36.二项分布、超几何分布与正态分布-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2017-2024年高考真题，聚焦正态分布，覆盖选择（单/多选）、填空、解答题型，结合实际情境考查概率计算与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|1题|正态分布σ对概率的影响|2021新高考Ⅱ卷题，考查分布集中性| |多选|1题|正态分布概率比较|2024新高考Ⅰ卷题，结合茶叶出口亩收入情境| |填空|2题|正态分布概率计算|2022新高考Ⅱ卷题，利用对称性求概率| |解答题|1题|正态分布3σ原则、二项分布|2017全国Ⅰ卷题，零件尺寸监控，综合应用与参数估计|

36.二项分布、超几何分布与正态分布 1.（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（　　） A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大 B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等 解析：选D　对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D. 2.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷9题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3）（　　） A.P（X＞2）＞0.2 B.P（X＞2）＜0.5 C.P（Y＞2）＞0.5 D.P（Y＞2）＜0.8 解析：BC　法一　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C. 法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6，又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝≈＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C. 3.（2022·新高考Ⅱ卷13题）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　　　　. 答案：0.14 解析：因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14. 4.（2022·新高考Ⅱ卷13题）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　　　　. 解析：因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14. 答案：0.14 5.（2017·全国Ⅰ卷19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（－3，＋3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－3σ＜Z＜μ＋3σ）＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09. 解：（1）抽取的一个零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率为0.002 6，故X～B（16，0.002 6）.因此P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997 416≈0.040 8. X的数学期望为E（X）＝16×0.002 6＝0.041 6. （2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（－3，＋3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为（16×9.97－9.22）＝10.02， 因此μ的估计值为10.02. ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为（1 591.134－9.222－15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为≈0.09. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $