16.1 二次根式及其性质 第1课时 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

第16章 二次根式 第1课时 二次根式 16.1 二次根式及其性质 1.什么叫平方根？ 一般地， 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做 二次方根 .( 如果 x2=a，那么x就叫做a的平方根. ) 练一练： ③ 3的平方根是 ； ① 16的平方根是 ； ② 0的平方根是 ； ④ -7有没有平方根？ 求一个数的平方根的运算叫开平方. ±4 0 没有 ± 知识回顾 如何用符号表示非负数a(a≥0)的平方根? ① 正数的平方根有两个，它们互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根. 平方根的性质 正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0. 2.什么叫算术平方根？ 一个非负数a(a≥0)的算术平方根可表示为 . ① 正数的算术平方根只有一个； ② 0的算术平方根是0； ③ 负数没有算术平方根. 算术平方根的性质 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为_____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为______m. 获取新知 (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______. 知识点1：二次根式的定义 上面问题中，得到的结果分别是： , , , 思考1： 这些式子分别表示什么意义？ 思考2： 这些式子有什么共同特征？ ①含有根号“ ” ; ②被开方数为非负数. 分别表示 3, S, 65, 的算术平方根． 探究思考 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. 符号“ ”叫作二次根号. 二次根式两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 概念认知 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 解：(1)(4)(6)均是二次根式， (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 例题讲解 全品文教初中 1. 表示什么？是平方根，还是算术平方根？ 2. 的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件,二次根式才有意义？ 3. 中字母a需满足什么条件，才有≥0 ？ 算术平方根 知识点2：二次根式有意义的条件 探究思考 获取新知 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 归纳总结 例2 实数x为何值时，下列式子有意义？ ； . 解：(1)要使 有意义，则x+3 ≥0. 解这个不等式，得 x ≥ -3. 即当x ≥ -3时， 有意义. (2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， 有意义. 例题讲解 全品文教初中 (2)∵被开方数需大于或等于零，∴ x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1， ∴x≥-3 且x≠1. 【补充例题】例3 实数x为何值时，下列各式有意义？ (3)∵被开方数需大于或等于零，∴ x-1≥0，且x-2≥0. ∴x≥1且x≥2. ∴x≥2. 解：(1)∵被开方数需大于或等于零，∴4-3x≥0，∴x≤ . ∵分母不能等于零，∴ 4-3x≠0，∴x≠ ， ∴x＜ . 二次根式取值范围相关题目通常会与其他知识综合考察，题目易错，课堂上讲解强调学生注意综合考虑问题。 12 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳总结 二次根式有意义的条件是实数部分常考内容，它常与分式和多项式有结合，因此，这部分小结要让学生掌握。 知识点3 二次根式的双重非负性 获取新知 问题1 二次根式 的被开方数a 的取值范围是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 它本身的取值范围又是什么？ a ≥0 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例题讲解 例3 若 ，求a -b+c的值. 解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 Administrator (A) - 这道题的难点是学生如何理解为何每个非负数都是0. 分析题目时可先让学生思考，两个非负数在何种情况下和为0. 随堂演练 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C 2. 如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) C 3．当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为______． -1 0 4.当a为何值时，下列各式有意义？ (4)∵5-a>0,∴a<5. 课堂小结 二次根式 特征 带有二次根号 被开方数为非负数 有意义的条件 抓住被开方数必须为非负数，建立不等式求出其解集 定义 形如 的式子 双重非负性 a≥0且 ≥0 $