29.圆锥曲线中的最值、范围问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

29.圆锥曲线中的最值、范围问题

1.（2020·新高考Ⅱ卷21题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为.

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

解：（1）由题意可知直线AM的方程为y－3＝（x－2），即x－2y＝－4，

当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，

由椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），可得＋＝1，解得b2＝12，

所以C的方程为＋＝1.

（2）设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，如图，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立消去x得16y2＋12my＋3m2－48＝0，

所以Δ＝144m2－4×16（3m2－48）＝0，即m2＝64，解得m＝±8，

与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，

两平行线（直线AM与直线x－2y＝8）之间的距离为d＝＝，

｜AM｜＝＝3. 

所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.

2.（2021·全国乙卷21题）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.

（1）求p；