16.1 （第1课时）二次根式定义和取值范围 课件 -2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念及有意义的条件，课堂导入先回顾平方根、算术平方根旧知，再通过长方形围栏、正方形面积等实际问题引出带根号的式子，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过定义的双重特征（含根号、被开方数非负）和例题训练发展数学思维，用符号“√a（a≥0）”精准表达数学语言。如例1判断二次根式、例2求取值范围，帮助学生抽象概念，教师可借助资料高效教学。

第十六章 二次根式 二次根式的定义和性质（第1课时） 16.1 二次根式 1.理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式.(重点) 2.掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围.(难点) 学习目标 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 非负数. 推进新课 （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______. 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征. 思 考 （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2. 如果用含有 h 的式子表示 t ， 则 t 为______． h = 5t2 问题　(1)填空： ①一个面积为12平方米的正方形，此时正方形的边长是　　 米；面积为s平方米的正方形的边长是　　　米；  ②一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t(单位：s)与开始落下 的高度h(单位：m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t=　 ；  (2)观察上述式子，思考这些式子有什么共同特征？ 提示　这些式子都含有二次根号“”； 根号下方的数(被开方数)都是非负数. 知识梳理 我们把形式如(a≥0)的式子叫作二次根式.符号“”叫作二次根号，根号下面的数(或式子)叫作被开方数，被开方数必须是非负数. 注意点：定义包含三个内容： (1)必需含有二次根号“”. (2)被开方数a≥0. (3)a可以是数，也可以是含有字母的式子. 如果一个数x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，用符号 表示 (其中a≥0) 1、什么叫平方根？怎样表示？ ( 即 x2=a， 那么x就叫做a的平方根) （1）16的平方根是______ （2）3的平方根是______ 如果一个正数x，若 x2 = a，那么 x 叫做a 的算术平方根.用 表示. 算术平方根的性质： 正数有一个算术平方根 0的算术平方根是0 负数没有算术平方根 2. 算术平方根： （1）16的算术平方根是______ （2）3的算术平方根是______ （3） 有意义吗？为什么？ 没有 ，负数没有算术平方根 4 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 上面的问题结果分别是： ， ， ． ①根指数都为 2； ②被开方数为非负数. 分别表示 65，a2 + 1， 的算术平方根． 我们把形如 的式子叫作二次根式， 符号“ ”叫作二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥ 0 例1　下列式子中哪些一定是二次根式？ ，，，，，，2，. 解　，，2，一定是二次根式. 反思感悟 (1)二次根式是“形式定义”，判断时只看初始形式. (2)形如“a”也是二次根式. 创设情境 2. 正方形的面积为s，则它的边长为 1. 正方形的面积为30，则它的边长为 算术平方根 ① 都写成 的形式，根指数是2 2. 它们有共同特征？ 被开方数a≥0 形如 (a≥0) 式子叫做二次根式 . 二次根式的定义： , 用来表示一个非负数的算术平方根的 二次根号 被开方数 读作“根号a” ② 1. 式子 分别表示: 求 30，S的 1.代数式 是二次根式吗？ 代数式 只有在 a ≥ 0 的情况下，才是二次根式. 符合条件①含有二次根号；②被开方数 22 为非负数，所以是二次根式. 思 考 2. 是二次根式吗？ 是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式. 3. 是二次根式吗？ 练一练 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ （1） ； （2）81； （3） ； （4） ； （5） . √ × × √ × 分析： 是否含二次根号 是 被开方数是否为非负数 是 是二次根式 否 不是二次根式 否 例2　(课本P3例1)实数x为何值时，下列式子有意义？ (1)； (2). 解　(1)要使有意义，则x+3≥0. 解这个不等式，得x≥-3. 所以当x≥-3时，有意义. (2)因为x为任何实数都有x2≥0， 所以当x为一切实数时，有意义. 跟踪训练2　(1)若二次根式有意义，则x的取值范围为 A.x≥1 B.x≥0 C.x>1 D.x>0 √ 解析　∵二次根式有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1. 求a的算术平方根 二次根式相关知识： 2、二次根式两个特征 表示： 1、定义：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. 3、意义： 4、二次根式具有双重非负性： ① 外貌特征：含有“ ”（根指数为 2） ② 内在特征：被开方数 a ≥0 ≥0且 a≥0 补充例题 下列各式是二次根式吗? (m≤0) (x,y 异号) 根指数为3 被开方数＜0 √ √ √ 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） x 可以为任意实数 x ≥ 0 x 可以为任意实数 x ＞ 0 x＞ –1 x ≤ 1且 x ≠ 0 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0. 思 考 返回 B 23 例3　已知实数x，y满足y=，求x+y的立方根. 解　∵16-x2≥0，x2-16≥0， ∴x2=16，解得x=±4， 又∵分母中x+4≠0， ∴x≠-4，∴x=4， ∴y==-，∴x+y=×4-=， ∴x+y的立方根为=. 跟踪训练3　(1)已知a，b为实数，且b=-+25，则+的值为 A.-3 B.7 C.-3或7 D.9 √ 解析　由条件可知 ∴a=8，b=25， ∴+=+=2+5=7. (1) 单个二次根式 ：则 a≥0 (2) 多个二次根式相加 ，如 ：则 a≥0 b≥0 m≥0 (3) 二次根式在分母位置 ，如 ：则a＞0 (4) 二次根式与分式的和差 , 如 ：则a≥0 且 b ≠ 0 (5) 被开方数含x2 或x2+正数, 如 ：则x取全体实数 二次根式有意义的条件（即求二次根式中字母的取值范围）： 1、已知 ， 求 2xy 的值. 解： 由题意可得 2x-4≥0 4-2x≥0 解得 =-3 ∴ y= x=2 ∴ 2xy= 2×2×（-3） =-12 变式练习： 即 x≥2 x≤2 课堂小结 二次根式 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 双重非负性 带有二次根号 被开方数为非负数 被开方数≥0 分母≠0 a≥0 ≥0 1．下列式子：，，，，，，，.其中一定是二次根式的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 $