中点，AC交于BD点O． （1）求证：平面MAC； （2）求证：平面平面MAC． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1）连，因为分别为中点,所以..............................3分 平面MAC，平面MAC，所以平面MAC；.........................7分 （2）正方体中，平面 因为正方体中，四边形为正方形，所以 因为是平面内两相交直线，所以平面，.............12分 因为平面MAC，所以平面平面MAC．.......................................15分 17. 已知向量，，设. （1）求函数的最大值； （2）已知为锐角，，，，求的值. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出、，最后根据利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：（1）因为，， 所以.................5分 当，即时，，此时函数的最大值为..........................................................................................................................................7分 （2）因为，所以，即，因为为锐角，所以，.................................................9分 因为，所以，因为，所以，所以....................................................................................11分 所以 ............................................................................................15分 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先用正弦定理将原式中角用角表示，再用同角三角函数关系求出的值，进而求出角； （Ⅱ）先用正弦定理将角化为边，根据边的关系引入参数表示，的长，再结合（Ⅰ）中结论用余弦定理得到方程，从中解出（用表示），最后用三角形面积解出参数的值，即可求出的长． 【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理得 ， 所以可化为 ，...........................................4分 得． 因为，所以．....................................7分 （Ⅱ）由正弦定理可将化为． 设，，..........................................9分 根据余弦定理得，整理得， 解得，...................................................14分 所以， 解得，所以．.........................................17分 19. 如图，菱形中，与相交于点，平面，. （1）求证：平面； （2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：； （3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证与平面垂直，只要证与平面内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证； （2）由已知线面垂直得平面，从而知为直线与平面所成的角，从而可得，然后计算出三线段的长，由勾股定理逆定理可得垂直； （3）取中点，则有，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得． 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以， 因为平面，平面，所以. 因为，平面平面， 所以平面；........................................................................................4分 【小问2详解】 因为平面 所以直线与平面所成的角为即........6分 在等边中， 所以中，所以.............................7分 过作交于点 所以中 中 中 所以；...................................10分 M 【小问3详解】 取边的中点，连接易得且 为所求的角或其补角，...........................................13分 而在中，， 中， 所以异面直线与所成的余弦值为..................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （总分 150 分 考试时间 120 分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。 第 Ⅰ卷（选择题共 58 分） 一、单选题（本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1. 已知复数（虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A. B. C. D. 4. ，则（ ） A. B. C. D. 5.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 7.中，，，，且，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 9. 已知复数，则以下说法正确的是（　　） A. B. 的共轭复数 C. 复数是方程的一个根 D. 在复平面内与对应的点在第二象限 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B. 若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面 C. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则△ABC是钝角三角形 C.若，则△ABC为直角三角形 D. 若，，则△ABC面积的最大值是 第Ⅱ卷（非选择题共92 分） 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 如图，在正方体中，直线与面所成角的正切值为______． 13. 已知，则 ________． 14. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，且满足，则的取值范围为_____________. 4、 解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知复数，，. （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 16. 已知正方体中，M为的中点，AC交于BD点O． （1）求证：平面MAC； （2）求证：平面平面MAC． 17.已知向量，，设. （1）求函数的最大值； （2）已知为锐角，，，，求的值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求． 19. 如图，菱形中，与相交于点，平面，. （1）求证：平面； （2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：； （3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学答案 一、 选择题 2 3 4 5 6 7 A D D C D B 8 9 10 11 A ABD ABC ABD 二、填空题 12V② 13.1 14.(6,4V3 2 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项) 3 1.已知复数= (i虚数单位)，则：的虚部为() 1-2i 3 B. C. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，可得虚部. 33×1+2)3+6i3 【详解】=1-2：0+200-2055 i, 6 则复数的虚部为二， 故选：A 2.化简以下各式：①AB+BC+CA;②B-AC+BD-CD:③OA-OD+AD: ④NQ+OP+MN-MP,结果为零向量的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得. 【详解】AB+BC+CA=0;AB-AC+BD-CD=CB+BD+DC=0: OA-OD+AD=DA+AD=0:NO+OP+MN-MP=NO+OP+PM+MN=0. 故选：D 2π 3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ,弧长为2π的扇形，则该圆锥轴截面的面积S=() 3 A.5 B.2W5 c.√2 D.22 【答案】D 【解析】 设圆锥的母线长为1，底面半径为， 则2π= 2元1，解得1=3， 又2πr=2π，解得r=1, 所以圆锥的高为h=√P-2=2√2， 所以圆锥的轴截面的面积是S-】×2×h=2V5, 故选：D 4. sin(π-a)=} 则cos2a=() 7 7 c. 8 B.- 9 9 D. 9 【答案】C 【解析】 因为sin(π-z)=sina= 3,所以cos2a=1-2sim2a=1-2×1-7 9-9 故选：C 5.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，O'A'=3,OB'=4,∠AOB=45°，则△OAB的面 积为() 45° 4 A.6 B.3W2 C.12 D.6√2 【答案】C 【解析】 根据斜二测画法还原平面图如图，则S0as= =1×4x6=12. 故选：C 6 4 B AB AC -)BC=0,且 4O2则&ABC是() AB AC 1 6.已知非零向量AB,AC满足( ABAC A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形 【答案】D 由(A® AC ABIAC BC=0得∠BAC的角平分线与BC垂直，所以AB=AC, AB AC 又因为 |ABI AC -o(a,4C=s∠BAC-分∠Ace0,小.所以/aMC-号 所以△ABC为等边三角形， 故选：D 7.△ABC中，AB=5,AC=4,AD=AB+(1-2)AC(0<元<1)，且AD.AC=16,则DA.DB的 最小值等于() 4、21 9 75 B.- C.-21 D.- 4 4 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积的运算，可得△ABC时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标 系，设A(X,4),则(X-3,0),则DA·DB=x(x-3),即可得DADB最小值， 【详解】由题意知，向量AD=AB+(1-入)AC(0<入<1)，且AD·AC=16, 可得点D在边BC上，ADACcos.∠DAC=l6, 所以ADcos∠DAC=4,则cos∠DAC=1,即BC⊥AC, 所以△ABC时以C为直角的直角三角形. 如图建立平面直角坐标系，设A(x,4),则(x-3,0), 则DADB=x仅-3)，0<x<3),当x=多时，则DAD丽最小，最小值为 9 故选B. A B D C 8.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AA=AD=2,AB=3,E,F分别为棱AA,CC的中点， 过BF的平面&与直线C,E平行，则平面截该长方体所得截面的面积为() D A.3V5 B.33C.3√2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】取DD,中点G,连接GA,GF,AF,进而证明EC,/I平面ABFG得到平面ABFG即为所求的 平面，再求面积即可. 【详解】解：如图，取DD,中点G,连接GA,GF,AF, 因为在长方体ABCD-ABC1D中，E,F分别为棱AA1,CC的中点， 所以AE/1C,F,AE=C,F, 所以四边形AEC,F是平行四边形， 所以EC,IIAF, 因为G为DD中点，F为棱CC的中点， 所以GF/DC,GF=DC, 又因为AB/IDC,AB=DC, 所以AB/IGF,AB=GF, 所以四边形ABFG是平行四边形， 又因为EC文平面ABFG,AFC平面ABFG, 所以EC,/1平面ABFG, 所以平面ABFG即为所求的平面a, 又因为AA,=AD=2,AB=3, 所以面积为S=3×V22+1=3√5 故选：A D CL 一B1 G F E C A B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 请在答题纸的指定位置填涂答案选项) 2i 9.已知复数z= ,则以下说法正确的是() 1-2i 人:9 B.=的共轭复数三=一 421 55 C.复数=是方程5x2+4x+1=0的一个根 D.在复平面内与：对应的点在第二象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数：，根据复数的模的计算公式即可判断A;求出方程5x2+4x+1=0 的复数根，即可判断B:根据共轭复数的定义即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D 2i 2i(1+2i)4.2 【详解】由z= 1-2i(1-2i)1+2i)55 16,42W5 所以=25+255 故A正确： :的共轭复数：=-12，故B正确： 55 由5r+4r41=0x+-5 解得x=2士， 55 所以复数：不是方程5x2+4x+1=0的一个根，故C错误： 42 在复平面内与：对应的点为 55 在第二象限，故D正确 故选：ABD 10.下列四个命题中正确的是（) A.若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B.若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面 C.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 D.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项. 【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确： 公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这 空间四点共面，所以选项C正确： 若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误. 故选：ABC 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,则下列判断正确的是() A若sinA>sinB,则A>B B.若sin2B+sinC<sin2A,则△ABC是钝角三角形 C.若sin2A=sin2B,则△ABC为直角三角形 D.若B=2T,b=6,则△4BC面积的最大值是35 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当sinA>sinB时，由正弦定理得a>b, 在三角形中，大角对大边，所以A>B,所以A选项正确。 B选项，当sinB+sinC<sinA时，由正弦定理得b2+c2<d, 所以cosA= b2+c2-a2 <0，所以A为钝角，故三角形ABC是钝角三角形，B选项正确. 2bc c选项，A=B=及，则in2A=n2B=im π1 12 62 C=π-A-B= 6 ,所以C选项错误 D选项，若.由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B=ad+c2+ac≥2ac+ac=3c, 当且仅当a=c时等号成立，所以3ac≤b2=36,ac≤12， 所以三角形4BC面积的最大值是x12×5=35,D选项正确 2 2 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，直线AC1与面BCC1B,所成角的正切值为 D A B C A B 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面角的定义得到∠AC,B为直线AC,与面BCCB,所成角，再在Rt△ABC,中求得 tan∠AC,B,由此得到结果。 【详解】连接BC1,如图， 因为AB⊥平面BCC,B,所以BC,为AC,在面BCC,B,内的射影，AB⊥BC1, 所以∠AC,B为直线AC,与面BCC,B,所成角， 不妨设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，则在RtABC,中，BC=√BC2+CC-V2,AB=1, 所以an∠4C,B=AB1V2 BC2 2 D C A B C B cos2a =2 13.已知。 os&+π ,则sin2a= 4 【答案】1 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角和差的余弦公式化简即可求出cos+sina=√2，再利用公式 sin2a=(cosa+sin)}'-1即可. cos2a 【详解】由题意得， cos2a-sina=√2(cosa+sin a）=2, cos +4 2(cosa-sina) 得cosu+sina=√2， sin 2a=(cosa+sina)2-1=2-1=1. 故答案为：1 14.在锐角△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若b=2√5，且满足 √3 sin AsinC +sinB=sinA+sinC,则a+c的取值范围为 tan B 【答案】(6,4W3 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理可得B=?,利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 a+c=4v3sin 4+ 再根据正弦函数性质分析运算， 6 【i详解】：V3 sinAsinc +inm'B=m'4+in'c,由正弦定理可得Bac+b2=d+c, tan B tan B ac-cosB=c=2accos B, sin B 则cosB>0,可得V3 =2, sin B 即smB=5,故B= 2 b -c_25 由正弦定理sin 4sin BsinC=3=4,则a=4sinA,c=4snC, =4 可得a+c=4simA+4sinC=4simA+4sin(A+B）=4sinA+2 sinA+2 B cos 4 =6sin 4+2v3C0s 4=4/3sin+ 6/ 0<A<元 ·锐角△4BC,且B=交， ,则 解得<A< 3 2-4< 6 0< 2 则<A+<2 63, a+c=45sm4+e65 故a+c的取值范围为(6,4V3] 故答案为： (6,4W3 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15已复数=er-i,=1+1-5m,xe0】 (1)当x=时，求，和1-2z: (2)设51,2在复平面内对应的点分别为A,B,0为原点，若OA⊥OB,求x. 【案111+子 4 【分析】(1)根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案： (2)由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案 【解1)当背时，+1，-1。 3 2 所以-G0-1子 .3分 3 51-252=- +21, 2 3 则-2小+2 ….6分 2 (2)由已知得A(cosx,1),B1,1-V3simx, 因为DALOB,所以OA.OB=co8xx1+1×1-V5snx)=0,..8分 所以 x即君 ，1 -sinx- 所以x刀=，即x= 66 3…13分 16.已知正方体ABCD-AB,CD,中，M为DD,的中点，AC交于BD点O. D (1)求证：BD∥平面MAC: (2)求证：平面BDD⊥平面MAC. 【答案】（1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 D B (1)连MO,因为M,O分别为DD,BD中点，所以BDMO3分 .'BD,文平面MAC,MOC平面MAC,所以BD,∥平面MAC: 7分 (2)正方体ABCD-AB,CD,中，DD⊥平面ABCD∴.DD,⊥AC 因为正方体ABCD-AB,CD中，四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC 因为BD,DD,是平面BDD内两相交直线，所以AC⊥平面BDD,12分 因为ACC平面MAC,所以平面BDD⊥平面MAC.I5分 17已知向量a=(imx,cosx-D,方-y5,-1 22 设fw=a-6 (1)求函数f(x)的最大值： 2日期u为说角，e@,e+) 13 如a+)-片求2a-的a 【答案】(1) π+交1）】 62 kez:(2)-56 5 【解析】 【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得： (2)依题意可得sina,再根据同角三角函数的基本关系求出cOs、cos(a+B),最后根据 sin(2a+B)=sina&+(a+B)门利用两角和的正弦公式计算可得； b 【详解】解：(1)因为a=(sinx,cosx-), 2 92 所以f)=Vn ino-1) sinx-1o CO+ 5分 2 当x-严=元+2km,k∈Z,即x=二π+2k红，k∈Z时，(x-乃)取最大值1，此时函数fx)的最大 62 3 6 值为3 2.7分 2)因为a+}=13 心所以me。石±na +113 210 即ina=行，因为a为锐角， 3 所以cosa=V1-sina= .9分 因为B∈(0，)，所以a+B0,5) 3π 因为sin(a+β)= 12 3π 13 所以a+Beπ，2) 所以 cos(a+p)=--sin'(a+B)--5 11分 所以sin(2a+B)=sin[au+(a+B] =sinacos(a+B)+cosasin(a+B) -()+) 15分 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B+2 bsinA=√3 acos B. (I)求角B的大小： (I)若V7sinA=V5sinB,且Sc=4W5,求c. 【答案】(I)B-名()c=8 【解析】 【分析】(I)先用正弦定理将原式中角A用角B表示，再用同角三角函数关系求出aB的值，进而求出 角B; (Ⅱ)先用正弦定理将角化为边，根据边的关系引入参数x表示☑，b的长，再结合(I)中结论用余弦 定理得到方程，从中解出C(用x表示)，最后用三角形面积解出参数x的值，即可求出C的长. 【详解】解：(1）由正弦定理4=6得 sinA sin B asin B=bsinA, 所以asin B+2 bsinA=√3 a cos B可化为 3 asin B=√3 acos B, ……4分 得amB= 3 因为B∈(O,元)，所以B=T 6、……7分 (I)由正弦定理可将√万sinA=√3sinB化为√7a=√b. 设a=√5x,b=√7x, ..9分 根据余弦定理3x+。2-2cV5xos石(V厅x,整理得4+3ax-c=0, 解得c=4x,. ..14分 所54=5(4(5xin君=45. 解得X=2,所以C=8。......17分 19.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD, CFI∥AE,AB=AE=2 E B D A (1)求证：BD⊥平面ACFE: (2)当直线FO与平面ABCD所成的角的余弦值为YMC时，求证：EF LDE: 10 (3)在(2)的条件下，求异面直线OF与DE所成的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) S 【解析】 【分析】(1)要证BD与平面ACFE垂直，只要证BD与平面ACFE内两条相交直线垂直即可，这由己 知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证： (2)由已知线面垂直得FC⊥平面ACFE,从而知∠FOC为直线FO与平面ACFE所成的角，从而可 得FC,FO,然后计算出三线段EF,BE,BF的长，由勾股定理逆定理可得垂直： (3)取BE中点M,则有MO∥DE,从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得. 【小问1详解】 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC, 因为AE⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以BD⊥AE. 因为AC∩AE=A,ACC平面ACFE,AEC平面ACFE, 所以BD⊥平面ACFE;… .4分 【小问2详解】 因为FC⊥平面ABCD, 所以直线FC与平面ABCD所成的角为∠F0C,即cos∠FOC= ..6分 10 在等边A4BC中，C0=AC=1, 2 所以RIAFOC中，所以FO=V10,FC=3.........7分 过E作ENAC交FC于点N, 所以Rt△FNE中EF=V22+1P=√5， RtA FCB中FB=V32+22=√13， RIAEAB中EB=V22+22=√8， 所以EF2+EB=FB2一EF⊥EB;·· 10分 N E M D B 【小问3详解】 取BE边的中点M,连接MO,易得MO1/DE且MO= DE=√5， ∠FOM为所求的角或其补角， 13分 而在RteFEM中，M=√EF2+EMP=√万， Rt△FOM中coS∠FOM= FO+MO-FM5 2FO-MO 4 所以异面直线OF与DB所成的余弦值为 4 ……….17分 今 E 0 B高一年级数学答题卡 考场号 座位号 学校 班级 贴条码区域 姓名 1,答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 注 2,客观题答题，必须使用2铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂 考生禁填 爸 3,主观题必须使用黑色签字笔书写。 (山监考老师餘)》 事 4,必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 错误填涂 缺考☐ 5,保持答卷清洁完整。 项 力XaO ]☑ww白 违规☐ 单选题（共8题，共40分） 1 [A][B]IC][D] 6【AIIB[CI[DJ 2【A1[BI[c】[D] 7[A】IB】[C】ID] 3 [A】[BI[CI [DI 8IA1IBJ【CI【DI 4【A1[B】[C】[D1 5【AIIB1IC】IDI 多选题（共3题，共18分） 9【A】[B】【CI[DJ 10【A1[B】[C】[D] 11【A1IB1IC1[DI 填空题（共3题，共15分） 12 13 请勿在此区域作答 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 解答题（共5题，共77分） 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) C M 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) D 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页