25.双曲线-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2019-2025年全国卷及新高考卷双曲线专题真题9道，覆盖离心率、渐近线等核心考点，梯度设计合理，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|5|离心率计算（2025全国Ⅰ卷3题）、焦点三角形面积（2019全国Ⅲ卷10题）|结合定义法与几何法，如2024全国甲卷5题双解法| |多选|1|双曲线与圆的综合（2025全国Ⅱ卷11题）|考查对称性与余弦定理应用，体现逻辑推理| |填空|3|渐近线方程（2021新高考Ⅱ卷13题）、向量与双曲线综合（2023新高考Ⅰ卷16题）|注重运算能力，如2024新高考Ⅰ卷12题结合通径长求离心率|

25.双曲线 1.（2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（　　） A. B.2 C. D.2 解析：D　依题意得b＝a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋（a）2＝8a2，即c＝2a，故e＝2.故选D. 2.（2024·全国甲卷5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　） A.4 B.3 C.2 D. 解析：C　法一（方程组法）　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则得所以离心率e＝＝2. 法二（定义法）　根据双曲线的定义，得2a＝｜－｜＝｜6－10｜＝4，所以a＝2，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2. 3.（2020·全国Ⅱ卷8题）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 解析：B　由题意，知双曲线C的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝×a×｜DE｜＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B. 4.（2019·全国Ⅲ卷10题）已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若 ｜OP｜＝｜OF｜，则△OPF的面积为 （　　） A. B. C. D. 解析：B　由F是双曲线－＝1的一个焦点，知｜OF｜＝3，所以 ｜OP｜＝｜OF｜＝3.不妨设点P在第一象限，P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则解得所以P， 所以S△OPF＝｜OF｜·y0＝×3×＝.故选B. 5.（2020·全国Ⅰ卷11题）设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（　　） A. B.3 C. D.2 解析：B　设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×6＝3，故选B. 6.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则（　　） A.∠A1MA2＝ B.｜MA1｜＝2｜MA2｜ C.C的离心率为 D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 解析：ACD　A.根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝，故A正确；B.法一（余弦定理）　如图，在△A1MO中，｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2－2｜A1O｜｜OM｜cos∠MOA1＝a2＋c2－2accos∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2accos∠MOA2＝a2＋c2－2ac×＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝｜MA1｜2＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜cos，即4a2＝2c2＋2a2－2××，则13a2＝c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝12a2，所以｜MA1｜≠2｜MA2｜. 法二（几何法）　设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则＋＝c2，又y0＝x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝，所以＝cos＝≠，故B错误；C.根据13a2＝c2，得e＝，故C正确；D.当a＝时，｜MA1｜＝4，｜MA2｜＝2，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜sin＝4×2×＝8，故D正确. 7.（2021·新高考Ⅱ卷13题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　. 解析：＝＝＝， 故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x. 答案：y＝±x 8.（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：法一　如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝＝. 法二　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A（c，），B（c，－），故｜AB｜＝＝10，｜AF2｜＝＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. 9.（2023·新高考Ⅰ卷16题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：法一　设A（x1，y1），B（0，y0）.由题意知F1（－c，0），F2（c，0）.由＝－，得（x1－c，y1）＝－（－c，y0）.整理，得x1＝c，y1＝－ y0，所以A（c，－y0）.因为⊥，所以·＝0，即（c＋c，－y0）·（c，y0）＝0，所以c2－＝0，解得y0＝±2c，所以A（c，±c）.因为点A在双曲线C上，所以－＝1，即－＝1，所以－＝1.整理，得25e4－50e2＋9＝0，解得e2＝或e2＝（舍去），所以e＝. 法二　由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得｜F2A｜＝｜F2B｜.设｜F2B｜＝3m（m＞0），则｜F2A｜＝2m，所以｜F1B｜＝｜F2B｜＝3m，｜AB｜＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以｜AF1｜＝＝4m，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则｜AB｜·｜F1D｜＝｜F1A｜·｜F1B｜，即×5m×｜F1D｜＝×4m×3m，所以｜F1D｜＝m，所以｜BD｜＝＝m，所以｜F2D｜＝m，则｜F1F2｜＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $