统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦二项分布、超几何分布、正态分布三大核心分布，通过典型例题与变式训练，构建“概念-模型-应用”的知识逻辑链，强化实际问题的数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|3例+3变式|有放回独立重复试验，涉及分布列、期望方差计算，结合产品检测、比赛赛制等场景|从独立重复试验概念出发，建立二项分布模型，通过实际问题应用强化参数理解与公式应用| |超几何分布|3例+3变式|不放回抽样情境，求解概率、分布列及期望，涵盖彩票抽奖、企业调研等实例|基于不放回抽样特点，明确超几何分布与二项分布的区别，通过样本抽取问题深化模型识别| |正态分布|3例+3变式|连续型随机变量分布，涉及概率计算、数据估计，应用于学生餐费、芯片性能等实际数据|从正态分布密度曲线特征入手，结合3σ原则解决概率问题，通过样本数据估计总体参数，体现统计推断思想|

统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【答案】(1)的分布列为： 期望为1 (2) 【分析】（1）先确定随机变量的取值，再分别计算各取值对应的概率，最后列出分布列并求出期望； （2）方法一：利用概率乘法公式以及条件概率公式求解；方法二：利用古典概型概率公式以及条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 由，所以的期望． （2）记第次取出黑球为事件，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件． 方法一：， ， 所以． 方法二：，， 所以． 例2．（2026·河北邢台·三模）随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 【答案】(1)的分布列为： 数学期望； (2)，. 【分析】（1）求出的可能取值，利用二项分布求出分布列及期望. （2）利用二项分布的期望、方差，结合期望、方差的性质求解. 【详解】（1）的所有可能取值为，， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. （2）设一等品有台，则二等品有台，依题意，， 由（1）得，， 所以的数学期望， 方差. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 【答案】(1)①的分布列 2 3 4 5 期望；② ，时达到最大； (2) 【分析】（1）①按比赛结束条件，分类讨论每一局数的概率，进而求出分布列及期望； ②用p表示各局数概率，构造函数分析单调性，求达到最大值； （2）用比值法分析概率数列的单调性，求出最大值点，进而求出概率最大值． 【详解】（1）（1）①比赛结束的条件为：（I）某选手连续2局获胜；（II）积分率先达到分， 由赛制规则分析可得，， ：前2局连胜（甲甲或乙乙），总积分8分未达分，满足条件（I）， ， ：前2局交替，第3局与第2局连胜（甲乙乙或乙甲甲），满足条件（I）， ， ：前3局交替，第4局与第3局连胜（甲乙甲甲或乙甲乙乙），此时胜者积分分， 满足条件（I），， ：前4局交替（甲乙甲乙或乙甲乙甲），两人各得8分，第5局无论谁胜， 胜者积分必达分，满足条件（II），， 的分布列如下： 2 3 4 5 ， ②设乙在单局比赛中获胜的概率为， （甲甲）（乙乙）， （乙甲甲）（甲乙乙）， （甲乙甲甲）（乙甲乙乙）， （甲乙甲乙）（乙甲乙甲）， 令，由且，可得： ， 由基本不等式，，故， 则， ， 设 ，其在区间上单调递增， 当（即）时，取得最大值， ， 故 ， 当时，比赛的平均总局数达到最大． （2）由已知，， 设， ， 令， 当时，，即随增大而增大； 当时，，即随增大而减小； ， 故是最大值，即的估计值为． 变式1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解； （2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列和期望. 【详解】（1）设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. （2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为．规则如下：第一天，研究团队从名学生中随机招募（，且）名进行初始体验，每名学生体验后购买的概率为，且彼此相互独立．从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推． (1)当，时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率； (2)求第一天结束，名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率； (3)对于任意一位未购买者，若某天有（）名购买者尝试向他推荐，则他当天成为购买者的概率为．当，，时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红． 【答案】(1) (2) (3)，答案见解析 【分析】（1）设表示第一天结束时成为购买者的人数，则，利用二项分布概率公式计算即得； （2）因 ，取为奇数，即得成为购买者的人数为奇数的概率，将二项展开：，替换为，得，两式相减即得成为购买者的人数为奇数的概率； （3）甲在前两天能成为购买者包括两种情形：甲是初始体验的两人之一的条件下，甲在前两天成为购买者与甲不是初始体验中的两人的条件下，甲在前两天成为购买者.利用互斥事件的概率加法公式分别求出两事件的概率，再由全概率公式求得甲在前两天成为购买者的概率，即可说明一款产品有时会突然“爆发式”走红的原因. 【详解】（1）设表示第一天结束时成为购买者的人数，则， 所以． （2）由（1）可知 ，则， 所以成为购买者的人数为奇数的概率，(为奇数）， 考虑二项展开，， 则， 两式作差，(为奇数)， 所以成为购买者的人数为奇数的概率. （3）甲在前两天能成为购买者包括以下两种情形： 情形一：甲是初始体验的两人之一的概率为，甲在前两天成为购买者分两种情况： ①第一天成为购买者，概率为； ②第一天没有成为购买者，概率为，但第一天另一位初始体验的学生成为购买者， 并推荐甲成为购买者，概率为 ，故甲第二天成为购买者的概率为 ， 因此，在甲是初始体验的两人之一的条件下， 甲在前两天成为购买者的概率为 ． 情形二：若甲不是初始体验中的两人，其概率为，甲在前两天成为购买者有两种情况： ①第一天有1人成为购买者，再由此人成功推荐甲成为购买者， 概率为 ； ②第一天有2人成为购买者，甲在第二天被成功推荐成为购买者， 概率为， 因此，在甲不是初始体验中的两人的条件下，甲在前两天成为购买者的概率为 ． 综上，甲在前两天成为购买者的概率为． “爆发式走红”的原因：随着购买者人数增加，每天尝试推荐传播的购买者人数增大， 使得非购买者成为购买者的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 变式3．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【答案】(1) 1 2 3 4 (2)获得张或张的概率最大，最大概率为 【分析】（1）由题可知变量服从超几何分布，按超几何分布概率公式求解即可； （2）每轮获得“挑战达人”票的概率即为变量取或，概率相加即可；由题可知，在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数服从二项分布，代入二项分布概率公式求解即可. 【详解】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 考点二 超几何分布 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 例2．（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求相应概率； （2）根据超几何分布可求的分布列，结合数学期望公式可求. 【详解】（1）设为“恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业”， 则. （2）可取， 而，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)周. 【分析】（1）利用马尔可夫链的期望递推即可得到结论； （2）利用全概率公式，考虑第一周等可能选A或B及对应的转移概率，即可计算得第2周选B的概率； （3）由题意确定的所有可能取值为20，21，22，，30，由超几何分布并组合恒等式即可计算期望值. 【详解】（1）记为第一次选择的周数， 表示从出发首次到所需的步数，表示从出发首次到所需的步数， 由题设第一周选择的概率为，选的概率为，而第一次出现在第周， 故，故， 故， 又， 故第n次选择B出现的周数期望为， 则，当且仅当时等号成立， 故当时，；当时，. （2）设小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率为， 则. （3）1~30这30个数字中除以7余数为1或者2的有10个， 所以有10次选择路线A，20次选择路线B， 的所有可能取值为20，21，22，，30，为的个数， 从30个数字中任选个数字，共有种可能，其中符合要求的个数为， 因此前次抽取的集合恰好包含所有和个的概率为， 这个数字的所有排列顺序等可能， 在随机排列中，最后一个位置是的概率等于所占的比例， 故，， . 所以随机变量的期望是周. 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得； （2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望. 【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 变式2．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立，理由略 （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 变式3．（2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 考点三 正态分布 例1．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知，计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 例2．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③； (2)； (3) 【分析】（1）由相关系数绝对值越大，相关性越强来判断排序； （2）的值可能为：，求出分布列，然后由方差公式计算； （3）由正态分布的性质求得，然后由10个零件都不小于或只有１个小于求出概率. 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 例3．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)32 (2)8186 (3) 0 1000 2000 3000 4000 ，1100 【分析】（1）利用方差合并公式求方差即可； （2）由正态分布特殊区间的概率及其对称性求区间概率，进而估计区间人数； （3）由题意Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 变式2．（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)25241片 (2) 分布列为： Y 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 期望为0.3 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1），， ，则， 估计该批次中测试成绩80分以上的芯片有25241片． （2），且， ， 依题意， ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 随机变量的期望． 变式3．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 例2．（2026·河北邢台·三模）随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 变式1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为．规则如下：第一天，研究团队从名学生中随机招募（，且）名进行初始体验，每名学生体验后购买的概率为，且彼此相互独立．从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推． (1)当，时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率； (2)求第一天结束，名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率； (3)对于任意一位未购买者，若某天有（）名购买者尝试向他推荐，则他当天成为购买者的概率为．当，，时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红． 变式3．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 考点二 超几何分布 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 例2．（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 变式2．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 变式3．（2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 考点三 正态分布 例1．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 例2．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 例3．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 变式2．（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 变式3．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $