专题26 离心率的范围问题训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题26　离心率的范围问题 题型01 利用圆锥曲线的定义求离心率范围 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 4．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽宿州·一模）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 6．（2026·安徽淮北·一模）已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________． 7．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江西·月考）已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型02 利用圆锥曲线的性质求离心率范围 9．（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·浙江·月考）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 13．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 14．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 16．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（   ） A．2 B．3 C． D． 17．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 题型03 利用几何图形的性质求离心率范围 18．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________. 19．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为___________. 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的下焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（    ）． A．椭圆的离心率是 B．线段长度的取值范围是 C．的周长存在最大值 D．面积的最大值是 21．（25-26高二下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 22．（2026·贵州贵阳·一模）（多选）古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为12，是圆锥的一个轴截面，为中点．过两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆．则（   ） A．椭圆的长轴为 B．椭圆的离心率为 C．与的交点是椭圆的一个焦点 D．内接于椭圆的菱形周长最大值为20 23．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，双曲线（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线右支上异于点的任意一点，直线与直线的交点为，并且双曲线右支上任意一点与右焦点的距离和点到直线的距离的比等于离心率，若，则双曲线的离心率为（） A． B．2 C． D．3 24．（2026·山西运城·一模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是______ 25．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 强化训练 1．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 7．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则； B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. 10．（2026·全国·模拟预测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 11．（25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ） A．若为锐角三角形，则的离心率 B．若为钝角三角形，则的离心率 C．当取得最大值时，为直角三角形 D．当为直角三角形时，的面积最大 12．（25-26高三下·广东·月考）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（    ） A． B． C．的离心率 D．当的长轴长为时，的短轴长为 13．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆离心率的最大值为_____________． 14．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 15．（2026·甘肃·一模）椭圆的离心率为，双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则的取值范围为__________. 16．（2025高三·全国·竞赛）设分别为椭圆的左、右焦点，若上存在一点，使得直线的斜率分别为，则的离心率为_____. 17．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 18．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是__________． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26　离心率的范围问题 题型01 利用圆锥曲线的定义求离心率范围 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆对称性可知为椭圆上、下顶点时满足题意，再利用椭圆定义以及余弦定理计算可得椭圆离心率. 【详解】依题意由椭圆对称性可知，为椭圆上、下顶点时，有且只有两个点使得， 此时，在中，易知. 当时，易知， 又，所以. 在中，又， 即可得，解得， 因此椭圆的离心率. 故选：D 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由椭圆的定义分别表示出，，，再在和中，由勾股定理得到关系可得. 【详解】    连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      故选：D 3．（2026·浙江杭州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 【答案】/ 【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，， 所以双曲线的离心率为. 4．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可. 【详解】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，， 因为，所以， 而，可得， 因为，所以， 所以， 化简得，故离心率． 5．（2026·安徽宿州·一模）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】先由焦点可得，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值. 【详解】由焦点，得，所以抛物线的方程为，准线为. 又由，得，所以，设椭圆的左焦点为， 有，故，可得离心率为. 故答案为：. 6．（2026·安徽淮北·一模）已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】利用抛物线和双曲线的定义，结合已知条件建立关于双曲线参数的等式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为， 由题意知，. 抛物线的准线方程为， 因为，所以，即. 设在第一象限，将代入抛物线方程可得，所以. 代入双曲线方程，又，所以. 设，则，整理得， 解得，因为，所以， 所以. 故答案为：. 7．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 8．（25-26高三下·江西·月考）已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，，故最小等价于最大， 由双曲线定义，在上， 设双曲线方程为，将代入得： ， 由得，故. 题型02 利用圆锥曲线的性质求离心率范围 9．（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 10．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线与椭圆联立，得到坐标，根据为锐角三角形，写出向量关系，即可求解. 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，， 易知恒为锐角， 则 得. 11．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解三角形求得点的坐标，代入方程求出，进而可求离心率. 【详解】因为，所以点在轴左侧， 如图，作轴，垂足为．由，得， 所以，即， 则，， 所以，即，则，则点的坐标为或， 结合，将代入到椭圆方程有， 解得，则，则. 12．（25-26高二下·浙江·月考）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 13．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出. 【详解】令，其中，则，得， 因为，所以， 则由双曲线的定义可知，， 则的面积为， 周长为， 则，则， 则的离心率为. 14．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 15．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】如图，过点做轴于点. 由. 由为中点. 又，，所以，所以. 在中，. 在中，， 整理得：. 因为，所以. 又，所以. 即所求双曲线的离心率为2. 16．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】AD 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图， ①当时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线， 则是等腰三角形，，又，因此，解得． 所以，离心率； ②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限， 由，得，由，得． 由，得，则，离心率． 17．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 题型03 利用几何图形的性质求离心率范围 18．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，再由及余弦定理得到，从而结合椭圆定义表示出，结合椭圆的离心率定义求出其离心率. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距也为， 双曲线的离心率为，则， 延长交双曲线于点， 因为，由双曲线的对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知，结合， 化简得，即，， 由P点在椭圆上，可得，即，则， 结合，可得椭圆离心率为. 19．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】设与交于点，进而根据椭圆的定义得，再根据是的中位线得，，求出即可求得离心率. 【详解】设与交于点， 由题意，平分，则，是中点， ， 而是中点，故是的中位线，， 因为，焦距为 所以，，即， 所以， 故答案为： 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的下焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（    ）． A．椭圆的离心率是 B．线段长度的取值范围是 C．的周长存在最大值 D．面积的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据基本量求出离心率后判断A，根据A中的结果求出椭圆方程后可求并求出其范围后判断B，根据B中结果求出的周长，结合单调性可判断C的正误，求出面积并结合基本不等式可求面积的最大值后可判断D的正误. 【详解】对于A，圆的方程为，故其直径为6，故椭圆的短半轴为， 而，故，故离心率为，故A正确； 对于B，由A的分析可得椭圆的方程为， 由得，由得， 故，，故，其中， 故的取值范围为，故B正确； 对于C，的周长， 由B中分析可得， 其中， 因为均为上的减函数， 故为上的减函数，故无最大值，故C错误； 对于D，设面积为， 则， 当且仅当即时等号成立， 故面积有最大值，故D正确. 21．（25-26高二下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 【答案】/ 【分析】由多边形为正六边形可得双曲线渐近线方程，据此可得双曲线离心率；然后由正六边形几何性质可得椭圆离心率，据此可得答案. 【详解】设正六边形边长为，则. 由，可得双曲线的一条渐近线方程为：，则， 从而双曲线离心率为； 椭圆离心率为. 则离心率之和为：. 22．（2026·贵州贵阳·一模）（多选）古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为12，是圆锥的一个轴截面，为中点．过两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆．则（   ） A．椭圆的长轴为 B．椭圆的离心率为 C．与的交点是椭圆的一个焦点 D．内接于椭圆的菱形周长最大值为20 【答案】ABD 【详解】在中，，，， 对于A，椭圆的长轴为的长，在中，， 由余弦定理得， 因此，A正确； 对于B，设与的交点为，， 在中，， ， 在中，， 依题意，，B正确； 对于C，椭圆长轴长，由，得半焦距， 在中，，， 又，因此不为椭圆焦点，C错误； 对于D，如图，椭圆方程为，令该椭圆内接菱形为四边形， 设，则，即， 则，，化简得， 同理，菱形中，， 则当时，取得最大值为25，即， 因此菱形周长的最大值为，D正确. 23．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，双曲线（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线右支上异于点的任意一点，直线与直线的交点为，并且双曲线右支上任意一点与右焦点的距离和点到直线的距离的比等于离心率，若，则双曲线的离心率为（） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合双曲线的第二定义、相似三角形、角平分线定理，通过线段比例关系推导几何性质，最终建立关于离心率的方程求解. 【详解】因为，即， 可得，. 设点到直线的距离为，则， 过作准线的垂线，垂足为；过作准线的垂线，垂足为， ，，因此，可得，所以由相似三角形性质：， ，， 所以，即为的角平分线，所以， 所以， 即直线为线段的中垂线，所以，即， 即，解得. 24．（2026·山西运城·一模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是______ 【答案】 【详解】过作垂足为， 则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以..，所以双曲线的离心率为. 25．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以得出圆上符合题意的四点坐标，故得出双曲线上符合题意的点的坐标，将其代入双曲线方程，得出和值，得出离心率. 【详解】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以. 因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径， 且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示： 设圆与轴交于点N，所以，且， 所以设是圆与双曲线的交点，所以或 解得或或或， 所以四等分点的坐标为, 把代入中，得， 解得，所以双曲线C的离心率. 强化训练 1．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与、、有关齐次式，计算即可得. 【详解】取右焦点，连接、，作于点， 由为圆的切线，故，又， 因为为中点，故为中点，又，故为中点， ，则， ，则， ， 由直线为双曲线的渐近线，故有， 则， 所以， 在中，由余弦定理可得， 则，即， 即，化简得，即， 故. 故选：D. 2．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 3．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线斜率为，得， 由在上的射影点恰为的中点，得，为等边三角形， 由对称性，得为椭圆的上顶点，则， 所以椭圆的离心率为. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 5．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 6．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】首先根据条件，联立方程求点的坐标，再通过联立直线和的方程，求点的坐标，代入双曲线方程，即可求解. 【详解】设， 联立，得，，即， 则，直线 ，所以， 联立直线和直线的方程，解得，，即， 代入双曲线方程，得， 所以双曲线的离心率为. 7．（25-26高三下·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 又，则， 则，则， 在中，，故， ，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 8．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 9．（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则； B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. 【答案】AC 【分析】A，由标准方程求出，从而得到；B，由在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到，，将这两个等式左右两个进行平方作差即可得解；C，由，，求出，利用余弦定理求出，利用同角关系式及三角形面积公式求解；D，根据余弦定理可得的值，代入数值得到的值，利用基本不等式即可得解. 【详解】A：， ， ，即， ，故A正确； B：在第一象限，且，， ， 即，故B错误； C：设椭圆的焦距为，，，则，， 解得，， ，即， ， ，， ，故C正确； D：设椭圆的焦距为，则，， 解得，， 在中，根据余弦定理可得：， 整理得，即， ， 当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC． 10．（2026·全国·模拟预测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】AD 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 11．（25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ） A．若为锐角三角形，则的离心率 B．若为钝角三角形，则的离心率 C．当取得最大值时，为直角三角形 D．当为直角三角形时，的面积最大 【答案】AC 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】由双曲线定义及点在右支上可知，，又，解得，， 由三角形三边关系得，化简得，故双曲线离心率， 在中，由余弦定理得， ， A，若为锐角三角形，则必须满足且，解得，正确； B，若为钝角三角形，则满足或， 所以或，故不一定成立，错误； C， ， 因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 此时取得最小值，即取得最大值， 将代入得，即，此时为直角三角形，正确； D，的面积， 当，即时面积取得最大值， 但当，即时也为直角三角形，此时面积为并非最大值，错误． 12．（25-26高三下·广东·月考）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（    ） A． B． C．的离心率 D．当的长轴长为时，的短轴长为 【答案】ABD 【分析】利用题中条件以及椭圆的定义可判断AB选项；由结合余弦定理可得出关于、的等式，可求出该椭圆的离心率的值，可判断C选项；根据求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， ，， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，故， 由余弦定理可得， 代入A中的数据并整理可得，即， 因为，解得，故该椭圆的离心率为，C错； 对于D选项，当的长轴长为时，则，则， 故该椭圆的短轴长为，D对. 13．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆离心率的最大值为_____________． 【答案】/0.5 【详解】因为成等比数列，所以， 又，所以，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以椭圆离心率的最大值为. 14．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理和离心率公式计算即可. 【详解】根据椭圆的定义得，平方得， 化简得①， 因为，所以，所以②， ①-②得，即， 又，得到，，代入②得，得到. 所以椭圆的离心率为. 15．（2026·甘肃·一模）椭圆的离心率为，双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】因为双曲线渐近线斜率小于，据此得到关于、的不等式关系，将离心率转化为关于的表达式，即可求出的取值范围。 【详解】对于双曲线，渐近线方程为，由题意得，即。 椭圆中满足（c为椭圆半焦距），代入得 整理得，两边同除以得，即，解得 所以的取值范围为 16．（2025高三·全国·竞赛）设分别为椭圆的左、右焦点，若上存在一点，使得直线的斜率分别为，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】将的三个内角分别记为，由题意可求得，进而由正弦定理可得，进而可求离心率. 【详解】将的三个内角分别记为. 由条件易知在第一象限，.进而 所以. 由于是的焦距，是的长轴长， 且由正弦定理知 所以的离心率. 故答案为：. 17．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【分析】先由焦点可得，，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值. 【详解】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以， 设椭圆的左焦点为，有，故，则， 可得离心率为. 18．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围． 【详解】   椭圆的左右焦点分别为， ，，， 抛物线以为焦点， ，解得，抛物线方程为， 在中，由正弦定理得， ，，解得， ，， 在抛物线上，， 由椭圆的焦半径公式得：，，解得， 则， ，整理得，解得， 又，． 故答案为：． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $