精品解析：四川内江市威远中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

威远中学校2024级高二下期期中考试 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式化为关于n的一次函数形式判断公差即可. 【详解】由， 所以，即公差为-1. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算得出结果 【详解】 故选：B. 3. 若是函数的极值点，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得解. 【详解】的定义域为， ， 因为是函数的极值点， 所以，即，所以， 当时，， 令，得，令，得， 所以在处取得极小值，符合题意. 综上所述：. 故选：A 4. 在等比数列{}中，，是方程的实根，则的值为（ ） A. B. ±4 C. 2 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出，所以，，利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为，是方程的实根， 所以，，所以，. 由等比中项的性质可得，所以. 因为，， 所以. 故选：D 5. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ） A. 170里 B. 180里 C. 185里 D. 176里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前项和公式求得基本量，从而得解. 【详解】由题意得，设这匹马的第天走的路程为，则有，， 所以数列是的等比数列， 故，解得， 所以． 故选：D. 6. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 8. 设定义在上的函数满足:,且,则关于的方程的实根个数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，构造函数，由已知得，可知为常数，由可知，通过导数研究的单调性、最值及其零点，其次关于的方程可以变形为，解得或，即可通过判断与、、、的交点的个数即可得到方程根的个数. 【详解】由可得， 令， 即函数是常数函数， 设，则， 又∵，∴，∴，∴， 故当时，；当时，； ∴在上单调递增；在单调递减， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵在区间内，，∴在区间上不存在零点， 又∵，∴在上存在一个零点， 关于的方程可以变形为， 解得或， 即当时，与只有一个交点，则方程有一个根， 当时，与无交点，则方程无解， 当时，与只有一个交点，则方程有一个根， 当时，与只有一个交点，方程有一个根， 故方程有3个实数根． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】观察题给式子构造函数，结合已知条件利用导数得到的单调性，然后利用单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 因为，所以，单调递减， 易知，所以，即，A错误； 因为，所以，而， 所以且有，所以，B错误； 易知，所以即，C正确； 易知，所以即，D正确. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确； 对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法， 故B错误； 对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确； 对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法， 甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确. 故选：ACD. 11. 设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（ ） A. 可能为2 B. 当时，的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中数列可表示不超过的任意正整数这一条件，逐一验证选项中关于首项、项数最小值、等比数列及项间不等式的结论是否成立. 【详解】选项A：若，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示1，因此与条件矛盾； 选项B：当时，为使能表示的正整数范围最大，数列应取， 此时可表示的最大数为，故无法满足， 当时，数列取，其和为，且取中若干项之和可表示1到15的所有整数，因此满足条件； 选项C：设数列首项为，公比为（且为正整数），数列单调递增， 由条件可知，1必须能被表示，故，则数列变为， 要表示2，则（若，无法表示2）， 因此验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合题目条件； 选项D：记，假设， 由于数列单调递增，，则， 此时正整数，但无法用前项的和表示（最大值为）， 也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾，故假设不成立， 即. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 的二项展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再确定项的系数即可. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 由，得，则， 所以的二项展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 已知函数，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求导得到，求出，再求出的值. 【详解】由，得， 令，得， 解得. 所以. 所以. 故答案为6 【点睛】本题主要考查导数的运算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平. 14. 已知函数，，若当时，两函数的图象上分别存在点、，使得、关于直线对称，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，则点，可得出，构造函数，可得知直线与函数在区间上的图象有交点，进而可知，实数的取值范围是函数在区间上的值域，利用导数求解即可. 【详解】，， 函数与的图象上分别存在点、两点关于直线对称， 设点，则点，则，. 所以，直线与函数在区间上的图象有交点. ，令，得，列表如下： 极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 则函数在处取得极小值，亦即最小值，即， ，，，， 所以，函数在上的值域为. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，涉及参变量分离法的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题． 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 【答案】（1）0.05；（2）；；. 【解析】 【分析】 首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由条件概率公式计算； （2）由条件概率公式计算． 【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.0525. （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P(A1|B)＝＝ ＝＝. 类似地，可得 P(A2|B)＝，P(A3|B)＝. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，把所求概率事件用表示后根据条件概率公式计算． 16. 设等差数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式以及通项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合项可化为相邻两项的差，从而利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，所以， 联立，解得， 所以， 【小问2详解】 结合（1）可知， ， . 17. 已知数列前项和为，，. （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由递推式可得，即可证并得到通项公式，进而写出的通项公式； （2）由（1）得，利用分组求和、错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1），即，得， 又，即，， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， ，即有； （2）由（1）知，，记的前项和为， ，① ，② ①-②得，， ，而， . 【点睛】思路点睛： 1、当由递推关系可得到，为常数或含n的代数式形式，注意应用同形异角求辅助数列的通项公式，进而写出原数列通项公式. 2、由已知数列以及与新数列的关系，首先求新数列通项，再根据所得通项确定应用何种方法求前n项和. 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）在图中画出函数的大致图象； （3）若方程有2个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 （2）函数图像见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求出单调区间，然后根据极值的概念求解即可. （2）根据（1）的单调性，函数过的零点和最大值点，结合函数图象的变换趋势作图即可. （3）将问题转化为函数的图象和的图象有2个交点，数形结合得，解不等式组即可求解. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为R，． 令，解得，即函数在上单调递增； 令，解得，即函数在上单调递减， 当时，有极大值，无极小值． 【小问2详解】 函数经过特殊的点，， 当时，； 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 根据以上信息及（1）的单调区间，画出的大致图象如图： 【小问3详解】 若方程有2个解， 即函数的图象和的图象有2个交点， 结合图象得， 即或． 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】（1）① ；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 ①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2024级高二下期期中考试 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是函数的极值点，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 在等比数列{}中，，是方程的实根，则的值为（ ） A. B. ±4 C. 2 D. -4 5. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ） A. 170里 B. 180里 C. 185里 D. 176里 6. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足:,且,则关于的方程的实根个数为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（ ） A. 可能为2 B. 当时，的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的都有 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 的二项展开式中项的系数为______． 13. 已知函数，则________. 14. 已知函数，，若当时，两函数的图象上分别存在点、，使得、关于直线对称，则实数的取值范围是_________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 16. 设等差数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，，求. 17. 已知数列前项和为，，. （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）在图中画出函数的大致图象； （3）若方程有2个解，求实数m的取值范围． 19. 已知函数 ． （1）当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； （2）设，，是的两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $