云南昆明市第一中学等校2026届高三4月复习诊断数学试题

机密★启用前 【考试时间：4月29日 14:30-16:30】 昆明市第一中学2026届高三4月复习诊断 数学 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁菌张远雄蔺书琴 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.样本数据2,4,7,8,11,13,19的下四分位数（第25百分位数）为 A.2 B.4 C.7 D.13 2.已知复数a1=c0s君+i:sin石，=cos号+i·sin号，其中i为虚数单位，则·名= A.1 B.-1 C.i D.-i 3.已知抛物线C:y=2px(p>0),C上的点P(3,m)与焦点的距离为6，则m为 A.6 B.3 C.±6 D.±3 4.已知三个平面向量a,b,c两两的夹角相等，且满足|a|=|b|=1c|=1,则向量a+b在向量c上 的投影向量是 A-号 B.2c c.-号或c D.-c或2c 5.已知anx=3,则lan2(x-平）= B-号 c D-子 数学·第1页（共4页） 6.已知f(x)是R上的偶函数，对任意实数x都有f(4-x)=f(x)成立，当x∈[-2,2]时，f(x)= x2+ax-2,则f(3)= A.7 B.4 C.1 D.-1 33 7.函数y=ame与y=sinx的图象在区间(-2m,2内的交点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 [|2*-11,x<1 8.已知函数f(x)= ,若存在x1<x2<x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则4+22+lnx3 lnx,x≥1 的取值范围是 A.(2,3) B.[2,3) C.(e,+o) D.(1,e) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在平行六面体ABCD-A1B,CD,中，AB=AD=AM,LAAB=∠A,AD=∠BAD=60',P,Q分别 是AB,CC1的中点，则 APQ∥AD, B.PQ∥平面ACD, C.AQ⊥BD D.AQ⊥平面A,BD 10已知双曲线B:号-卡=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为R,R,过点B作垂直于：轴的直 线交E于A,B两点，若直线AC,的斜率是号，△MBF,的周长是36，则下列选项中正确的是 A.E的虚轴长为2 B.E的渐近线方程为y=±2√2x C.△ABF,的面积为48 D.△ABR,的外接圆半径为号 11.“暮春时节，兰亭雅集再现，.文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶 的命中率为子，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下 列选项中正确的是 A当n=2时，投壶2次游戏结束的概率为号 B.当=2时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C.当n=2时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为？ D.设游戏结束时投壶总次数的数学期望为En,则2En+1=3E.+3(n≥2) 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且a=3,b=35,A=石，则边长c= 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且3Sn+1=2Sn-2,则a4= 14.曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线！上，称该曲线族 为M族”，若曲线族(x-a)2+y-号a>0)是M族，1与双曲线B:若-云=1(a>0,b>0)有 交点，则E的离心率的范围为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知正项数列a,的前n项积为，且满足0，合neNY (1)求数列{T.}的通项公式； (2)设{Tn}的前n项和为Sn,求使Sn>100成立的最小正整数n. 16.(15分) 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间x(小时) x≤1 1<x≤2 2<x≤3 收费标准 免费 50元/人 100元/人 不足1小时的部分按1小时计算.现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过 1小时离开的概率分别为子，合；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为分，子；两人健身 的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望 数学·第3页（共4页） 17.(15分) 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是 AC与BD的交点，AC=PC=4,AB=AD. (1)证明：平面PAC⊥平面PBD; (2)已知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为了， 记圆柱的体积为”，四棱锥P-ABCD的体积为， 人” 18.(17分) 已知函数f(x)=e2r-2(a+1)·e+2ax,且f(x)在R上单调递增. (1)求a; (2)若g(x)=fx)-（x-3)e-2x,证明： (i)g(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2); (m<g(x)<最 参考数据：e子≈0.174，e是≈4.48 19.(17分) 已知曲线M上任意一点到直线l:x=4的距离是该点到点(1,0)的距离的两倍. (1)求曲线M的轨迹方程； (2)已知A,B,C三点均在M上， (i)若直线AC过点(-1,0)，直线BC过点(1,0)，记直线AC,AB,BC的斜率分别为k,, k2,k3,且满足k,k2,k成等差数列，求点C的坐标； (i)若△ABC的重心是坐标原点，求△ABC的面积. 数学·第4页（共4页） 昆明市第一中学2026届高三4月复习诊断 数学参考答案 命题、审题组教师 杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄蔺书琴 一、选择题 题号 2 3 4 6 7 P 答案 B C A 0 B A 1.解析：因为i=7×25%=1.75,向上取整为2，所以下四分位数是第2个数，即4，选B. 2.解析：由题可知22= (osg+i-icoa子+ism到-o+引im+引eos子+ism-i， 选C 3.解析：抛物线C:y=2x(P>0)的焦点坐标为号，0)，所以C上的点P3,)与焦点的距离为号+3=6， 解得p=6,则抛物线方程为C:y2=12x,将点P(3,m)代入抛物线方程，解得m=6,选C 4.解析：当三个平面向量ā，b,c两两夹角都为0时，显然ā+b在c上的投影向量是2c,当三个平面 向量a,6,G两两夹角都为号时，因则间--=l,所以ad=6-c=分则a+6在c上的投影向量 (a+B)-d.c-g-c+B.2.o--,D. 为 12 sin 2x- 5.解析：m2(-引=m(2x引 -cos2x=-1-tan'x-1_4 o2x-月 sin2x tan2x 2tanx3,A. 6.解析：由f(x)是R上的偶函数得：a=0,所以当x∈[-2,2]时，f(x)=x2-2,又f(4-x)=f(x)成立， 所以f(3)=f(4-3)=f(1)=-1,选D. 7.解析：由图象可知交点有3个：（-元，0)，(0,0)，（π，0），选B. 8.由f()=f(x2)=f(x),且x<x2<x,则-(2-1)=2-1=hx,所以2西=2-2，血x=25-1, 且0<x<1,所以1<2<2，所以4+2+m为=(2-2'+2+2-1=(2-1+2∈(23)，选A. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 9.解析：选项A,AD∥BC,可知PQ与AD不平行，A错误； 选项B,取CD,的中点M,连接PM,QM,可知：平面POM∥平面ACD,所以PQ∥平面ACD,B正确； 选项C,易证BD⊥平面ACCA,AQC平面ACCA,所以AQ⊥BD,C正确； 选项D,A04B=(AB+AD+4)-(AB-4)≠0，所以Ag不垂直于AB,D错误，选BC. x=c 设Re0BG0,我B:x=c,FX'得则A=24 线G的斜率是，得m∠4=点子由双曲线定义得B-h=2a+h-2a+号，由△1B所 b24 的周长是36，得22a+白)+236，即a+9,放2=d2+B9a，而Bc,代入得 a a 8a石=9a-d,解得a=lc=3b=25,所以双曲线方程为E:x-上=1， 8 对于A,双曲线方程为E:x2-上=1，所以E的虚轴长为42，A错误： 8 对于B,因为a=1,c=3,b=2√2，所以E的渐近线方程为y=±2√2x,B正确； 对于C,h-2公-16，所以3方×5方×6x16=48,C正痛： 对于D,hM=2a+女=10，m∠B=号所以△M5的外接圆半径为R AE10_25 a 2sin∠BAE2 33,D 正确，选BCD 1山。解析：对于A投壶2次均合中即游戏结束，概率为-分A正确： 4 对于B,投壶3次游戏结束的件为“第2,3次命中，第1次不中%概率为3×（司 投壶4次结束的事件为“第3,4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束）， 第1次投密结果不影，概率为+争×写×分方·两者概车相等，日结误 对于C,当=2时，即出现连续2次命中，那么停止投壶，游戏结束，设投壶的总次数的数学期望为E, 考虑第一次投壶的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为×召），则投壶总次数为2， 33 若第一次命中，第二次未命中（概率为×），则游戏重置，投壶的总次数可看作2+B; 33 ②第一次未命中（概率为二），则游戏重置，投壶的总次数可看作1+E；则 3 B=2x+(E+2)×号×兮+(E+×解得E-只，C正确： 21 33 对于D,由题意，设E,为出现连续n+1次命中，则停止投壶，游戏结束时投壶总次数的数学期望， 2 在连续n+1次命中，停止投壶的游戏中，考虑首次达到出现连续命中n(n≥2)次的时刻， 此时当前投壶的总次数期望为En，即出现连续次都投壶命中，那么现在从此状态开始，游戏还需要进行 直至停止（即连续n+1次命中），则考虑下一次投壶的结果： ①若下一次投壶命中（概率为二），则出现连续n+1次命中，停止投壶，游戏结束，即投壶的总次数可看 作En+1次； ②若下一次投壶不中（概率为二），则游戏重置，还需再进行E,次投壶，游戏才能结束，即投壶的总次数 可看作En+1+En,次： 综上，故E=(En+)+(En+1+En),整理得，2En1=3En+3n≥2)，D正确，选ACD. 3 3 三、填空题 12.解桥：由正弦定理总得：如B-如4_35x生 ,因为b>a,所以B>A, "sin A sin B a32 故B-写或受：当8-晋时，C-子c=尽+=6：当后=经，a=63,放=6或6=3. 3 3 2 3 1.解折：当n=1时，8=25-2=2，=子当n≥2时，=24，所以=a”=-20】 1-1 且-2 ≠a,所以 [2,n=1 n2. 27 4解析：设直线y三，所以d≤a，所以-sk1,所以>1，所以E的离心容 >√巨，所以E的离心率的范围为2，+∞) 四、解答题 15.解析：①当n=1时.4=工-- ， 所以4=T=2, 当n≥2时，0，= 乙=合？得工-工=山，所以亿是以2为消项，1为公浓的等数列 则Tn=2+(n-1)=n+1; …7分 3 ②由题意，{红}的前n项和3.=m+3》,要使S>100成立，解得n>12, 2 又n∈N°，则n的最小正整数为l3. …13分 111 16.解：(1)依题意，两人都付0元的概率乃=二×三 4624 两人都付50元的概率p2=2×号方 1.21 两人都付10元的瓶率月=0-日×0-名争=云 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为P=A+乃+B=24+3十24立 1,1,15 …6分 (2)由题意知，X的所有可能取值为0,50,100,150,200， P(X=0)=二×二= 11,12_1 0=4×G=)4,PX=50)=x-+x手 =2,Px=10)=x2+x2+2x2- 26434 46462312 11.211 1.11 PX=150)=2×石+号×44！PX=20)=4*石24 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 1 1 1 1 24 4 12 24 K的数学期里E0三0×24+50×+100×2+750x-+200× 12 =100（元). 24 …15分 4 17.解：(1)因为AB=AD,AC是圆柱的底面直径，所以AC⊥BD,又因为PC是圆柱的母线，所以PC⊥ 平面ABCD,所以PC⊥BD,因为PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC,又因为BDC平面PBD,所以平 面PAC⊥平面PBD. …6分 (2)以C为坐标原点，CA为x轴，过点C垂直于CA的直线为y轴，CP为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系C-z· 设CE=1(0<1<4),因为△CED∽△DEA,所以DE2=CE·EA=1(4-),所以A(4,0,0),P(0,0,4), D(1,V1(4-),0),B,-√1(4-0,0)，所以PA=(4,0,4),PB=G,-√(4-)，-4)， PD=,√F4-万，-4)，设平面PAB的法向量m=(x,y,2),则 m.PA=0, m.PB=0, 「4x-4z=0, 即 。取m=(-V(4-),4-1,-V7(4-). x-(4-t)y-4z=0 设平面PAD的法向量n=(x,y,), 「4x-4z=0, 则 nPA=0,即 nPD=0,x+f4-y-4:=0, 取n=(N(4-),4-1,V7(4-). 产69专：11号。 nm} 所以当1=时，0=2DE=25,5=传4ccP=16,g=写4cB0cP.169 3 所以学=6a 当-号，0=28=9.⅓-x传4Cjcp=16s,⅓-c0c-25 21 所以上=7N5π …15分 V28 18.解：(1)因为f(x)=e2-2(a+1)e+2ax,f(x)在R上 单调递增，所以∫'(x)=2e2x-2(a+1)e*+2a=2(e*-a)(e*-1)≥0恒成立， 若a≤0，则f(x)20台x20,舍去； 若0<a<1,f(x)≥0→x≤na或x≥0，舍去； 若a>1,f(x)20台x≤0或x2na,含去； 若a=1,f(x)≥0→x≤0减x2na台x∈R,满足题意； 综上所述，a=1. …7分 (2)(i)g(x)=e2x-(x+1)e*,则g'(x)=e*(2e-x-2), 构造函数h(x)=2e-x-2,则h(x)=2e-1, 又h(x)在R上单调递增，且h(-n2)=0, 故当x<-ln2时，h(x)<0,当x>-ln2时，h(x)>0, 则h(x)在(-o,-血2)上单调递减，在(-n2,+w)上单调递增， 又40o引宁灵 结合零点存在性定理知，在区间(-子-存在唯一实数，使得()=0， 当x<x时，g'(x)>0,当：<x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0, 故g(x)在(0，x)单调递增，在(x,0)单调递减，在(0，+o)单调递增， 5 所以g(x)存在极大值点x,极小值点x,=0; …10分 (i)因为g()=2e*-x-2=0,所以e=+1, 放g)=4-6+0e=气臣+八-6+明臣+小+. 因为-子<< 3 所以)>8（引-片+小=a,)(引{+八-6， 所以a<g)水君 …17分 19解1)曲惠您股痘线M上任意一点的坐标为（小所以-2一可旷+，即兰+号-1， 所以曲线M的轨迹方程为芹+苦1， …4分 2》(i设C6w小则名+6=产努 x。-1 x。+1x。-1x6-1 设4K,W,B5y,。x=y-1,ax=y+1其中4=石山店， 11 由r=y-1 {32+4y2=12'消去x,得32+4r2-6y-9=0,则 -9 -9 -92 --9y%2=-3y%2 网4中+4+4g+t36+52x+W2从 yo 名=以-1=13-1=8，同理可得 %2x。+5 2x。+5 -3y63% ⅓瓷 2x0-5 ,则=k仙=-业=2。+5.2-5 -为-5。+8_5x-8 2x0+52x。-5 3y%(2x。-5+2x,+5) 3x6 5x,+82,-5)+6x,-82,+55x2-④' 由，，成等差数列，得k+长=2k,即2必=23 2-1502-4) 解得x=0,或%=0（舍），或-马>4（舍），相应的必2=3， 2 所以点C的坐标为(0，±√3) …10分 （i)设C(xy),4A3,)，B(x2,y2), 6 当直线AB的斜率不存在时，易得C(2,0),直线AB的方程是x=-1,或C(-2,0),直线AB的方程为x=1. 将x=士1代入椭圆方程，可得川= 3 所以△ABC的面积S=乞×3x3=2: 9 2 当直线的斜率存在时，仙的中点如个亭学》如杂。 所以直线他的方程为y+受=流：+空》 即y=3远x-。 3x-3 4y% 令x0,线B在的被距为，则S。易k- …13分 2y0 将y=-3x-3代入椭圆方程可得少96+9 4y。2y 4y。2 x+9-12=0, 3 3-4,14分 3 所以k-小+-+4%而.6-12+-6-2d 所以Sau兮动小-子费标照点为0，因为0是△C的康心，所以8a=a 2 所以△ABC的面积是) …17分