云南昆明市第一中学2026届高三下学期5月复习诊断数学试题

机密★启用前【考试时间：14:30-16:30】 2026届高三5月复习诊断 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z是方程的根，则 A． B． C．2 D．3 2．已知命题p：，，命题q：，，则 A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 4．已知函数，，则 A． B． C． D． 5．已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为 A．9 B．11 C．13 D．15 6．在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是 A． B． C． D．1 7．已知函数，则 A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 8．设，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度h（米）关于进舱时间t（分钟）的函数解析式为（其中，，），则正确的有 A． B． C． D．从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为6米 10．已知数列的前n项和为，且，（），则 A． B．数列是等差数列 C．，n为奇数 D．，n为偶数 11．已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是 A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1 C． D．面积的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，都是非零向量，且满足，，则__________． 13．已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 14．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，一块长方体形木料的上底面上有一点E． （1）经过点E在上底面画一条直线l与垂直，请写出画法，并说明理由； （2）若，M是的中点，是正三角形，在（1）的条件下，求直线l与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 已知函数，其中． （1）若，，求的极值； （2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且，求实数a的取值范围． 17．（15分） 已知正项等比数列满足（）． （1）求数列的通项公式； （2）设满足，求的前n项和为． 18．（17分） 某公司研发了一款新型智能机器人，一投放市场颇受欢迎，为了更好的服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； （2）这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； （3）该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 19．（17分） 已知椭圆：（）的右焦点为F，过点F的直线l与相交于A，B两点，当A为的上顶点时，，l的倾斜角为 （1）求的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为C， （ⅰ）求面积的最大值S； （ⅱ）点M在椭圆上，当的面积取得最大值S时，，求满足条件的点M的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月复习诊断 数学参考答案 命题、审题组教师 杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B A C D 1．解析：因为方程的判别式，所以该方程有虚数根，所以，因此，选B. 2．解析：当时，显然成立，所以是真命题，是假命题，当时，，所以命题是假命题，是真命题，选C． 3. 解析：由题意得，，则，选A. 4．解析：由在上单调递增，且，，所以，选D． 5．解析：由题意得，，，则，解得，选B. 6．解析：分别取，的中点为，，连接，，，则点在平面上的轨迹为线段，在中，可知，所以的最小值为，选A. 7. 解析：由得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错；令，由的单调性得：时或，故B错；因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确；由，得且，所以关于对称，故D错，选C. 8．解析：A选项，，，不能确定符号，A错误； B选项，，所以，B错误； C选项，，C错误； D选项,令，则可看作关于的一元二次方程有正数解，所以，整理得：，此时关于的一元二次不等式有正数解，所以，解得，，选D. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ACD 9．解析：由已知，解得，，故A正确； 因为摩天轮每分钟旋转一周，所以，即，故，B正确； 由最低点距离地面米得：，从而，因为，，C不正确； 综上，当时，，D正确； 选ABD. 10．解析：因为，，所以当，， 又因为，两式相减，，即数列是等差数列， 另有，可知数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列；偶数项是以0为首项，3为公差的等差数列， 当为奇数时，设，则；当为偶数时，设，则，所以，综上所述C错误，A、B、D正确，选ABD. 11．解析：抛物线的准线方程为，则，抛物线， 对于A，若，则，可得，A正确； 对于B，设直线，与抛物线方程联立，得，设，则，所以，所以，即直线的斜率为，B错误； 对于C，注意到，，当且仅当时等号成立，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确，选ACD. 三、填空题 12．解析：由，所以，所以，即. 13．解析：△中，由正弦定理得：，因为为锐角，所以，从而，所以，从而，△中，由正弦定理，所以. 14．解析：由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为，所以该球形容器体积的最小值为： 四、解答题 15. 解：（1）画法：连接，在上底面上，过点作直线与垂直， 则直线为所求. 理由：由已知平面，所以，又因为，， 所以平面，所以. ………6分 （2）设，，，所以，，， 因为△是正三角形，所以，所以，即为正方形，所以， 所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，，所以， ，， 设平面的法向量为， 由， 取，则，设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………13分 16．解：（1）由函数，可得其定义域为，且， 令，可得， 列表如下： ………2分 极小值 由上表知，在，上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. ………6分 （2）由可得， 所以曲线在点处的斜率为， 由可得 所以曲线在点处的斜率为 因为这两条切线平行，故有 即两边取以为底的对数，得， 所以， 所以 ． ………15分 17.解：（1） 设正项等比数列的公比为，则，由于，则，两式相除得，又，得，又，得，所以； ………7分 （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． ………15分 18．解：（1）由题意知，，， ， ，． 所以 所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强． ………5分 （2）记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则 ，，，． 所以， 所以， 故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为． …10分 （3）设事件：机器人挑战成功，则 ． 由，得 ．令， 因为，，所以，所以 设，当，即或时，． 所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为． ………17分 19．解：（1）取的左焦点为，由题意知，，所以，又因为， 所以，在△中，， 所以，，的方程为. ………5分 （2） （i）设，由题意知，设直线的方程为， 联立，得，，， 所以，所以直线的方程为， 令，, 所以，直线的过定点，所以△面积为 ， 又因为单调递增，当时，取得最大值. ………12分 （ii）在△面积最大的条件下，根据对称性，可设在轴上方，所以，，，直线的方程为，因为，所以， 可设平行的直线方程为，所以，所以或者， 当时，直线过点，且与椭圆相交，当时，联立，得，因为，所以直线与椭圆没有交点， 综上所述，满足条件的点的个数为2. ………17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $