30.圆锥曲线中的证明、探索性问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

30.圆锥曲线中的证明、探索性问题

1.（2021·新高考Ⅱ卷20题）已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝.

解：（1）由题意知　⇒a＝，又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）证明：①（必要性）若M，N，F三点共线，设直线MN的方程为x＝my＋，

圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1.

联立⇒（m2＋3）y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0，

｜MN｜＝·＝·＝，必要性成立.

②（充分性）当｜MN｜＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n.

此时圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒n2－t2＝1，

联立⇒（t2＋3）y2＋2tny＋n2－3＝0，Δ＝4t2n2－4（t2＋3）（n2－3）＝12（t2－n2＋3）＝24.

｜MN｜＝＝⇒t2＝1，∴n2＝2.

∴MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切，∴n＞0，n＝，

∴直线MN的方程为x＝ty＋恒过点F（，0），∴M，N，F三点共线，充分性成立.

由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝.

2.（2024·全国甲卷20题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MF⊥x轴.

（1）求C的方程；

（2）过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

解：（1）法一（直接法）　由题意知

得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

法二　由题意知得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

法三（巧用椭圆的定义）　设F'为C的左焦点，连接MF'，则｜MF｜＝，｜FF'｜＝2，

在Rt△MFF'中，｜MF'｜＝＝＝，

由椭圆的定义知2a＝｜MF'｜＋｜MF｜＝4，

2c＝｜FF'｜＝2，

所以a＝2，c＝1，

又a2＝b2＋c2，所以b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）分析知直线AB的斜率存在.

易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴.

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（1，n），

联立方程得

消去x得（3t2＋4）y2＋24ty＋36＝0，Δ＞0，

则y1＋y2＝，y1y2＝.

因为N为线段FP的中点，F（1，0），所以N（，0）.

由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n（x2－），得n＝，

所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝＝0，

所以n＝y1，所以AQ⊥y轴.

3.（2022·新高考Ⅱ卷21题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解：（1）由题意得c＝2，

因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝.

又c2＝a2＋b2，

联立得a＝1，b＝，

所以双曲线C的方程为x2－＝1.

（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b（k≠0），将直线PQ的方程代入C的方程，整理得（3－k2）x2－2kbx－b2－3＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝－＞0，所以3－k2＜0，

所以x1－x2＝＝.

设点M的坐标为（xM，yM），则

两式相减，得y1－y2＝2xM－（x1＋x2），

又y1－y2＝（kx1＋b）－（kx2＋b）＝k（x1－x2），

所以2xM＝k（x1－x2）＋（x1＋x2），解得xM＝；

两式相加，得2yM－（y1＋y2）＝（x1－x2），

又y1＋y2＝（kx1＋b）＋（kx2＋b）＝k（x1＋x2）＋2b，

所以2yM＝k（x1＋x2）＋（x1－x2）＋2b，

解得yM＝＝xM.

因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率.

若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k（x－2），设A（xA，yA），B（xB，yB），