24.椭圆-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2020-2024年新高考及全国卷椭圆真题7题，覆盖离心率、轨迹方程等核心考点，适配高考复习需求 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|5题|离心率（2023新高考Ⅰ卷）、轨迹方程（2024新高考Ⅱ卷）、焦点三角形（2021新高考Ⅰ卷）|注重定义应用（题3用基本不等式求最值）、几何性质（题4向量数量积求方程）| |选择题（多选）|1题|曲线方程形式（椭圆/圆/双曲线）|跨知识点综合（题6含椭圆、圆、双曲线判定）| |填空题|1题|焦点四边形面积（2021全国甲卷）|结合对称性与矩形性质求解|

24.椭圆 1.（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. 2.（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　　） A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0） C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0） 解析：A　设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0），即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）.故选A. 3.（2021·新高考Ⅰ卷5题）已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（　　） A.13　 B.12 C.9　 D.6 解析：选C　由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.故选C. 4.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：B　依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以＝（－a，－b），＝（a，－b），·＝－a2＋b2＝－（a2－b2）＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B. 5.（2022·全国甲卷10题）椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　法一　设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝·＝＝　（*）.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝（a2－m2），代入（*）式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A. 法二　设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A. 6.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷9题）已知曲线C：mx2＋ny2＝1.（　　） A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线 解析：ACD　对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±x，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确.综上选A、C、D. 7.（2021·全国甲卷15题）已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　　　　. 答案：8 解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋（8－ m）2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2－b2）＝48，得m（8－m）＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m（8－m）＝8. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $