29.圆锥曲线中的最值、范围问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值范围问题，精选3道高考真题及模拟题，覆盖椭圆、抛物线综合应用，适配高考复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3道（均为高考压轴题）|椭圆方程求解、抛物线切线方程、三角形面积最值、动点轨迹与距离最值|每题设两问，（1）问基础（如求椭圆/抛物线方程），（2）问能力提升（如面积/距离最值）；结合几何直观（如切线、平行线距离）与代数运算（联立方程、判别式、参数法），贴合高考“多思少算”命题趋势。|

29.圆锥曲线中的最值、范围问题 1.（2020·新高考Ⅱ卷21题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为. （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 解：（1）由题意可知直线AM的方程为y－3＝（x－2），即x－2y＝－4， 当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4， 由椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），可得＋＝1，解得b2＝12， 所以C的方程为＋＝1. （2）设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，如图，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立消去x得16y2＋12my＋3m2－48＝0， 所以Δ＝144m2－4×16（3m2－48）＝0，即m2＝64，解得m＝±8， 与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8， 两平行线（直线AM与直线x－2y＝8）之间的距离为d＝＝， ｜AM｜＝＝3. 所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18. 2.（2021·全国乙卷21题）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值. 解：（1）由题意知M（0，－4），F，圆M的半径r＝1，所以｜MF｜－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2. （2）由（1）知，抛物线方程为x2＝4y， 由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b， 联立得消去y得x2－4kx－4b＝0， 则Δ＝16k2＋16b＞0　（※），x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝4·. 因为x2＝4y，即y＝，所以y'＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y－＝（x－x1），即y＝x－， 同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－， 联立得则 即P（2k，－b）. 因为点P在圆M上，所以4k2＋（4－b）2＝1， ① 且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足（※）. 设点P到直线AB的距离为d，则d＝， 所以S△PAB＝｜AB｜·d＝4. 由①得，k2＝＝， 令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5. 因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20. 3.（2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝. （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3. （ⅰ）设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值. 解：（1）由题意知＝，所以＝， 设a2＝9t，t＞0，则c2＝8t，所以b2＝t. 又｜AB｜2＝a2＋b2＝10t＝10， 所以t＝1，所以C的方程为＋y2＝1. （2）（ⅰ）设R（x，y），由（1）知A（0，－1），又P（m，n）， 所以·＝（m，n＋1）·（x，y＋1）＝mx＋（n＋1）（y＋1）＝｜｜·｜｜·cos 0＝3. ① 由kAP＝kAR，得＝， ② 由①②得x＝，y＝， 故R（，）. （ⅱ）由（ⅰ）得kOR＝＝3kOP＝，得m2＋n2＋8n－2＝0， 即m2＋（n＋4）2＝18. 由题设Q（3cos θ，sin θ），K（0，－4）， 则｜KQ｜2＝（3cos θ）2＋（sin θ＋4）2＝－8sin2θ＋8sin θ＋25， 设s＝sin θ，则｜KQ｜2＝－8s2＋8s＋25＝－8（s－）2＋27（－1≤s≤1）， 故当s＝sin θ＝时，｜KQ｜取得最大值，且｜KQ｜max＝3， 故｜PQ｜的最大值为｜KQ｜max＋3＝3＋3. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $