23.直线与圆-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2021-2025年高考真题8道，聚焦直线与圆核心考点，分层考查方程转化、位置关系判定及动态问题求解 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|3题|相切夹角计算、弦长最值、距离与点个数关系|结合动态几何（如第3题距离为1的点个数），考查数形结合| |多选|2题|点线距离范围、点与圆位置关系|跨知识融合（如第2题等差中项与直线过定点），强化逻辑推理| |填空|3题|面积计算、公切线方程、对称直线与圆交点|设置多解探究（如第6题多值答案），对接高考开放题型趋势|

23.直线与圆 1.（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1 B. C. D. 解析：B　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B. 2.（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A.1 B.2 C.4 D.2 解析：C　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4，故选C. 3.（2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（　　） A.（0，1） B.（1，3） C.（3，＋∞） D.（0，＋∞） 解析：B　易得圆心（0，－2）到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B. 4.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷11题）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　） A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 解析：ACD　设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确.易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确.过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C、D都正确.综上，选A、C、D. 5.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（　　） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＜r.∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故选A、B、D. 6.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　. 答案：－2（或－或或2，填写任意一个均可） 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 7.（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程　　　　. 解析：法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点，设公切线l2的方程为y＋＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝（x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意. 答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不唯一） 8.（2022·新高考Ⅱ卷15题）设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $